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Funktionen und ihre Darstellungen

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Anwendungen von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen mit prozentualer Zu- oder Abnahme Von der Verdopplungszeit zur Exponentialfunktion Von der Halbwertszeit zur Exponentialfunktion Exponentialfunktion aus Wertepaaren modellieren Exponentialfunktionen mit prozentualer Zu- oder Abnahme Nimmt eine Größe G ausgehend vom Anfangswert G pro Schritt um p % zu bzw. ab, so kann ihr Wert in Abhängigkeit von der Anzahl x der Schritte mit einer allgemeinen Exponentialfunktion beschrieben werden: y = G x = G * + p x bzw. y = G x = G * - p x In einem Land wächst die Bevölkerung jährlich um % . Derzeit leben Mio. Menschen in diesem Land. Das Bevölkerungswachstum…

Anwendungen zum Lösen von Exponentialgleichungen

Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Logarithmische Einteilung Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Wird zu einem Wachstumsprozess danach gefragt, nach wie vielen Schritten (nach welcher Zeit) ein bestimmter Wert oder Anteil erreicht wird, kannst du die gesuchte Größe ermitteln, indem du eine Exponentialgleichung der Form G x = G * b x aufstellst und diese löst. Dabei gehst du Schritt für Schritt vor: Ermittle aus dem Text den Wachstumsfaktor b , den Anfangswert G und den gewünschten Zielwert (Funktionswert an der gesuchten Stelle x ). Durch Logarithmieren oder Exponentenvergleich kannst du die Exponentialgleichung in eine lineare oder quadratische Gleichung…

Beispiele für Funktionen

Hier kannst du wichtige Beispiele für Funktionen kennenlernen. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen als Funktionen Lineare Funktionen kennenlernen Lineare, antiproportionale und quadratische Funktionen im Vergleich Definitionslücken bei Funktionstermen Nullstellen bestimmen Proportionale und antiproportionale Zuordnungen als Funktionen Proportionale Zuordnungen sind spezielle Funktionen. Die Zuordnungsvorschrift jeder proportionalen Zuordnung lässt sich immer in der Form x m x schreiben, wobei m der Proportionalitätsfaktor ist. Eine Funktion mit solch einer Zuordnungsvorschrift heißt proportionale Funktion. In der Wertetabelle ist eine proportionale Zuordnung gegeben. Eine proportionale Zuordnung erkennst du daran, dass für jedes Wertepaar der Quotient aus y-Wert und x-Wert gleich ist: Für jedes Wertepaar (x;y) der…

Besondere Punkte linearer Funktionen

Hier erfährst du, welche besonderen Punkte eine lineare Funktion hat, wie du sie bestimmst und welche Bedeutung diese Punkte in Sachsituationen haben. Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen Berechnen der Nullstelle Bestimmen des y-Achsenabschnitts Berechnen des y-Achsenabschnitts Bedeutung der Achsenabschnitte in Sachsituationen Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen Jeder Funktionsgraph, der nicht parallel zur x-Achse verläuft, schneidet beide Koordinatenachsen. Der Schnittpunkt mit der x-Achse hat 0 als y-Koordinate: ( x | ) Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat 0 als x-Koordinate: ( | y ) Die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet, heißt Nullstelle (oder…

Bruchgleichungen lösen und darstellen

Hier erfährst du, wie du Bruchgleichungen durch Probieren, graphisch oder durch Umformungen lösen kannst.Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung die Bruchterme enthält. Da Bruchgleichungen nicht für alle Zahlen definiert sein müssen, bestimmst du den maximalen Definitionsbereich aller Bruchterme und versicherst dich, dass jeder berechnete Wert für die unbekannte Variable im Definitionsbereich jedes Bruchterms enthalten ist. Lösen durch Probieren Graphisch lösen Lösen durch Umformen Gleichungen mit Potenzrechnung lösen Lösen durch Probieren Einfache Bruchgleichungen kannst du durch Probieren lösen.Wenn du einen Wert für die Variable x gewählt hast, überprüfst du, ob die Bruchterme auf beiden Seiten denselben Wert für x ergeben.Außerdem überprüfst du,…

Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen

Hier erfährst du, welche Eigenschaften gebrochen-rationale Funktion haben, wie du ihren Definitionsbereich bestimmen und ihren Graphen erkennen kannst. Außerdem wird dir gezeigt, wie du den Graphen einer Funktion mit der Funktionsgleichung vom Typ y = a x + c + d zeichnen kannst. Beispiele Definitionslücken und Definitionsbereiche bestimmen Waagerechte und senkrechte Asymptoten bestimmen Einfluss von Parametern auf den Graphen der Funktion Graphen und Funktionsterme Beispiele Funktionen mit Funktionsgleichungen wie y = x , y = x + + , y = x x - , y = x - oder y = x x + heißen gebrochen-rationale Funktionen. In den…

Eigenschaften linearer Funktionen

In diesen Erklärungen erfährst du, welche Eigenschaften lineare Funktionen haben und wie du sie anhand ihrer graphischen Darstellung oder der Funktionsgleichung erkennen kannst. Die Gerade als Graph einer linearen Funktion Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion Einfluss der Parameter m und b und Spezialfälle Das Steigungsverhalten des Graphen einer linearen Funktion Geradengleichungen in Normalform und in impliziter Form Lineare Funktionen in Sachsituationen Die Gerade als Graph einer linearen Funktion Der Begriff linear leitet sich von lateinisch linea = "Leine, Schnur, Faden" ab. Der Graph einer linearen Funktion ist sozusagen eine "gespannte Leine", also eine Gerade.Den Graphen einer linearen Funktion kannst du…

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Eigenschaften der Exponentialfunktion Die allgemeine Exponentialfunktion Verschiebung in y-Richtung Verschiebung in x-Richtung Eigenschaften der Exponentialfunktion Der Graph einer Exponentialfunktion y = b x mit b gt , b ≠ enthält die Punkte | und | b . Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen bestimmen. Der Graph enthält die Punkte | und | .Funktionsterm : f ( x ) = x Der Definitionsbereich D einer Exponentialfunktion ist ℝ, der kleinstmögliche Wertebereich W ist d ; ∞ . Die Asymptote wird verschoben nach y = d . Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu.…

Eigenschaften von Potenzfunktionen

Symmetrien bei Potenzfunktionen Monotonie von Potenzfunktionen Krümmung bei Potenzfunktionen Symmetrien bei Potenzfunktionen Allgemeine Potenzfunktionen mit geradem Grad sind gerade Funktionen, allgemeine Potenzfunktionen mit ungeradem Grad sind ungerade Funktionen. Eine allgemeine Potenzfunktion f mit geradem Grad ist eine gerade Funktion . Es gilt f x = f - x für alle reellen Zahlen x. Jeder Punkt x | f x wird bei Spiegelung an der y-Achse auf den Punkt - x | f x abgebildet. Der Graph ist also achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse. Der Graph der allgemeinen Potenzfunktion f mit f x = x ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Es gilt: f…

Einfache quadratische Gleichungen lösen

Lösung einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen mit Binom lösen Lösen durch Ausklammern Lösung einer quadratischen Gleichung Eine quadratische Gleichung der Form x = a mit a gt hat immer 2 Lösungen. Eine Zahl x ist dann Lösung einer Gleichung, wenn durch Einsetzen der Zahl x die Gleichung zu einer wahren Aussage wird. Die Wurzel aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist eine irrationale Zahl . Ist diese Zahl Lösung einer quadratischen Gleichung, so schreibst du sie immer als Wurzelausdruck, da ein gerundetes Ergebnis nie Lösung dieser Gleichung sein kann. x = x = = und x…

Einführung in quadratische Funktionen

Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion Besondere Punkte von quadratischen Funktionen Symmetrieeigenschaften der Parabel Definitionsbereich und Wertebereich einer quadratischen Funktion Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion Funktionen, die sich mit Termen der Form f x = a x + b x + c mit a ≠ darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen. Ihre Graphen heißen Parabeln. Die Gleichung y = a x + b x + c heißt Parabelgleichung. Alle Punkte x | y , deren Koordinaten x und y diese Gleichung erfüllen, liegen somit auf der Parabel. Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung y = f x = x…

Exponentielles Wachstum

Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent Berechnungen zum exponentiellen Wachstum Berechnungen mit Anteilen von Wachstumsschritten Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent Aus einer Prozentangabe kannst du den Wachstumsfaktor b bestimmen: Eine Zunahme um % entspricht einem Wachstumsfaktor Wächst eine Bakterienpopulation von anfangs 200 Bakterien stündlich um % , dann sind es nach einer Stunde 250 Bakterien. * = Eine Abnahme um % entspricht einem Wachstumsfaktor Eine Maschine mit einem Neuwert von € hat bei einem jährlichen Wertverlust von % nach einem Jahr einen Wert von € . * = Berechnungen zum exponentiellen Wachstum Willst du die…

Funktionsgleichung bestimmen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Funktionsgleichungen zu linearen Funktionen aufstellen kannst. Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen Funktionsgleichungen aufstellen zur Berechnung besonderer Punkte Funktionsgleichungen mit Punkt und Steigung bestimmen Funktionsgleichungen mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Gleichung hat die Form y = m x + b . Dabei bezeichnet m den Wert für die Steigung und b den y -Achsenabschnitt. Hast du von einer linearen Funktion den Graphen, also die Gerade gegeben, kannst du beide Werte direkt der graphischen Darstellung entnehmen. Bestimme zum…

Funktionsgraph zeichnen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du die Graphen linearer Funktionen zeichnen kannst. Graphen zeichnen, wenn zwei Punkte gegeben sind Graphen zeichnen, wenn ein Punkt und die Steigung gegeben sind Graphen zeichnen, wenn die Geradengleichung gegeben ist Graphen zeichnen, wenn zwei Punkte gegeben sind Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.Zum Zeichnen einer Geraden benötigst du mindestens 2 Punkte.Hast du von einer linearen Funktion zwei Wertepaare gegeben, kannst du den Funktionsgraphen durch die zugehörigen Punkte zeichnen. Zeichne den Graphen der linearen Funktion f , zu dem die Punkte P (3|4) und Q (-1|-2) gehören. Punkte im Koordinatensystem eintragen Beachte…

Funktionsgraphen verstehen

Hier erfährst du, wie du Funktionsgraphen interpretieren und dadurch nützliche Informationen aus ihnen ablesen kannst. Aus Funktionsgraphen Wertepaare ablesen Definitions- und Wertebereich am Funktionsgraphen erkennen Besondere Punkte auf dem Funktionsgraphen Monotonie-Intervalle Funktionsgraphen und Prozesse Aus Funktionsgraphen Wertepaare ablesen Das ist der Funktionsgraph der Funktion f(x) = x - . Der Graph einer Funktion f besteht aus allen Wertepaaren (x;y), wobei x den Definitionsbereich der Funktion durchläuft und stets y = f(x) gilt. Zum Beispiel gehört für x = das Wertepaar ( ; ) zum Graphen der Funktion f(x) = x - , denn die Funktion f(x) = x - ordnet…

Grundbegriffe zu Funktionen

Hier erfährst du, was eine Funktion ist und wie du sie beschreiben und darstellen kannst. Zuordnungen und Funktionen Begriffe und Symbole bei Funktionen Graphen von Zuordnungen und Funktionen Zuordnungen und Funktionen Zuordnungen spielen im täglichen Leben, in den Naturwissenschaften und natürlich in der Mathematik eine sehr wichtige Rolle. Eine Zuordnung ist eine Beziehung, die - nicht notwendig allen - Elementen einer Ausgangsmenge jeweils ein oder mehrere Elemente einer Zielmenge zuordnet. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Zuordnungen anzugeben. Pfeildiagramm Das folgende Pfeildiagramm gibt die Zuordnung an, die vier Schülern (Sophie, Max, Lea, Leon) jeweils die Farbe ihres Fahrrades bzw. die Farben ihrer…

Grundlagen zu linearem und exponentiellem Wachstum

Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich Beim Wachstum einer Größe ist oft von Interesse, welche Werte diese Größe nach einer bestimmten Anzahl von gleichbleibenden Schritten - oft Zeitschritten - annimmt.Ein Zeitschritt kann je nach Sachzusammenhang (z. B. Bakterienwachstum oder radioaktiver Zerfall) wenige Sekunden oder viele Jahre dauern. Lineares Wachstum Die Größe y ändert sich in jedem Schritt um den Betrag a Betrag der Differenz zweier aufeinanderfolgender y-Werte. Exponentielles Wachstum Die Größe y ändert sich in jedem Schritt mit dem Wachstumsfaktor b Quotient zweier aufeinanderfolgender y-Werte

Grundlagen zu Potenzfunktionen

Hier erfährst du, was eine Potenzfunktion ist, und lernst die wichtigsten Grundlagen zu Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten kennen. Was ist eine Potenzfunktion? Charakteristische Graphen von Potenzfunktionen Bedeutung des Koeffizienten im Term von Potenzfunktionen Was ist eine Potenzfunktion? Eine Potenzfunktion f (mit natürlichem Exponenten) ist eine Funktion mit einem Funktionsterm der Form f x = x n . Die natürliche Zahl n ist der Grad der Potenzfunktion, man spricht auch von einer Potenzfunktion vom Grad n . Eine allgemeine Potenzfunktion f hat einen Funktionsterm der Form f x = a x n . Der Koeffizient a ist eine reelle Zahl ungleich…

Lagebeziehungen von Geraden

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du anhand der Geradengleichungen entscheiden kannst, welche Lagebeziehung zwei Geraden zueinander haben. Parallele Geraden Senkrechte Geraden Spiegeln von Geraden an den Koordinatenachsen Lagebeziehungen zweier Geraden ermitteln Parallele Geraden Parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt. Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich, denn parallele Geraden haben dieselbe Steigung. Zeichne die Parallele h zur Geraden g durch den Punkt P. Parallele zeichnen Du ermittelst die Steigung der Geraden g ( m = ) und trägst diese Steigung am Punkt P an.Du kannst dazu ein Steigungsdreieck einzeichnen. Vervollständige die Gleichung der Geraden h so, dass die Geraden…

Logarithmen kennenlernen

Der Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung Dekadischer Logarithmus Basiswechsel Der Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung „ Logarithmus “ ist das griechische Wort für „ Exponent “ . Für eine positive Zahl b und eine reelle Zahl a ist der Logarithmus die Antwort auf: „ b hoch was ist a " “ , also die Lösung der Exponentialgleichung b x = a . Diese Lösung wird mit log b a bezeichnet. Dabei ist b die Basis des Logarithmus und a der Numerus. Die Exponentialgleichung x = hat die Lösung x = , das heißt: log = . Die Exponentialgleichung x =…

Lösen von Exponentialgleichungen

Lösen durch Exponentenvergleich Lösen durch Logarithmieren Lösen durch Exponentenvergleich Einfache Exponentialgleichungen kannst du im Kopf lösen, wenn du auf beiden Seiten der Gleichung Potenzen mit derselben Basis hast. Manchmal ist das offensichtlich, manchmal benötigst du eine einfache Umformung. Linke Seite vereinfachen: Also: Exponentenvergleich ergibt: x = Du schreibst beide Seiten als Potenzen derselben Basis: x + = x + = x + und x = x = x Exponentenvergleich ergibt: Lösen durch Logarithmieren Durch Logarithmieren erhältst du lg x + = lg und nach der Exponentenregel Du berechnest x mit dem Taschenrechner, indem du die Taste verwendest. Das Ergebnis rundest…

Mit der abc-Formel quadratische Gleichungen lösen

Herleitung der abc-Formel Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Lösen quadratischer Gleichungen Herleitung der abc-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form a x + b x + c = abc-Formel: - b ? b - a c a Die abc-Formel entsteht aus der quadratischen Gleichung in allgemeiner Form a x + b x + c = ( a ≠ ) durch quadratische Ergänzung . L = - b + b - a c a ; - b - b - a c a Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Diskriminante D zur abc-Formel: D = b…

Mit der p/q-Formel quadratische Gleichungen lösen

Herleitung der pq-Formel Lösen quadratischer Gleichungen Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Satz von Vieta Herleitung des Satzes von Vieta Herleitung der pq-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x + p x + q = pq-Formel: x 1/2 = - p ? p - q Die pq-Formel entsteht aus der Normalform einer quadratischen Gleichung x + p x + q = durch quadratische Ergänzung . für p - q gt : L = - p + p - q ; - p - p - q Lösen quadratischer Gleichungen Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x…

Mit der quadratischen Ergänzung quadratische Gleichungen lösen

Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung Quadratischen Gleichungen der Form x + p x + q = kannst du lösen, indem du den Term x + p x quadratisch ergänzt. Addierst du den Term p , entsteht durch Anwenden der binomischen Formeln der Term x + p . Die umgeformte Gleichung kannst du durch Wurzelziehen lösen. x + = ? L = {-1 ; -7}

Nullstellen- und Schnittpunktberechnungen

Nullstellen einer Parabel Nullstellen berechnen Anzahl der Nullstellen anhand der Diskriminante bestimmen Schnittpunkte zweier Graphen Anzahl der Schnittpunkte zweier Parabeln Nullstellen einer Parabel Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die die Funktion den Wert null annimmt. An einer Nullstelle x gilt also f x = . An einer Nullstelle schneidet bzw. berührt der Graph von f die x-Achse. Die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion hängt von der Lage der zugehörigen Parabel ab. Funktion f mit f x = x - Die zugehörige Parabel ist nach oben geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-Achse. Sie schneidet…

Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Faktorisierte Form quadratischer Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen mittels Faktorisierung lösen - Differenz von Quadraten Quadratische Gleichungen mittels Faktorisierung lösen - Vollständiges Quadrat Faktorisierte Form quadratischer Gleichungen lösen Ist die linke Seite einer quadratischen Gleichung in faktorisierter Form dargestellt, kannst du die Lösungsmenge L der Gleichung bestimmen, indem du jeden Faktor gleich null setzt und nach x auflöst. x + x - = Durch Anwenden der Nullproduktregel erhältst du x + = oder x - = . Also ist x = oder x = und L = , . x - x + = Durch Anwenden der Nullproduktregel erhältst du x…

Rechnen mit Bruchtermen

Hier erfährst du, wie du Bruchterme kürzen, erweitern, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kannst. Mit Bruchtermen rechnest du genauso wie mit Brüchen, nur dass hier auch Variablen vorkommen. Außerdem wird dir gezeigt, wie du einen Definitionsbereich bestimmen kannst, auf dem die Bruchterme vor und nach der Umformung äquivalent sind, denn beim Umformen eines Bruchterms kann sich der Definitionsbereich ändern. Kürzen Erweitern Hauptnenner bilden Addieren und subtrahieren Multiplizieren und dividieren Potenzrechnung Kürzen Einen Bruchterm kannst du kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben. Der Definitionsbereich eines Bruchterms kann sich durch das Kürzen ändern.Der Definitionsbereich, in dem beide Bruchterme äquivalent…

Rechnen mit Logarithmen

Logarithmengesetze Logarithmen von Termen oder Terme mit Logarithmen zusammenfassen Logarithmengesetze Aus den Potenzgesetzen ergeben sich Gesetze für das Rechnen mit Logarithmen: log b u * v = log b u + log b v log b u v = log b u - log b v log b u r = r * log b u log = log = Logarithmen von Termen oder Terme mit Logarithmen zusammenfassen Du kannst auch Logarithmen von Termen betrachten und diese mit Hilfe der Logarithmengesetze umformen. Für x ≠ ist log - x = log x Da der Logarithmus nur für einen positiven Numerus…

Rechnerische Bestimmung der Scheitelpunktform

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform Von der faktorisierten Form zur Scheitelpunktform Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform Mit der quadratischen Ergänzung bringst du den Funktionsterm f x = a x + b x + c in die Scheitelpunktform f x = a x - d + e . a = : Scheitelpunkt: S | a ≠ : Scheitelpunkt: S | Von der faktorisierten Form zur Scheitelpunktform Mit Hilfe der Nullstellen der Funktion bringst du die faktorisierte Form f x = a x - x x - x in die Scheitelpunktform f x = a x - d + e…

Scheitelpunktform: Parabeln verschieben, strecken und stauchen

Verschiebung entlang der y-Achse Verschiebung entlang der x-Achse Streckung, Stauchung und öffnung Scheitelpunktform Verschiebung entlang der y-Achse Addierst du zum Funktionsterm der Funktion f mit f x = x eine Konstante e, dann ist der Graph der neuen Funktion g x = x + e eine entlang der y-Achse verschobene Normalparabel. Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist S | e . Für e > 0 wird die Parabel entlang der y-Achse um e Einheiten nach oben verschoben. Für e 0 ist die Parabel entlang der x-Achse um d Einheiten nach rechts verschoben. Für d 0 ist die Parabel nach oben geöffnet.…

Steigung linearer Funktionen

Hier erfährst du, welche Bedeutung die Steigung einer linearen Funktion hat, wie du sie am Funktionsgraphen ablesen und wie du sie berechnen kannst. Bedeutung der Steigung Betrag der Steigung Das Steigungsdreieck Steigung an einer Geraden ablesen Gerade mit vorgegebener Steigung zeichnen Bedeutung der Steigung in Sachsituationen Berechnung der Steigung Bedeutung der Steigung Die Gleichung einer linearen Funktion hat die Form y = m x + b . In dieser Gleichung beschreibt m die Steigung. Der Wert für m bestimmt, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn sich die Argumente ändern. Der zugehörige Graph ist eine Gerade. f: y = x -…

Wachstum und Rekursion

Hier erfährst du, wie du Rekursionsformeln für exponentielles und lineares Wachstum aufstellen kannst und wie du mit diesen Formeln rechnest. Explizite Formel und Rekursionsformel im Vergleich überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum Explizite Formel und Rekursionsformel im Vergleich Die explizite Formel gibt an, wie der Wert der gleichmäßig schrittweise wachsenden Größe abhängig von der Anzahl n der Schritte berechnet wird. Die Rekursionsformel gibt an, wie der Wert der gleichmäßig schrittweise wachsenden Größe in einem bestimmten Schritt aus dem Wert der Größe im vorherigen Schritt berechnet wird. Lineare Zu- oder Abnahme Die Größe G ändert sich in jedem Schritt um den…

Wertetabellen und Funktionsgraphen

In diesen Erklärungen erfährst du, welcher Zusammenhang zwischen Wertetabellen und graphischen Darstellungen von linearen Funktionen besteht. Wertetabellen Von der Wertetabelle zur graphischen Darstellung Von der graphischen Darstellung zur Wertetabelle Wertetabellen und graphische Darstellung bei Sachaufgaben Wertetabellen Eine Funktion kann auf verschiedene Arten dargestellt werden. Eine Möglichkeit ist die Wertetabelle. Eine Wertetabelle hat zwei Zeilen. Die obere Zeile enthält eine Auswahl von x-Werten (Argumente der Funktion), die untere Zeile die dazu gehörenden y-Werte (Funktionswerte f(x)). Das heißt, eine Spalte einer Wertetabelle repräsentiert genau ein Wertepaar (x;y) der Funktion und damit einen Punkt (x|y) im Koordinatensystem. Von der Wertetabelle zur graphischen Darstellung…

Wissen über lineare Funktionen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du dein Wissen über lineare Funktionen geschickt nutzen kannst, um den Wahrheitsgehalt von Aussagen zu überprüfen oder um Punkte unter bestimmten Bedingungen im Koordinatensystem zu finden. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Steigung Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Der Graph einer linearen Funktion f mit der Funktionsgleichung y = m x + b (und uneingeschränktem Definitionsbereich) schneidet die y-Achse im Punkt | f(0) = | b . Einen Schnittpunkt x | mit der x-Achse gibt es dann, wenn m≠0. Für m = ist der Graph eine Gerade parallel zur x-Achse. Eine Gerade, die parallel zu y-Achse verläuft,…

Zinseszins

Feste Verzinsung und Zinseszins Rendite bei variablem Zinssatz Feste Verzinsung und Zinseszins Von Zinseszins spricht man, wenn ein Geldbetrag (das Kapital) verzinst wird und die anfallenden Zinsen nach ihrer Gutschrift mit verzinst werden. Wird ein Kapital mit einem festen Zinssatz von p % p.a. und Zinseszins angelegt, so wächst das Kapital exponentiell und jährlich mit dem Zinsfaktor b = + p Willst du die Größe eines über mehrere Jahre mit Zinseszins fest verzinsten Kapitals berechnen, verwendest du Potenzen des Zinsfaktors b. Hat das Kapital den Anfangswert K , dann gilt für den Wert K n (nach n Jahren): Ein Kapital…


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