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Algebra und Funktionen

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Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen

Hier erfährst du, wie du Gleichungen systematisch mit Hilfe von äquivalenzumformungen lösen kannst und wie du überprüfst, ob die Lösung richtig ist. äquivalente Gleichungen Gleichungen lösen durch äquivalenzumformungen äquivalenzumformungen am Waagemodell Besondere Lösungsmengen äquivalente Gleichungen Zwei Gleichungen sind äquivalent , wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. Die Gleichungen 3x + 7 = 16 und x = 3 sind äquivalent, denn beide Gleichungen haben die Lösungsmenge L = {3}. Die Gleichungen 3x + 7 = 16 und 3x + 6 = 15 sind äquivalent, denn beide Gleichungen haben die Lösungsmenge L = {3}. Die Gleichungen 3x + 7 = 16 und 3x…

Lösen von Gleichungen durch Probieren

Hier erfährst du, wie du Gleichungen durch Probieren löst und wie du überprüfst, ob eine gegebene Zahl Lösung einer Gleichung ist. In einer Gleichung, die eine Variable enthält, kannst du die Variable durch Zahlen ersetzen. Dabei entsteht entweder eine wahre oder eine falsche Aussage. Eine Gleichung lösen heißt, alle die Zahlen aus der Grundmenge zu finden, die beim Einsetzen die Gleichung zu einer wahren Aussage machen. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge der Gleichung. Lösen der Ergänzungsaufgabe Lösung einer Gleichung überprüfen Lösen von Gleichungen mit Angabe einer Grundmenge Gleichung lösen durch Probieren Gleichung lösen durch systematisches Probieren Lösen der Ergänzungsaufgabe…

Lösen von Ungleichungen

Hier erfährst du, wie du Ungleichungen systematisch mit Hilfe von äquivalenzumformungen lösen und wie du überprüfen kannst, ob die Lösung richtig ist. Ungleichungen lösen durch äquivalenzumformungen Angabe der Lösungsmenge Ungleichungen mit negativen Zahlen multiplizieren Ungleichungen lösen durch äquivalenzumformungen Durch äquivalenzumformungen kannst du Ungleichungen verändern, ohne deren Lösungsmenge zu ändern.Man sagt dann, dass die Variable durch diese Umformungen isoliert wird, bzw. die Ungleichung nach der Variablen „aufgelöst“ wird.Folgende Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Ungleichung nicht, sind also äquivalenzumformungen: Jede Termvereinfachung auf beiden Seiten, wie zum Beispiel Klammern auflösen oder Zusammenfassen gleichartiger Terme, ändert die Lösungsmenge der Ungleichung nicht.Auf die Multiplikation mit…

Lösungsstrategien für Sinus- und Kosinussatz

Hier erfährst du, unter welchen Voraussetzungen für die Berechnungen in Dreiecken die Anwendung des Sinussatzes oder die des Kosinussatzes die bessere Strategie ist. Den richtigen Satz benutzen Alle Größen im Dreieck berechnen Den richtigen Satz benutzen Kennst du mindestens drei Größen (Seitenlängen und/oder Winkel) in einem beliebigen Dreieck, dann kannst du mindestens eineweitere Größe berechnen, indem du den Sinussatz oder den Kosinussatz anwendest. Dabei kannst du mehrere Fälle unterscheiden: Alle Größen im Dreieck berechnen Möchtest du alle unbekannten Größen eines Dreiecks aus drei gegebenen Größen berechnen, gehst du strategisch vor. Gegeben ist ein Dreieck mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen…

Mit der abc-Formel quadratische Gleichungen lösen

Herleitung der abc-Formel Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Lösen quadratischer Gleichungen Herleitung der abc-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form a x + b x + c = abc-Formel: - b ? b - a c a Die abc-Formel entsteht aus der quadratischen Gleichung in allgemeiner Form a x + b x + c = ( a ≠ ) durch quadratische Ergänzung . L = - b + b - a c a ; - b - b - a c a Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Diskriminante D zur abc-Formel: D = b…

Mit der p/q-Formel quadratische Gleichungen lösen

Herleitung der pq-Formel Lösen quadratischer Gleichungen Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Satz von Vieta Herleitung des Satzes von Vieta Herleitung der pq-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x + p x + q = pq-Formel: x 1/2 = - p ? p - q Die pq-Formel entsteht aus der Normalform einer quadratischen Gleichung x + p x + q = durch quadratische Ergänzung . für p - q gt : L = - p + p - q ; - p - p - q Lösen quadratischer Gleichungen Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x…

Mit der quadratischen Ergänzung quadratische Gleichungen lösen

Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung Quadratischen Gleichungen der Form x + p x + q = kannst du lösen, indem du den Term x + p x quadratisch ergänzt. Addierst du den Term p , entsteht durch Anwenden der binomischen Formeln der Term x + p . Die umgeformte Gleichung kannst du durch Wurzelziehen lösen. x + = ? L = {-1 ; -7}

Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme mit Potenzen mit Hilfe der Potenzgesetze multiplizieren kannst. Weiterhin erfährst du, wie du Terme mit Potenzen durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren in ein Produkt umwandeln kannst. Multiplikation von Termen mit gleichen Basen Multiplikation von Termen mit gleichen Exponenten Anwenden der Potenzgesetze bei Termen Potenzieren von Potenzen Ausklammern in Termen mit Potenzen Multiplikation von Termen mit gleichen Basen Wenn du Potenzen mit gleichen Basen miteinander multiplizieren möchtest, kannst du die folgende Regel verwenden: x n * x m = x n + m bzw. x k * x n * x m = x…

Multiplikation von Termen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme miteinander multiplizieren und wie du Terme dividieren kannst. Vervielfachen eines Terms Variablen multiplizieren Terme miteinander multiplizieren Einen Term durch eine Zahl dividieren Vervielfachen eines Terms Einen Term zu vervielfachen, bedeutet, ihn mit einer Zahl zu multiplizieren.Bei Termen, die nur aus einer Variablen mit einem Koeffizienten bestehen, zum Beispiel 3x, wird nur der Koeffizient mit einer Zahl multipliziert .Da Variablen für Zahlenwerte stehen, gelten für das Rechnen mit ihnen die gleichen Rechengesetze wie für Zahlen, also beispielsweise das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation und der Addition. Vervierfache den Term x . Multiplizieren Vervierfachen…

Multiplizieren von Termen mit Klammern

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme mit Klammern miteinander multiplizieren kannst. Im Folgenden sprechen wir auch von Summen, wenn ein Minuszeichen zwischen den Termgliedern steht Multiplizieren von Summen Multiplizieren von Summen Du weißt bereits, wie man mit Hilfe des Distributivgesetzes einen einzelnen Term mit einer Summe multipliziert. Besteht der Term selbst wieder aus einer Summe, so kannst du weiter ausmultiplizieren. Du musst nur das Distributivgesetz ein zweites Mal anwenden. Beachte, dass der Faktor beim Distributivgesetz vor oder hinter der Klammer stehen kann, da das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt. Du kannst an Stelle von a, b, c und d…

Nullstellen- und Schnittpunktberechnungen

Nullstellen einer Parabel Nullstellen berechnen Anzahl der Nullstellen anhand der Diskriminante bestimmen Schnittpunkte zweier Graphen Anzahl der Schnittpunkte zweier Parabeln Nullstellen einer Parabel Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die die Funktion den Wert null annimmt. An einer Nullstelle x gilt also f x = . An einer Nullstelle schneidet bzw. berührt der Graph von f die x-Achse. Die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion hängt von der Lage der zugehörigen Parabel ab. Funktion f mit f x = x - Die zugehörige Parabel ist nach oben geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-Achse. Sie schneidet…

Periodische Vorgänge - Die allgemeine Sinusfunktion

Die allgemeine Form der Gleichung Verschiebung entlang y-Achse Die Amplitude: Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in y-Richtung Die Phase: Verschiebung der Sinuskurve in x-Richtung Die Periode: Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in x-Richtung Kombination verschiedener Parameter Die allgemeine Form der Gleichung Du kennst die normale Sinuskurve mit y = sin(x). Durch die Verwendung von Parametern kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene periodische Vorgänge zu beschreiben oder zu modellieren. Allgemein hat die Gleichung dann die Form: y = a * sin b x + c + d y = sin x - π + Verschiebung entlang y-Achse y =…

Potenzgesetze für Potenzen mit gleichem Exponenten

Multiplikation von Potenzen Division von Potenzen Multiplikation von Potenzen Für eine natürliche Zahl n und reelle Zahlen a und b gilt: a n * b n = a * b n Du bildest das Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten, indem du ihre Basen multiplizierst. a n * b n = a * ... * a ⏟ n-mal * b * ... * b ⏟ n-mal = a * b * ... * a * b ⏟ n = a * b n Da die Multiplikation kommutativ ist, können die Faktoren beliebig vertauscht werden. Division von Potenzen Für eine natürliche…

Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis

Multiplikation von Potenzen Division von Potenzen Potenzieren von Potenzen Multiplikation von Potenzen Für natürliche Zahlen m und n und eine reelle Zahl agilt: a m * a n = a m + n Du multiplizierst Potenzen mit gleicher Basis, indem duihre Exponenten addierst. a m * a n = a * ... * a ⏟ m-mal * a * ... * a ⏟ n-mal = a * ... * a ⏟ ( m + n )-mal = a m + n Division von Potenzen Für natürliche Zahlen m und n mit m gt n und eine reelle Zahl a ≠…

Potenzgesetze für Potenzen mit negativem Exponenten

Potenzgesetze Potenzgesetze 1. Für eine ganze Zahl n und eine reelle Zahl a ≠ ist a - n = a n .2. Für eine reelle Zahl a ≠ ist a = a 3. Für eine ganze Zahl n und reelle Zahlen a und b, beide ungleich 0, ist a b - n = b a n . = = x y = y x Die Potenzgesetze für Potenzen mit natürlichen Exponenten gelten auch für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. 4. Für ganze Zahlen m und n und eine reelle Zahl a ≠ gilt: a m * a n = a m…

Potenzgesetze für Potenzen mit rationalem Exponenten

Potenzen mit rationalen Exponenten Potenzgesetze Berechnen von Potenzen mit rationalem Exponenten Rechnen mit Wurzeln Rationalmachen des Nenners Potenzen mit rationalen Exponenten Für eine positive reelle Zahl a und natürliche Zahlen m , n ≥ wird vereinbart: a m n = a m n und a - m n = a m n Für positive Exponenten darf auch a = sein: m n = m n = Du kannst jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten und jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel schreiben. = - = Insbesondere lassen sich damit n-te Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben. =…

Potenzschreibweise

Die n-te Potenz Potenzen mit negativer Basis Basis oder Exponent einer Potenz bestimmen Die n-te Potenz Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n gt ist: a n = a * ... * a ⏟ n-mal Sprich: a hoch n Potenzen mit negativer Basis Das Produkt aus einer geraden Anzahl negativer Faktoren ist positiv. Damit ist auch eine Potenz mit negativer Basis und geradem Exponenten positiv. Das Produkt aus einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren ist negativ. Damit ist auch eine Potenz mit negativer Basis und ungeradem Exponenten negativ. Steht vor der Potenz ein negatives Vorzeichen, bildest du die…

Proportionale Zuordnungen

In diesen Erklärungen erfährst du, was proportionale Zuordnungen sind und wie du sie erkennen, konstruieren und graphisch darstellen kannst. Dir wird gezeigt, wie die Dreisatz-Rechnung funktioniert und wie du damit Werte einer proportionalen Zuordnung bestimmen kannst. Wertetabellen und Zuordnungen Proportionale Zuordnungen und ihre Wertetabellen Graphen proportionaler Zuordnungen Dreisatz-Rechnung Wertetabellen und Zuordnungen Mit Zuordnungen kann eine Zahl oder Größe genau einer anderen Zahl oder Größe zugeordnet werden. Zuordnungen kannst du in einer Wertetabelle darstellen. Eine Wertetabelle besteht immer aus zwei Zeilen. Einem Wert aus der ersten Zeile wird der unter ihm stehende Wert in der zweiten Zeile zugeordnet. Einheiten oder Beschreibungen…

Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Faktorisierte Form quadratischer Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen mittels Faktorisierung lösen - Differenz von Quadraten Quadratische Gleichungen mittels Faktorisierung lösen - Vollständiges Quadrat Faktorisierte Form quadratischer Gleichungen lösen Ist die linke Seite einer quadratischen Gleichung in faktorisierter Form dargestellt, kannst du die Lösungsmenge L der Gleichung bestimmen, indem du jeden Faktor gleich null setzt und nach x auflöst. x + x - = Durch Anwenden der Nullproduktregel erhältst du x + = oder x - = . Also ist x = oder x = und L = , . x - x + = Durch Anwenden der Nullproduktregel erhältst du x…

Rechnen mit Bruchtermen

Hier erfährst du, wie du Bruchterme kürzen, erweitern, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kannst. Mit Bruchtermen rechnest du genauso wie mit Brüchen, nur dass hier auch Variablen vorkommen. Außerdem wird dir gezeigt, wie du einen Definitionsbereich bestimmen kannst, auf dem die Bruchterme vor und nach der Umformung äquivalent sind, denn beim Umformen eines Bruchterms kann sich der Definitionsbereich ändern. Kürzen Erweitern Hauptnenner bilden Addieren und subtrahieren Multiplizieren und dividieren Potenzrechnung Kürzen Einen Bruchterm kannst du kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben. Der Definitionsbereich eines Bruchterms kann sich durch das Kürzen ändern.Der Definitionsbereich, in dem beide Bruchterme äquivalent…

Rechnen mit Logarithmen

Logarithmengesetze Logarithmen von Termen oder Terme mit Logarithmen zusammenfassen Logarithmengesetze Aus den Potenzgesetzen ergeben sich Gesetze für das Rechnen mit Logarithmen: log b u * v = log b u + log b v log b u v = log b u - log b v log b u r = r * log b u log = log = Logarithmen von Termen oder Terme mit Logarithmen zusammenfassen Du kannst auch Logarithmen von Termen betrachten und diese mit Hilfe der Logarithmengesetze umformen. Für x ≠ ist log - x = log x Da der Logarithmus nur für einen positiven Numerus…

Rechnen mit Prozenten

Begriffe der Prozentrechnung im Sachkontext zuordnen Prozentwert berechnen Prozentsatz berechnen Grundwert berechnen Prozente in Diagrammen darstellen Begriffe der Prozentrechnung im Sachkontext zuordnen Prozentangaben beschreiben Größenverhältnisse und werden durch das Symbol % dargestellt. Prozent bedeutet von Hundert: % = Der Grundwert ist das Ganze und entspricht % .Der Prozentwert ist der Anteil des Ganzen.Der Prozentsatz gibt den Anteil in Prozent an. Der Prozentsatz beschreibt das Verhältnis von Prozentwert zu Grundwert. Prozentsatz = Prozentwert Grundwert % der 1300 Mitarbeiter sind weiblich, das sind 585 weibliche Mitarbeiter. Die Gesamtanzahl der Mitarbeiter (1300 Mitarbeiter) stellt hier den Grundwert dar. Der Prozentwert entspricht der Anzahl…

Rechnen mit Prozenten mit dem Dreisatz

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du mit dem Dreisatz Prozentsätze, Grund- und Prozentwerte berechnen und damit gesuchte Größen in konkreten Anwendungen bestimmen kannst. Dreisatz-Rechnung mit Prozent-Angaben Prozentrechnung mit Diagrammen Prozentrechnung in Textaufgaben Dreisatz-Rechnung mit Prozent-Angaben Die Zuordnung von Prozentwerten zu Prozentsätzen oder von Prozentsätzen zu Prozentwerten ist immer proportional.Daher kannst du zum Bestimmen von Werten dieser Zuordnungen die Dreisatz-Rechnung verwenden. Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz in der Dreisatztabelle Wenn der Prozentwert oder der Prozentsatz gesucht sind, dann müssen diese in der letzten Zeile stehen. Der Grundwert entspricht % . Der Prozentwert entspricht dem Prozentsatz. Die leere Zeile in der Mitte…

Rechnen mit Prozenten mit den Formeln

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du zur Berechnung eines Prozentsatzes, Grund- oder Prozentwertes Formeln verwenden kannst und wie du einen vermehrten oder verminderten Grundwert bestimmst. Formeln anwenden Vermehrten oder verminderten Grundwert berechnen Herleitung der Formeln Formeln anwenden Zum Bestimmen eines Prozentsatzes (p %), Grundwertes (G) oder Prozentwertes (W) kannst du jeweils eine Formel benutzen. Prozentsatz: p % = W G Prozentwert: W = p * G Grundwert: G = W * p Begriffe zuordnen % der 1300 Mitarbeiter sind weiblich, das sind weibliche Mitarbeiter. Die Gesamtmenge der Mitarbeiter stellt hier den Grundwert dar, also 1300 Mitarbeiter.Der Prozentwert ist die…

Rechnen mit Zinsen

In diesen Erklärungen erfährst du, was Kapital, Zinssatz und Zinsen bedeuten und wie du damit rechnen kannst. Dir wird erklärt, was Zinseszinsen sind und wie du sie berechnest. Begriffe in der Zinsrechnung Rechnen mit Formeln Zinsen mit unterschiedlichen Zeitangaben Zinseszins berechnen Begriffe in der Zinsrechnung Wenn man mit Geldwerten rechnet, wird die Prozentrechnung häufig auch Zinsrechnung genannt. Speziell in der Finanzwelt bezeichnet man den Grundwert als das Kapital (K), der Prozentsatz wird Zinssatz (p %) genannt und der Prozentwert Zinsen (Z). Kapital ↔ Grundwert Zinssatz ↔ Prozentsatz Zinsen ↔ Prozentwert Begriffe zuordnen Zinsrechnung ist das gleiche wie Prozentrechnung. Die drei…

Rechnerische Bestimmung der Scheitelpunktform

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform Von der faktorisierten Form zur Scheitelpunktform Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform Mit der quadratischen Ergänzung bringst du den Funktionsterm f x = a x + b x + c in die Scheitelpunktform f x = a x - d + e . a = : Scheitelpunkt: S | a ≠ : Scheitelpunkt: S | Von der faktorisierten Form zur Scheitelpunktform Mit Hilfe der Nullstellen der Funktion bringst du die faktorisierte Form f x = a x - x x - x in die Scheitelpunktform f x = a x - d + e…

Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen

Verschiebung entlang der y-Achse Verschiebung entlang der x-Achse Streckung, Stauchung und öffnung Scheitelpunktform Verschiebung entlang der y-Achse Addierst du zum Funktionsterm der Funktion f mit f x = x eine Konstante e, dann ist der Graph der neuen Funktion g x = x + e eine entlang der y-Achse verschobene Normalparabel. Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist S | e . Für e > 0 wird die Parabel entlang der y-Achse um e Einheiten nach oben verschoben. Für e 0 ist die Parabel entlang der x-Achse um d Einheiten nach rechts verschoben. Für d 0 ist die Parabel nach oben geöffnet.…

Steigung linearer Funktionen

Hier erfährst du, welche Bedeutung die Steigung einer linearen Funktion hat, wie du sie am Funktionsgraphen ablesen und wie du sie berechnen kannst. Bedeutung der Steigung Betrag der Steigung Das Steigungsdreieck Steigung an einer Geraden ablesen Gerade mit vorgegebener Steigung zeichnen Bedeutung der Steigung in Sachsituationen Berechnung der Steigung Bedeutung der Steigung Die Gleichung einer linearen Funktion hat die Form y = m x + b . In dieser Gleichung beschreibt m die Steigung. Der Wert für m bestimmt, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn sich die Argumente ändern. Der zugehörige Graph ist eine Gerade. f: y = x -…

Trigonometrie am Einheitskreis

Hier erfährst du, wie du Sinus und Kosinus auch für Winkel, die größer sind als ? , berechnen kannst. Sinus und Kosinus am Einheitskreis Symmetrien an der x-Achse Symmetrien an der y-Achse Symmetrien am Ursprung Negative Winkel Lösen trigonometrischer Gleichungen Sinus und Kosinus am Einheitskreis Zu jedem Winkel α zwischen ? und ? gehört ein Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten x | y . Es wird definiert: cos α = x sin α = y Dabei ist α der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Radius 0P. Betrachte den Punkt P auf dem Einheitskreis mit den…

Trigonometrie im Bogenmaß

Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel im Bogenmaß Umgang mit dem Taschenrechner im Modus RAD Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel im Bogenmaß Ein Winkel lässt sich sowohl im Bogenmaß (rad), als auch im Gradmaß (?) angeben. Daher lassen sich die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens auch für reelle Zahlen definieren: Der rechte Winkel hat das Gradmaß ? und das Bogenmaß π .Also: Ein Winkel mit dem Bogenmaß π hat das Gradmaß ? .Also: tan π = tan ? = Umgang mit dem Taschenrechner im Modus RAD Für die Berechnung der Funktionswerte mit dem Taschenrechner musst du den passenden…

Vereinfachen von Termen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme so weit wie möglich vereinfachen kannst. Terme vereinfachen Terme vereinfachen Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Löse alle Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen. x x + y + y + x + y + ) Ausmultiplizieren - Aus x x + y wird x + x y - 7y bleibt unverändert- Aus x + y wird x + y - 9 bleibt unverändert = x + x y + y + x…

Wachstum und Rekursion

Hier erfährst du, wie du Rekursionsformeln für exponentielles und lineares Wachstum aufstellen kannst und wie du mit diesen Formeln rechnest. Explizite Formel und Rekursionsformel im Vergleich überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum Explizite Formel und Rekursionsformel im Vergleich Die explizite Formel gibt an, wie der Wert der gleichmäßig schrittweise wachsenden Größe abhängig von der Anzahl n der Schritte berechnet wird. Die Rekursionsformel gibt an, wie der Wert der gleichmäßig schrittweise wachsenden Größe in einem bestimmten Schritt aus dem Wert der Größe im vorherigen Schritt berechnet wird. Lineare Zu- oder Abnahme Die Größe G ändert sich in jedem Schritt um den…

Wertetabellen und Funktionsgraphen

In diesen Erklärungen erfährst du, welcher Zusammenhang zwischen Wertetabellen und graphischen Darstellungen von linearen Funktionen besteht. Wertetabellen Von der Wertetabelle zur graphischen Darstellung Von der graphischen Darstellung zur Wertetabelle Wertetabellen und graphische Darstellung bei Sachaufgaben Wertetabellen Eine Funktion kann auf verschiedene Arten dargestellt werden. Eine Möglichkeit ist die Wertetabelle. Eine Wertetabelle hat zwei Zeilen. Die obere Zeile enthält eine Auswahl von x-Werten (Argumente der Funktion), die untere Zeile die dazu gehörenden y-Werte (Funktionswerte f(x)). Das heißt, eine Spalte einer Wertetabelle repräsentiert genau ein Wertepaar (x;y) der Funktion und damit einen Punkt (x|y) im Koordinatensystem. Von der Wertetabelle zur graphischen Darstellung…

Winkel im Bogenmaß

Winkel in Bogenmaß Umrechnen zwischen Grad- und Bogenmaß Winkel über 2π und negative Winkel Winkel in Bogenmaß Zu jedem Mittelpunktswinkel am Einheitskreis gehört ein Kreisbogen auf dem Einheitskreis. Die Länge des Kreisbogens ist ein Maß für die Größe des Winkels. Dieses wir als Bogenmaß bezeichnet und trägt die Einheit „ Radiant “ , abgekürzt „ rad “ (Modus RAD am Taschenrechner). Einem Vollwinkel ( ? ) entspricht das Bogenmaß π rad . Das Bogenmaß rad entspricht einem Winkel von ? π ≈ ? , also etwa ? . Anders als beim Gradmaß mit der Einheit „ Grad “ (?, Modus…

Wissen über lineare Funktionen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du dein Wissen über lineare Funktionen geschickt nutzen kannst, um den Wahrheitsgehalt von Aussagen zu überprüfen oder um Punkte unter bestimmten Bedingungen im Koordinatensystem zu finden. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Steigung Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Der Graph einer linearen Funktion f mit der Funktionsgleichung y = m x + b (und uneingeschränktem Definitionsbereich) schneidet die y-Achse im Punkt | f(0) = | b . Einen Schnittpunkt x | mit der x-Achse gibt es dann, wenn m≠0. Für m = ist der Graph eine Gerade parallel zur x-Achse. Eine Gerade, die parallel zu y-Achse verläuft,…

Wissen über lineare Gleichungssysteme

Hier erfährst du, unter welchen Bedingungen es sinnvoll ist, ein lineares Gleichungssystem zeichnerisch zu lösen und wie du beim rechnerischen Lösen das Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren geschickt verwenden kannst. Auswahl eines günstigen Verfahrens zum Lösen eines linearen Gleichungssystems Knobelaufgaben zu linearen Gleichungssystemen Auswahl eines günstigen Verfahrens zum Lösen eines linearen Gleichungssystems Jedes lineare Gleichungssystem mit zwei Variablen kannst du zeichnerisch sowie auch rechnerisch mit dem Gleichsetzungs-, dem Einsetzungs- oder dem Additionsverfahren lösen. Manchmal bietet sich ein bestimmtes Verfahren direkt an: - Grafisches Lösen durch das Zeichnen von zwei Geraden: Dieses Verfahren verwendest du, wenn die beiden linearen Gleichungen als zwei…

Zehnerpotenzen - Wissenschaftliche Schreibweise großer und kleiner Zahlen

Zehnerpotenzen Wissenschaftliche Schreibweise Zehnerpotenzen Potenzen mit der Basis 10 heißen Zehnerpotenzen . Der Exponent gibt die Anzahl der Nullen an, die du benötigst, um die Potenz als natürliche Zahl bzw. als Dezimalzahl zu schreiben. n = 0 . . . 0 ⏟ n Nullen - n = 0,0 . . . 0 ⏟ n Nullen = . = . Wissenschaftliche Schreibweise Um sehr große und sehr kleine positive Zahlen übersichtlich aufschreiben zu können, trennst du Zehnerpotenzen ab. Bei jeder endlichen Dezimalzahl kannst du das Komma so verschieben, dass nur eine Ziffer vor dem Komma steht, indem du mit einer Zehnerpotenz…

Zinseszins

Feste Verzinsung und Zinseszins Rendite bei variablem Zinssatz Feste Verzinsung und Zinseszins Von Zinseszins spricht man, wenn ein Geldbetrag (das Kapital) verzinst wird und die anfallenden Zinsen nach ihrer Gutschrift mit verzinst werden. Wird ein Kapital mit einem festen Zinssatz von p % p.a. und Zinseszins angelegt, so wächst das Kapital exponentiell und jährlich mit dem Zinsfaktor b = + p Willst du die Größe eines über mehrere Jahre mit Zinseszins fest verzinsten Kapitals berechnen, verwendest du Potenzen des Zinsfaktors b. Hat das Kapital den Anfangswert K , dann gilt für den Wert K n (nach n Jahren): Ein Kapital…
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