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Lösen von Exponentialgleichungen

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Lösen durch Exponentenvergleich

Einfache Exponentialgleichungen kannst du im Kopf lösen, wenn du auf beiden Seiten der Gleichung Potenzen mit derselben Basis hast. Manchmal ist das offensichtlich, manchmal benötigst du eine einfache Umformung.
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_1.jpg
Linke Seite vereinfachen:
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_2.jpg
Also:
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_3.jpg
Exponentenvergleich ergibt:
x = 2
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_4.jpg
Du schreibst beide Seiten als Potenzen derselben Basis:
8 3 x + 1 = 2 3 3 x + 1 = 2 9 x + 3 und 4 5 x = 2 2 5 x = 2 10 x
Exponentenvergleich ergibt:
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_5.jpg

Lösen durch Logarithmieren

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_6.jpg
Durch Logarithmieren erhältst du
lg 13 x + 2 = lg 5
und nach der Exponentenregel
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_7.jpg
Du berechnest x mit dem Taschenrechner, indem du die Taste /wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_8.jpg verwendest. Das Ergebnis rundest du auf zwei Stellen nach dem Komma:
x -1.37
5 2 x = 7 x + 2
Logarithmieren und Anwendung der Exponentenregel:
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_9.jpg
Nach x umstellen:
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_10.jpg
Du berechnest x mit dem Taschenrechner, indem du die Taste /wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_11.jpg verwendest:
2 * /wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_12.jpg 7 / ( 2 * /wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_13.jpg 5 - /wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_14.jpg 7 )
Das Ergebnis rundest du auf zwei Stellen nach dem Komma:
x 3.057
2 x + 3 x = 7 x
lässt sich nicht exakt lösen, sondern nur näherungsweise durch Einsetzen geeigneter Werte.
x = 0 : 2 0 + 3 0 = 2 gt 1 = 7 0 und 2 1 + 3 1 = 5 lt 7 = 7 1 /wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_15.jpg Lösung liegt zwischen 0 und 1.
x = 0.5 : 2 0.5 + 3 0.5 3.146 > 2.646 7 0.5 /wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogLogExpGl_16.jpg Lösung liegt zwischen 0.5 und 1.
Ein guter Näherungswert für x ist 0.66885 .

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