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Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus

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Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion

Die Bezeichnung „Sinus“ ist lateinisch und bedeutet Bogen.
Bewegst du einen Punkt P auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn und trägst zu jedem Drehwinkel α die y-Koordinate des Punktes P in ein Koordinatensystem ein, erhältst du den Graphen der Sinusfunktion sin: α /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_1.jpg sin α
Trägst du die x-Koordinate ein, erhältst du den Graphen der Kosinusfunktion cos: α /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_2.jpg cos α
Beachte aber: Es ist üblich, für das Argument einer Funktion die Variable x zu verwenden.
Zu einem Winkel α (in Grad oder Bogenmaß) gehört dann ein Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten cos α | sin α und je ein Punkt auf den Graphen der Sinus- bzw. Kosinusfunktion: Q α | sin α ) und R α | cos α .
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_3.jpg/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_4.jpg

Der Graph der Sinusfunktion

Der Graph der Sinusfunktion lässt sich sowohl für Argumente im Gradmaß als auch im Bogenmaß zeichnen.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_5.jpg
Eigenschaften der Sinusfunktion
Die Sinusfunktion/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_6.jpg
Im Intervall 0 ; 360 ? bzw. 0 ; 2 π gilt: die Sinusfunktion/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_7.jpg
Der Graph hat im Intervall 0 ; 360 ? bzw. 0 ; 2 π /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_8.jpg

Der Graph der Kosinusfunktion

Der Graph der Kosinusfunktion lässt sich sowohl für Argumente im Gradmaß als auch im Bogenmaß zeichnen.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_9.jpg
Eigenschaften der Kosinusfunktion
Die Kosinusfunktion/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_10.jpg
Im Intervall 0 ; 360 ? bzw. 0 ; 2 π gilt: die Kosinusfunktion/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_11.jpg
Der Graph hat im Intervall 0 ; 360 ? bzw. 0 ; 2 π /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_12.jpg

Periodizität

Die Winkelfunktionen sind periodisch. Das heißt, die Funktionswerte wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
Eine periodische Funktion erkennst du am regelmäßigen Verlauf ihres Graphen.
Ist eine Funktion f periodisch, dann gibt es eine kleinste positive reelle Zahl a so, dass für alle ganzen Zahlen k gilt:
f x = f x + ka . Die Zahl a wird dann die Periode der Funktion f genannt.
Verschiebst du den Graphen der Funktion f um den Wert a entlang der x-Achse nach rechts oder links, fällt der verschobene Graph mit dem ursprünglichen zusammen.
Für die Winkelfunktionen ist die Periode a = 2 π .Für die Funktionswerte heißt das:
Für alle reellen Zahlen x gilt: sin x + 2 π = sin x cos x + 2 π = cos x .
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_13.jpg

Symmetrien von Sinus und Kosinus

Die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion , d.h., für alle reellen Zahlen x gilt:
sin - x = - sin x .
Der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung 0 | 0 .
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_14.jpg
Die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion , d.h., für alle reellen Zahlen x gilt:
cos - x = cos x .
Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_15.jpg

Trigonometrische Gleichungen lösen

Um trigonometrische Gleichungen wie z.B. sin x = a oder cos x = b zu lösen, kannst du die Symmetrien und die Periodizität der Winkelfunktionen nutzen.
Denn, wenn du die Lösungen einer Gleichung im Intervall - π ; π kennst, kennst du alle Lösungen für den gesamten Definitionsbereich.
sin x = 0.5
Lösungen im Intervall - π ; π : x 1 = 1 6 π ; x 2 = 5 6 π
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_16.jpg
Die Periode ist 2 π , also findest du alle anderen Lösungen, indem du auf die bereits gefundenen Lösungen ganzzahlige Vielfache von 2 π addierst.
Da du nicht alle Lösungen einzeln aufschreiben kannst, fasst du sie in der Lösungsmenge zusammen:
L = x | x = 1 6 π + 2 k π oder x = 5 6 π + 2 k π ; k
Lies: L ist die Menge aller x aus ℝ mit x = 1 6 π + 2 k π oder 5 6 π + 2 k π und k aus ℤ.
cos x = 0.5
Lösungen im Intervall - π ; π : x 1 = 1 3 π ; x 2 = - 1 3 π
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGWiSuK_17.jpg
L = x | x = 1 3 π + 2 k π oder x = - 1 3 π + 2 k π ; k
Wegen der Achsensymmetrie des Graphen (der Kosinus ist eine gerade Funktion) gilt für alle x im Intervall - π ; π : cos x = cos - x .

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