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Die Winkelfunktion Tangens

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Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion

Die Bezeichnung "Tangens" ergibt sich aus dem Begriff Tangente.
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Der Tangens entspricht der Länge der pinken Strecke, die auf der Tangente des Einheitskreises im Punkt 1 | 0 liegt.
Mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes kannst du dir die Definition des Tangens herleiten:
sin α cos α = tan α 1
Also:
tan α = sin α cos α
Beachte aber: Es ist üblich, für das Argument einer Funktion die Variable x zu verwenden.

Der Graph der Tangensfunktion

Die Tangensfunktion ist definiert durch
tan x = sin x cos x .
Der Graph lässt sich sowohl für Argumente im Gradmaß als auch im Bogenmaß zeichnen.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGTanF_2.jpg
Eigenschaften:
Die Tangensfunktion
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGTanF_3.jpg

Periodizität

Die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periode π . Sie "erbt" diese Eigenschaft von der Sinus- und der Kosinusfunktion.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGTanF_4.jpg
Damit kannst du die gesamte Lösungsmenge der Gleichung tan x = c angeben, wenn du eine Lösung kennst.
tan x = 1
Lösungen im Intervall - π ; π : x 1 = 1 4 π x 2 = x 1 - π = - 3 4 π

Symmetrien von Tangens

Die Tangensfunktion ist ungerade . Das heißt:
tan - x = sin - x cos - x = - sin x cos x = - tan x und der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung .
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGTanF_5.jpg

Trigonometrische Gleichungen lösen

Die Periodizität der Tangensfunktion kann dir helfen Gleichungen der Form
tan x = c
zu lösen.
Da der Wertebereich der Tangensfunktion ℝ ist und die Funktion in jeder Periode alle Werte annimmt, gibt es in jedem Intervall der Länge π eine Lösung dieser Gleichung.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGTanF_6.jpg
Mit der Taste /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGTanF_7.jpg des Taschenrechners erhältst du stets Werte im Intervall -90 ? ; 90 ? ( DEG Modus ) bzw. im Intervall - 1 2 π ; 1 2 π ( RAD Modus ).
Für alle anderen Lösungen addierst du ganzzahlige Vielfache von π zum gefundenen Wert so, dass das Ergebnis im vorgegebenen Intervall liegt.
tan x = 7.95
Lösungen im Intervall 5 2 π ; 9 2 π :
Der Taschenrechner zeigt x' 1.45 < 1 2 π
Also: x 1 = x' + 3 π 10.87 und x 2 = x' + 4 π 14.01

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