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Lösen von Exponentialgleichungen

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Lösen durch Exponentenvergleich
Lösen durch Logarithmieren

Lösen durch Exponentenvergleich

Einfache

Exponentialgleichungen

kannst du im Kopf lösen, wenn du auf beiden Seiten der Gleichung

Potenzen

mit derselben

Basis

hast. Manchmal ist das offensichtlich, manchmal benötigst du eine einfache Umformung.

Linke Seite vereinfachen:

Also:

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_3.jpg

Exponentenvergleich ergibt:

x = 2

Du schreibst beide Seiten als Potenzen derselben Basis:

8^{3 x + 1} = {(2^{3})}^{3 x + 1} = 2^{9 x + 3}

und

4^{5 x} = {(2^{2})}^{5 x} = 2^{10 x}

Exponentenvergleich ergibt:

Lösen durch Logarithmieren

Durch

Logarithmieren

erhältst du

\lg (13^{x + 2}) = \lg (5)

und nach der

Exponentenregel

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_7.jpg

Du berechnest x mit dem Taschenrechner, indem du die Taste

verwendest. Das Ergebnis rundest du auf zwei Stellen nach dem Komma:

x

≈

-1.37

5^{2 x} = 7^{x + 2}

Logarithmieren und Anwendung der Exponentenregel:

Nach x umstellen:

Du berechnest x mit dem Taschenrechner, indem du die Taste

verwendest:

2

*

7

/

(

2

*

5

-

7

)

Das Ergebnis rundest du auf zwei Stellen nach dem Komma:

x

≈

3.057

2^{x} + 3^{x} = 7^{x}

lässt sich nicht exakt lösen, sondern nur näherungsweise durch Einsetzen geeigneter Werte.

x = 0

:

2^{0} + 3^{0} = 2 gt 1 = 7^{0}

und

2^{1} + 3^{1} = 5 lt 7 = 7^{1}

Lösung liegt zwischen 0 und 1.

x = 0.5

:

2^{0.5}

+

3^{0.5}

≈

3.146

>

2.646

≈

7^{0.5}

Lösung liegt zwischen

0.5

und 1.

Ein guter

Näherungswert

für x ist

0.66885

.

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bettermarks ist in vier Sprachen verfügbar und wird unter anderem in Deutschland, den Niederlanden, Uruguay und Südafrika täglich im Unterricht eingesetzt.