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Trigonometrie

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Anwendungen zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Hier erfährst du, wie du mit den Winkelfunktionen mathematische Probleme aus dem Alltag lösen kannst. Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Vermessungen mit dem Theodolit Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“. Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel α und ß. Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse: Sinus = Gegenkathete Hypotenuse Der Kosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse: Kosinus = Ankathete Hypotenuse Der Tangens…

Berechnungen an Figuren und Körpern

Hier erfährst du, wie du mit den Winkelfunktionen unzugängliche Streckenlängen und Winkel in Figuren und Körpern berechnen kannst. Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“. Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel α und ß. Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse: Sinus = Gegenkathete Hypotenuse Der Kosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse: Kosinus = Ankathete Hypotenuse Der Tangens eines…

Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken

Hier erfährst du, wie du mit Hilfe der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens Seitenlängen und Winkelgrößen am rechtwinkligen Dreieck berechnen kannst und wie du dabei den Taschenrechner richtig benutzt. Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Benutzung des Taschenrechners Berechnung von Winkeln und Seitenlängen Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Da rechtwinklige Dreiecke mit gleich großen Winkeln ähnlich zueinander sind, sind die Seitenverhältnisse eindeutig durch einen der beiden spitzen Winkel festgelegt. Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“.Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel α und ß.…

Der Kosinussatz

Hier erfährst du, wie du mit dem Kosinussatz Seitenlängen und Winkel an beliebigen Dreiecken berechnen kannst Der Kosinussatz Seitenlänge berechnen Winkel berechnen Der Kosinussatz Seitenlänge berechnen Mit dem Kosinussatz kannst du aus den Längen zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws) die Länge der dritten Seite berechnen. Winkel berechnen Mit dem Kosinussatz kannst du aus den Längen der drei Seiten (sss) jeden der drei Winkel berechnen.

Der Sinussatz

Hier erfährst du, wie du mit dem Sinussatz Seitenlängen und Winkel in beliebigen Dreiecken berechnen kannst. Der Sinussatz Seitenlängen berechnen Winkel berechnen Der Sinussatz Das Verhältnis der Längen zweier Seiten ist gleich dem Verhältnis der Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel. Seitenlängen berechnen Mit dem Sinussatz kannst du aus zwei Winkeln und der Länge einer der beiden gegenüberliegenden Seiten (sww) die Länge der anderen gegenüberliegenden Seite berechnen. Dreieck ABC mit der Länge der Seite b und den Winkeln α und β Winkel berechnen Mit dem Sinussatz kannst du aus den Längen zweier Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel (Ssw) den…

Die Winkelfunktion Tangens

Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Der Graph der Tangensfunktion Periodizität Symmetrien von Tangens Trigonometrische Gleichungen lösen Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Die Bezeichnung "Tangens" ergibt sich aus dem Begriff Tangente. Der Tangens entspricht der Länge der pinken Strecke, die auf der Tangente des Einheitskreises im Punkt | liegt. Mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes kannst du dir die Definition des Tangens herleiten: sin α cos α = tan α Also: tan α = sin α cos α Beachte aber: Es ist üblich, für das Argument einer Funktion die Variable x zu verwenden. Der Graph der Tangensfunktion Die Tangensfunktion ist definiert durch tan x…

Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus

Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Der Graph der Sinusfunktion Der Graph der Kosinusfunktion Periodizität Symmetrien von Sinus und Kosinus Trigonometrische Gleichungen lösen Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Die Bezeichnung „Sinus“ ist lateinisch und bedeutet Bogen. Bewegst du einen Punkt P auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn und trägst zu jedem Drehwinkel α die y-Koordinate des Punktes P in ein Koordinatensystem ein, erhältst du den Graphen der Sinusfunktion sin: α sin α Trägst du die x-Koordinate ein, erhältst du den Graphen der Kosinusfunktion cos: α cos α Beachte aber: Es ist üblich, für das Argument einer Funktion die Variable x zu verwenden. Zu…

Elementare Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens und besondere Winkel

Hier erfährst du, welche Zusammenhänge zwischen den Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck bestehen und wie du diese ausnutzen kannst um andere Größen des Dreiecks zu berechnen. Elementare Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus sin?(α) + cos?(α) = 1 Der Tangens als Quotient aus Sinus und Kosinus Der Tangens, Sinus und Kosinus von 45?, 30" und 60? Elementare Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel im Punkt C gilt: Merksatz 1: Merksatz 2: Die Gegenkathete des Winkels α ist die Ankathete des Winkels β. Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck ( α + β + γ…

Lösungsstrategien für Sinus- und Kosinussatz

Hier erfährst du, unter welchen Voraussetzungen für die Berechnungen in Dreiecken die Anwendung des Sinussatzes oder die des Kosinussatzes die bessere Strategie ist. Den richtigen Satz benutzen Alle Größen im Dreieck berechnen Den richtigen Satz benutzen Kennst du mindestens drei Größen (Seitenlängen und/oder Winkel) in einem beliebigen Dreieck, dann kannst du mindestens eineweitere Größe berechnen, indem du den Sinussatz oder den Kosinussatz anwendest. Dabei kannst du mehrere Fälle unterscheiden: Alle Größen im Dreieck berechnen Möchtest du alle unbekannten Größen eines Dreiecks aus drei gegebenen Größen berechnen, gehst du strategisch vor. Gegeben ist ein Dreieck mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen…

Periodische Vorgänge - Die allgemeine Sinusfunktion

Die allgemeine Form der Gleichung Verschiebung entlang y-Achse Die Amplitude: Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in y-Richtung Die Phase: Verschiebung der Sinuskurve in x-Richtung Die Periode: Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in x-Richtung Kombination verschiedener Parameter Die allgemeine Form der Gleichung Du kennst die normale Sinuskurve mit y = sin(x). Durch die Verwendung von Parametern kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene periodische Vorgänge zu beschreiben oder zu modellieren. Allgemein hat die Gleichung dann die Form: y = a * sin b x + c + d y = sin x - π + Verschiebung entlang y-Achse y =…

Trigonometrie am Einheitskreis

Hier erfährst du, wie du Sinus und Kosinus auch für Winkel, die größer sind als ? , berechnen kannst. Sinus und Kosinus am Einheitskreis Symmetrien an der x-Achse Symmetrien an der y-Achse Symmetrien am Ursprung Negative Winkel Lösen trigonometrischer Gleichungen Sinus und Kosinus am Einheitskreis Zu jedem Winkel α zwischen ? und ? gehört ein Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten x | y . Es wird definiert: cos α = x sin α = y Dabei ist α der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Radius 0P. Betrachte den Punkt P auf dem Einheitskreis mit den…

Trigonometrie im Bogenmaß

Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel im Bogenmaß Umgang mit dem Taschenrechner im Modus RAD Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel im Bogenmaß Ein Winkel lässt sich sowohl im Bogenmaß (rad), als auch im Gradmaß (?) angeben. Daher lassen sich die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens auch für reelle Zahlen definieren: Der rechte Winkel hat das Gradmaß ? und das Bogenmaß π .Also: Ein Winkel mit dem Bogenmaß π hat das Gradmaß ? .Also: tan π = tan ? = Umgang mit dem Taschenrechner im Modus RAD Für die Berechnung der Funktionswerte mit dem Taschenrechner musst du den passenden…

Winkel im Bogenmaß

Winkel in Bogenmaß Umrechnen zwischen Grad- und Bogenmaß Winkel über 2π und negative Winkel Winkel in Bogenmaß Zu jedem Mittelpunktswinkel am Einheitskreis gehört ein Kreisbogen auf dem Einheitskreis. Die Länge des Kreisbogens ist ein Maß für die Größe des Winkels. Dieses wir als Bogenmaß bezeichnet und trägt die Einheit „ Radiant “ , abgekürzt „ rad “ (Modus RAD am Taschenrechner). Einem Vollwinkel ( ? ) entspricht das Bogenmaß π rad . Das Bogenmaß rad entspricht einem Winkel von ? π ≈ ? , also etwa ? . Anders als beim Gradmaß mit der Einheit „ Grad “ (?, Modus…


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