In dieser Erklärung erfährst du, wie du Daten in Diagrammen abbilden kannst, wie du im Diagramm abliest und wie du eines erstellst. Außerdem werden dir verschiedene Diagrammtypen sowie ihre Vor- und Nachteile vorgestellt. Verwendung von Diagrammen Kurvendiagramm Säulen- und Balkendiagramm Weitere Diagrammtypen Median und Mittelwert Verwendung von Diagrammen Um verschiedene Daten übersichtlicher als in einem Text oder in einer Tabelle darstellen zu können, kannst du diese in Diagrammen veranschaulichen. Anhand der Diagramme kannst du beispielsweise einen bestimmten Verlauf von Daten erkennen, Größen miteinander vergleichen, einen Trend ablesen und Daten interpretieren.Es gibt unterschiedliche Formen von Diagrammen. Je nachdem welche Daten vorliegen,…
Verwendung von Diagrammen Säulen- und Balkendiagramm Weitere Diagrammtypen Verwendung von Diagrammen Um verschiedene Daten übersichtlicher als in einem Text oder in einer Tabelle darstellen zu können, kannst du diese in Diagrammen veranschaulichen.Anhand der Diagramme kannst du beispielsweise einen bestimmten Verlauf von Daten erkennen, Größen miteinander vergleichen, einen Trend ablesen und Daten interpretieren.Es gibt unterschiedliche Formen von Diagrammen. Je nachdem welche Daten vorliegen, wird ein für die Daten geeignetes Diagramm zur grafischen Darstellung gewählt. Diagramm aus einer Strichliste erstellen Die Schulcafeteria möchte von Schülern einer fünften Klasse wissen, welche Snacks in der Pause verkauft werden sollen. Die Antworten werden in einer…
Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Der Graph der Tangensfunktion Periodizität Symmetrien von Tangens Trigonometrische Gleichungen lösen Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Die Bezeichnung "Tangens" ergibt sich aus dem Begriff Tangente. Der Tangens entspricht der Länge der pinken Strecke, die auf der Tangente des Einheitskreises im Punkt | liegt. Mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes kannst du dir die Definition des Tangens herleiten: sin α cos α = tan α Also: tan α = sin α cos α Beachte aber: Es ist üblich, für das Argument einer Funktion die Variable x zu verwenden. Der Graph der Tangensfunktion Die Tangensfunktion ist definiert durch tan x…
Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Der Graph der Sinusfunktion Der Graph der Kosinusfunktion Periodizität Symmetrien von Sinus und Kosinus Trigonometrische Gleichungen lösen Vom Einheitskreis zur Winkelfunktion Die Bezeichnung „Sinus“ ist lateinisch und bedeutet Bogen. Bewegst du einen Punkt P auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn und trägst zu jedem Drehwinkel α die y-Koordinate des Punktes P in ein Koordinatensystem ein, erhältst du den Graphen der Sinusfunktion sin: α sin α Trägst du die x-Koordinate ein, erhältst du den Graphen der Kosinusfunktion cos: α cos α Beachte aber: Es ist üblich, für das Argument einer Funktion die Variable x zu verwenden. Zu…
Hier erfährst du, wie du durch Brüche dividierst. Dazu benötigst du den Kehrwert. Dividieren von Brüchen Dividieren und Kürzen innerhalb der Brüche Dividieren und Kürzen zwischen den Brüchen Dividieren eines Bruchs durch eine natürliche Zahl Dividieren einer natürlichen Zahl durch einen Bruch Dividieren von gemischten Zahlen Dividieren von Brüchen Zum Divideren eines Bruchs benötigst du den Kehrwert. Den Kehrwert eines Bruchs erhältst du, indem du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von ist . Der Kehrwert von ist . Du dividierst durch einen Bruch, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst. Rechne aus: / Kehrwert Aus Division durch wird Multiplikation mit…
In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Dezimalzahlen oder natürliche Zahlen dividierst. Division einer Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz (10, 100, 1000, ...) Division von natürlichen Zahlen Eine Dezimalzahl durch eine natürliche Zahl dividieren Eine Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl dividieren Ergänzungsaufgaben mit Zehnerpotenzen Ergänzungsaufgaben mit natürlichen Zahlen Division einer Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz (10, 100, 1000, ...) Du dividierst eine Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz, indem du das Komma um so viele Stellen nach links verschiebst, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Also verschiebst du zum Beispiel bei der Division durch 100 das Komma um zwei Stellen nach links. Für fehlende Ziffern links…
Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen Flächeninhalt eines Quadrats berechnen Flächeninhalt einer rechtwinkligen Figur berechnen Umfang eines Rechtecks berechnen Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen Allgemeines Dreieck und die Winkelsumme Haus der Vierecke Dreiecksarten und ihre Eigenschaften Flächeninhalt eines Kreises berechnen Kreisfläche in Sachzusammenhängen Umfang eines Kreises berechnen Kreisumfang in Sachzusammenhängen Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, kannst du es mit Einheitsquadraten auslegen. Allgemein erhältst du den Flächeninhalt (oder kurz die Fläche) A eines Rechtecks, wenn du die Länge a mit der Breite b multiplizierst: A = a * b Flächeninhalt eines Quadrats berechnen Das Quadrat ist ein besonderes…
Kongruenzsätze Konstruktionen mit Kongruenzsätzen Konstruierbarkeit von Dreiecken und Sonderfälle Kongruenzsätze Zwei Figuren sind kongruent , wenn du sie so übereinander legen kannst, dass sie passgenau aufeinander liegen. Du kannst dann eine Figur durch Spiegelung an einer Achse, Verschiebung oder Drehung auf die andere abbilden . Hier siehst du für ein Dreieck 1 ein gespiegeltes Dreieck 2, dieses verschoben zum Dreieck 3 und weiter gedreht zum Dreieck 4. Alle vier Dreiecke sind zueinander kongruent. Es gibt vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Konstruktionen mit Kongruenzsätzen Du kannst ein Dreieck konstruieren, wenn die gegebenen Stücke einen der Kongruenzsätze erfüllen und die Seitenlängen die Dreiecksungleichungen…
Hier erfährst du, welche Eigenschaften gebrochen-rationale Funktion haben, wie du ihren Definitionsbereich bestimmen und ihren Graphen erkennen kannst. Außerdem wird dir gezeigt, wie du den Graphen einer Funktion mit der Funktionsgleichung vom Typ y = a x + c + d zeichnen kannst. Beispiele Definitionslücken und Definitionsbereiche bestimmen Waagerechte und senkrechte Asymptoten bestimmen Einfluss von Parametern auf den Graphen der Funktion Graphen und Funktionsterme Beispiele Funktionen mit Funktionsgleichungen wie y = x , y = x + + , y = x x - , y = x - oder y = x x + heißen gebrochen-rationale Funktionen. In den…
In diesen Erklärungen erfährst du, welche Eigenschaften lineare Funktionen haben und wie du sie anhand ihrer graphischen Darstellung oder der Funktionsgleichung erkennen kannst. Die Gerade als Graph einer linearen Funktion Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion Einfluss der Parameter m und b und Spezialfälle Das Steigungsverhalten des Graphen einer linearen Funktion Geradengleichungen in Normalform und in impliziter Form Lineare Funktionen in Sachsituationen Die Gerade als Graph einer linearen Funktion Der Begriff linear leitet sich von lateinisch linea = "Leine, Schnur, Faden" ab. Der Graph einer linearen Funktion ist sozusagen eine "gespannte Leine", also eine Gerade.Den Graphen einer linearen Funktion kannst du…
In diesen Erklärungen erfährst du, welche Dreiecke es gibt, welche Eigenschaften sie haben und welche speziellen Linien im Dreieck existieren. Weiter erfährst du, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen kannst. Allgemeines Dreieck und seine Winkelsumme Dreiecksarten und ihre Eigenschaften Achsensymmetrie bei Dreiecken Spezielle Linien im Dreieck Umfang und Flächeninhalt eines Dreiecks Dreiecksungleichung Allgemeines Dreieck und seine Winkelsumme Jedes Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B und C). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn.Die Seiten werden mit…
Eigenschaften der Exponentialfunktion Die allgemeine Exponentialfunktion Verschiebung in y-Richtung Verschiebung in x-Richtung Eigenschaften der Exponentialfunktion Der Graph einer Exponentialfunktion y = b x mit b gt , b ≠ enthält die Punkte | und | b . Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen bestimmen. Der Graph enthält die Punkte | und | .Funktionsterm : f ( x ) = x Der Definitionsbereich D einer Exponentialfunktion ist ℝ, der kleinstmögliche Wertebereich W ist d ; ∞ . Die Asymptote wird verschoben nach y = d . Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu.…
In dieser Erklärung erfährst du, welche Eigenschaften spezielle geometrische Figuren haben, welche dieser Eigenschaften dir bei der Konstruktion von Figuren helfen können und wie die Symmetrieeigenschaften von Vierecken im „Haus der Vierecke“ für eine bestimmte „Ordnung“ sorgen. Allgemeines Dreieck und die Winkelsumme Dreiecksarten und ihre Eigenschaften Allgemeines Viereck und die Winkelsumme Eigenschaften eines Drachens Eigenschaften eines Trapezes Eigenschaften von Parallelogramm und Raute Eigenschaften von Rechteck und Quadrat Haus der Vierecke Eigenschaften regelmäßiger n-Ecke Achsensymmetrie von Figuren Allgemeines Dreieck und die Winkelsumme Ein Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große…
Prisma Zylinder Pyramide Kegel Kugel Schrägbilder Netz eines Körpers Axialschnitt und Rotationskörper Prisma Ein Prisma (manchmal auch Säule genannt) ist ein geometrischer Körper mit kongruenten und parallelen n-Ecken als Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen . Beim geraden Prisma besteht die Mantelfläche aus n Rechtecken . Beachte, auch Rechtecke sind Parallelogramme. schiefes Prismagerades Prisma Im Weiteren wird das gerade Prisma kurz als Prisma bezeichnet. Ist von einem schiefen Prisma die Rede, so wird das ausdrücklich erwähnt. Spezialfälle gerader Prismen: Zylinder Ein Kreiszylinder (kurz: Zylinder) ist ein geometrischer Körper mit kongruenten und parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche.…
Prisma Zylinder Pyramide Kegel Kugel Schrägbilder Netz eines Körpers Axialschnitt und Rotationskörper Prisma Ein Prisma (manchmal auch Säule genannt) ist ein geometrischer Körper mit kongruenten und parallelen n-Ecken als Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen . Beim geraden Prisma besteht die Mantelfläche aus n Rechtecken . Beachte, auch Rechtecke sind Parallelogramme. schiefes Prismagerades Prisma Im Weiteren wird das gerade Prisma kurz als Prisma bezeichnet. Ist von einem schiefen Prisma die Rede, so wird das ausdrücklich erwähnt. Spezialfälle gerader Prismen: Zylinder Ein Kreiszylinder (kurz: Zylinder) ist ein geometrischer Körper mit kongruenten und parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche.…
Symmetrien bei Potenzfunktionen Monotonie von Potenzfunktionen Krümmung bei Potenzfunktionen Symmetrien bei Potenzfunktionen Allgemeine Potenzfunktionen mit geradem Grad sind gerade Funktionen, allgemeine Potenzfunktionen mit ungeradem Grad sind ungerade Funktionen. Eine allgemeine Potenzfunktion f mit geradem Grad ist eine gerade Funktion . Es gilt f x = f - x für alle reellen Zahlen x. Jeder Punkt x | f x wird bei Spiegelung an der y-Achse auf den Punkt - x | f x abgebildet. Der Graph ist also achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse. Der Graph der allgemeinen Potenzfunktion f mit f x = x ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Es gilt: f…
In diesen Erklärungen erfährst du, welche Eigenschaften spezielle geometrische Körper haben, wie du ein Netz und ein Schrägbild eines Körpers zeichnen kannst.Weiter erfährst du, wie du die Oberfläche und das Volumen eines Prismas berechnen kannst. Eigenschaften von Prisma und Zylinder Eigenschaften von Pyramide und Kegel Eigenschaften der Kugel Netz eines Körpers Schrägbild Oberfläche eines Prismas Rauminhalt eines Prismas Eigenschaften von Prisma und Zylinder Ein Prisma ist ein geometrischer Körper mit: Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper mit: HöheDie Höhen von Prisma und Zylinder entsprechen dem Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche. Ecken, Kanten und FlächenDie Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen…
Lösung einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen mit Binom lösen Lösen durch Ausklammern Lösung einer quadratischen Gleichung Eine quadratische Gleichung der Form x = a mit a gt hat immer 2 Lösungen. Eine Zahl x ist dann Lösung einer Gleichung, wenn durch Einsetzen der Zahl x die Gleichung zu einer wahren Aussage wird. Die Wurzel aus einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist eine irrationale Zahl . Ist diese Zahl Lösung einer quadratischen Gleichung, so schreibst du sie immer als Wurzelausdruck, da ein gerundetes Ergebnis nie Lösung dieser Gleichung sein kann. x = x = = und x…
Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Berechnung von Winkeln und Seitenlängen Benutzung des Taschenrechners Lösen von Anwendungsaufgaben Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Da rechtwinklige Dreiecke mit gleich großen Winkeln ähnlich zueinander sind, sind die Seitenverhältnisse eindeutig durch einen der beiden spitzen Winkel festgelegt. Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“.Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel α und ß. Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse: Sinus = Gegenkathete Hypotenuse Der Kosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:…
Addition ohne übertrag Addition mit übertrag Addition ohne übertrag Bei der Addition von Hunderttausendern, Zehntausendern und Tausendern gehst du Schritt für Schritt vor. Um und zu addieren, addierst du die an der Hunderttausenderstelle zur an der Hunderttausenderstelle der Ausgangszahl. Die restlichen Ziffern der Ausgangzahl behältst du bei. So erhältst du als Ergebnis . Um und zu addieren, addierst du die an der Zehntausenderstelle zur an der Zehntausenderstelle der Ausgangszahl. Die restlichen Ziffern der Ausgangzahl behältst du bei. So erhältst du als Ergebnis . Um und zu addieren, addierst du zuerst die an der Hunderttausenderstelle zur an der Hunderttausenderstelle der Ausgangszahl.Dann…
Addition ohne übertrag Addition mit übertrag Addition ohne übertrag Bei der Addition von Tausendern, Hundertern und Zehnern gehst du Schritt für Schritt vor. Um und zu addieren, zählst du die an der Tausenderstelle zur an der Tausenderstelle der Ausgangszahl dazu. Die restlichen Ziffern der Ausgangzahl behältst du bei. So erhältst du als Ergebnis . Um und zu addieren, zählst du die an der Hunderterstelle zur an der Hunderterstelle der Ausgangszahl dazu. Die restlichen Ziffern der Ausgangzahl behältst du bei. So erhältst du als Ergebnis . Um und zu addieren, zählst du zuerst die an der Tausenderstelle zur an der Tausenderstelle…
Subtraktion ohne übertrag Subtraktion mit übertrag Subtraktion ohne übertrag Bei der Subtraktion von Hunderttausendern, Zehntausendern und Tausendern gehst du Schritt für Schritt vor. Um von zu subtrahieren, ziehst du die an der Hunderttausenderstelle von der an der Hunderttausenderstelle der Ausgangszahl ab. Die restlichen Ziffern der Ausgangzahl behältst du bei. So erhältst du als Ergebnis . Um von zu subtrahieren, ziehst du die an der Zehntausenderstelle von der an der Zehntausenderstelle der Ausgangszahl ab. Die restlichen Ziffern der Ausgangzahl behältst du bei. So erhältst du als Ergebnis . Um von zu subtrahieren, ziehst du zuerst die an der Hunderttausenderstelle von der…
Subtraktion ohne übertrag Subtraktion mit übertrag Subtraktion ohne übertrag Bei der Subtraktion von Tausendern, Hundertern und Zehnern gehst du Schritt für Schritt vor. Um von zu subtrahieren, ziehst du die an der Tausenderstelle von der an der Tausenderstelle der Ausgangszahl ab. Die restlichen Ziffern der Ausgangzahl behältst du bei. So erhältst du als Ergebnis . Um von zu subtrahieren, ziehst du die an der Hunderterstelle von der an der Hunderterstelle der Ausgangszahl ab. Die restlichen Ziffern der Ausgangzahl behältst du bei. So erhältst du als Ergebnis . Um von zu subtrahieren, ziehst du zuerst die an der Tausenderstelle von der…
Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion Besondere Punkte von quadratischen Funktionen Symmetrieeigenschaften der Parabel Definitionsbereich und Wertebereich einer quadratischen Funktion Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion Funktionen, die sich mit Termen der Form f x = a x + b x + c mit a ≠ darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen. Ihre Graphen heißen Parabeln. Die Gleichung y = a x + b x + c heißt Parabelgleichung. Alle Punkte x | y , deren Koordinaten x und y diese Gleichung erfüllen, liegen somit auf der Parabel. Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung y = f x = x…
Hier erfährst du, wie du mit dem Einsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst. Lösen von linearen Gleichungssystemen Anzahl der Lösungen Lösen von linearen Gleichungssystemen Du kannst zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen das Einsetzungsverfahren nutzen. Ziel dieses Verfahrens ist, eine Gleichung zu erhalten, die nur noch eine Variable enthält. Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung so umgestellt, dass eine Variable isoliert auf einer Seite der Gleichung steht. Der Term auf der anderen Seite der umgestellten Gleichung wird dann für die entsprechende Variable in der anderen Gleichung eingesetzt. Anschließend löst du die Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf.…
Hier erfährst du, welche Zusammenhänge zwischen den Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck bestehen und wie du diese ausnutzen kannst um andere Größen des Dreiecks zu berechnen. Elementare Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus sin²(α) + cos²(α) = 1 Der Tangens als Quotient aus Sinus und Kosinus Der Tangens, Sinus und Kosinus von 45°, 30° und 60° Elementare Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel im Punkt C gilt: Merksatz 1: Merksatz 2: Die Gegenkathete des Winkels α ist die Ankathete des Winkels β. Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck ( α + β + γ…
Brüche und Prozente Textaufgaben lösen mit System Brüche und Prozente Prozent ist das lateinische Wort für „ von Hundert “ . Hast du einen Bruchteil als Bruch gegeben und willst ihn in Prozent umwandeln, erweiterst oder kürzt du also den Bruch auf Hundertstel . Der Zähler entspricht dann dem Prozentsatz . = % Du erweiterst den Bruch auf Hundertstel: = = % = % Du kürzt den Bruch auf Hundertstel: = = % Umgekehrt kannst du auch eine Prozentangabe in einen Bruch umwandeln. Du schreibst die Prozentangabe als Hunderterbruch und kürzt so weit wie möglich. % = % = =…
Hier erfährst du, wie du einen Bruch erweitern kannst. Erweitern bedeutet, dass Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden, der Bruch aber gleich bleibt. Erweitern eines Bruchs Erweiterungszahl Erweitern eines Bruchs Du kannst einen Bruch erweitern, indem du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizierst. Beim Erweitern bleibt der vom Bruch dargestellte Bruchteil unverändert. Dabei wird dieser Bruchteil nur in kleinere Abschnitte unterteilt. Erweiterungszahl Die Zahl, mit der du einen Bruch erweiterst, ist die Erweiterungszahl. Die Erweiterungszahl findest du, indem du eine Aufgabe zu den beiden Zählern oder den beiden Nennern ergänzt. Ein Bruch kann nicht mit…
Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent Berechnungen zum exponentiellen Wachstum Berechnungen mit Anteilen von Wachstumsschritten Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent Aus einer Prozentangabe kannst du den Wachstumsfaktor b bestimmen: Eine Zunahme um % entspricht einem Wachstumsfaktor Wächst eine Bakterienpopulation von anfangs 200 Bakterien stündlich um % , dann sind es nach einer Stunde 250 Bakterien. * = Eine Abnahme um % entspricht einem Wachstumsfaktor Eine Maschine mit einem Neuwert von € hat bei einem jährlichen Wertverlust von % nach einem Jahr einen Wert von € . * = Berechnungen zum exponentiellen Wachstum Willst du die…
Hier erfährst du, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Parallelogramms oder einer Raute berechnen kannst. Höhe von Parallelogramm und Raute Umfang von Quadrat und Rechteck Umfang eines Parallelogramms Umfang einer Raute Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck Flächeninhalt eines Parallelogramms Flächeninhalt einer Raute Höhe von Parallelogramm und Raute In einem Parallelogramm gibt es zwei Höhen. Eine Höhe gehört zu einem Paar zueinander paralleler Seiten. Die Länge der Höhe ist der Abstand der parallelen Seiten und wird selbst auch als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm kann zwei verschiedene Höhen haben. Bei der Raute sind beide Höhen gleich. Die Höhen eines Parallelogramms…
Hier erfährst du, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Dreiecks, eines Trapezes oder eines Drachens berechnen kannst. Höhen im Dreieck Höhe und Mittelparallele im Trapez Umfang eines Dreiecks Umfang eines Trapezes Umfang eines Drachens Flächeninhalt eines Dreiecks Flächeninhalt eines Trapezes Flächeninhalt eines Drachens Höhen im Dreieck In einem Dreieck gibt es drei Höhen. Eine Höhe gehört zu einem Eckpunkt und der gegenüberliegenden Seite, die dann Grundseite genannt wird. Die Länge der Höhe ist der Abstand des Eckpunkts von der Grundseite. Der Abstand selbst wird auch als Höhe bezeichnet.Die Höhen eines Dreiecks können innerhalb, aber auch außerhalb des Dreiecks…
Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen Flächeninhalt eines Quadrats berechnen Flächeninhalt einer rechtwinkligen Figur berechnen Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, kannst du es mit Einheitsquadraten auslegen. Allgemein erhältst du den Flächeninhalt (oder kurz die Fläche) A eines Rechtecks, wenn du die Länge a mit der Breite b multiplizierst: A = a * b Flächeninhalt eines Quadrats berechnen Das Quadrat ist ein besonderes Rechteck . Hier sind nicht nur die gegenüberliegenden Seiten gleich lang, sondern alle vier Seiten. Für den Flächeninhalt A gilt dann: A = a * a Flächeninhalt einer rechtwinkligen Figur berechnen Im Alltag kommen…
Hier erfährst du, wie du den Flächeninhalt von Kreisen und Kreisringen berechnen kannst. Kreisfläche Mit der Flächeninhaltsformel rechnen Kreisfläche in Sachzusammenhängen Kreisring Kreisfläche Mit Hilfe der Formel für den Umfang des Kreises U = π r kannst du eine Formel für den Flächeninhalt des Kreises herleiten. Aus den Kreisteilen lässt sich ein angenähertes Rechteck legen. Dieses Rechteck ist so breit wie der Radius des Kreises ( r ) und so lang wie die Hälfte des Umfangs des Kreises U . Den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmst du, indem du Breite und Länge des Rechtecks miteinander multiplizierst: A R = r *…
In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Funktionsgleichungen zu linearen Funktionen aufstellen kannst. Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen Funktionsgleichungen aufstellen zur Berechnung besonderer Punkte Funktionsgleichungen mit Punkt und Steigung bestimmen Funktionsgleichungen mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Gleichung hat die Form y = m x + b . Dabei bezeichnet m den Wert für die Steigung und b den y -Achsenabschnitt. Hast du von einer linearen Funktion den Graphen, also die Gerade gegeben, kannst du beide Werte direkt der graphischen Darstellung entnehmen. Bestimme zum…
In diesen Erklärungen erfährst du, wie du die Graphen linearer Funktionen zeichnen kannst. Graphen zeichnen, wenn zwei Punkte gegeben sind Graphen zeichnen, wenn ein Punkt und die Steigung gegeben sind Graphen zeichnen, wenn die Geradengleichung gegeben ist Graphen zeichnen, wenn zwei Punkte gegeben sind Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.Zum Zeichnen einer Geraden benötigst du mindestens 2 Punkte.Hast du von einer linearen Funktion zwei Wertepaare gegeben, kannst du den Funktionsgraphen durch die zugehörigen Punkte zeichnen. Zeichne den Graphen der linearen Funktion f , zu dem die Punkte P (3|4) und Q (-1|-2) gehören. Punkte im Koordinatensystem eintragen Beachte…
Hier erfährst du, wie du Funktionsgraphen interpretieren und dadurch nützliche Informationen aus ihnen ablesen kannst. Aus Funktionsgraphen Wertepaare ablesen Definitions- und Wertebereich am Funktionsgraphen erkennen Besondere Punkte auf dem Funktionsgraphen Monotonie-Intervalle Funktionsgraphen und Prozesse Aus Funktionsgraphen Wertepaare ablesen Das ist der Funktionsgraph der Funktion f(x) = x - . Der Graph einer Funktion f besteht aus allen Wertepaaren (x;y), wobei x den Definitionsbereich der Funktion durchläuft und stets y = f(x) gilt. Zum Beispiel gehört für x = das Wertepaar ( ; ) zum Graphen der Funktion f(x) = x - , denn die Funktion f(x) = x - ordnet…
In diesen Erklärungen erfährst du, wie die Menge der ganzen Zahlen aufgebaut ist und welche Eigenschaften die ganzen Zahlen besitzen. Die Menge der ganzen Zahlen Warum braucht man negative Zahlen? Negative Zahlen im Alltag Ganze Zahlen an der Zahlengeraden Betrag und Gegenzahl Die Menge der ganzen Zahlen Du kennst bereits die natürlichen Zahlen ( ℕ ). Sie lassen sich (zusammen mit der Null) auf dem Zahlenstrahl darstellen: Erweitert man den Zahlenstrahl nach links über die Null hinweg, entsteht eine Zahlengerade: Während die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts abgetragen werden, geschieht dies bei den neuen Zahlen links…
In diesen Erklärungen erfährst du, wie die Menge der ganzen Zahlen aufgebaut ist und welche Eigenschaften die ganzen Zahlen besitzen. Die Menge der ganzen Zahlen Warum braucht man negative Zahlen? Negative Zahlen im Alltag Ganze Zahlen an der Zahlengeraden Betrag und Gegenzahl Die Menge der ganzen Zahlen Du kennst bereits die natürlichen Zahlen ( ℕ ). Sie lassen sich (zusammen mit der Null) auf dem Zahlenstrahl darstellen: Erweitert man den Zahlenstrahl nach links über die Null hinweg, entsteht eine Zahlengerade: Während die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts abgetragen werden, geschieht dies bei den neuen Zahlen links…
Hier erfährst du, wie du mit dem Gleichsetzungsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst. Lösen von linearen Gleichungssystemen Anzahl der Lösungen Lösen von linearen Gleichungssystemen Du kannst zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen das Gleichsetzungsverfahren nutzen. Ziel dieses Verfahrens ist, eine Gleichung zu erhalten, die nur noch eine Variable enthält. Wenn bei beiden Gleichungen auf der einen Seite der Gleichung nur die gleiche Variable steht, kannst du die beiden Terme auf der anderen Seite der Gleichung gleichsetzen. Löse folgendes Gleichungssystem in ℚ: Terme gleichsetzen Auf der linken Seite steht jeweils nur y . Du setzt die Terme…
Hier erfährst du, wie du aus Grafiken und Texten mathematische Gleichungen aufstellen kannst. Was ist eine Gleichung? Gleichungen mit einer Variablen am Waagemodell Addition und Subtraktion mit einer Variablen am Zahlenstrahl Multiplikation mit einer Variablen am Zahlenstrahl Gleichungen mit einer Variablen in Textaufgaben Was ist eine Gleichung? Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind. x - = x + = x + x = Das ist die einfachste Form einer Gleichung. + = * , denn = Gleichungen mit einer Variablen am Waagemodell Gleichungen kannst du mit Hilfe eines Waagemodells darstellen. Die beiden Waagschalen…
Hier erfährst du, wie du lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen grafisch lösen kannst. Lineare Gleichungssysteme Grafisches Lösen von linearen Gleichungssystemen Koeffizienten und Absolutglieder in linearen Gleichungssystemen Lineare Gleichungssysteme Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Ein Zahlenpaar, das beide lineare Gleichungen erfüllt, wird Lösung des linearen Gleichungssystems genannt. Die linearen Gleichungen eines Gleichungssystems werden üblicherweise mit römischen Zahlen nummeriert (I und II). Lösung eines linearen Gleichungssystems Prüfe, ob das Zahlenpaar (8;2) eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist. Werte einsetzen Du setzt in die Gleichungen I und II für x den Wert und für y den Wert ein…
Große Zahlen darstellen Große Zahlen in Worten Große Zahlen vergleichen Große Zahlen darstellen Große Zahlen lassen sich auf unterschiedliche Art und Weise darstellen. In Ziffernschreibweise: Als Zahlwort: eine Million Als Zahl mit Abkürzung: 1 Mio. Beim Wechsel zu einer anderen Darstellung kann eine Stellenwerttafel hilfreich sein. Die Zahl hat Milliarden, Millionen und Tausend. Schreibe in die Stellenwerttafel. Am einfachsten ist es, wenn du die Zahl von rechts nach links in die Stellenwerttafel überträgst. Große Zahlen in Worten Große Zahlen kannst du auch in Worten aufschreiben. Zahlen unter einer Million werden klein und zusammen geschrieben, Zahlen über einer Million schreibst du…
Hier erfährst du, wie du in Strahlensatzfiguren unbekannte Streckenlängen mit Hilfe der beiden Strahlensätze berechnest. Streckenlängen in der V-Figur berechnen Streckenlängen in der X-Figur berechnen Umkehrsatz des ersten Strahlensatzes Streckenlängen in der V-Figur berechnen Einzelne Streckenlängen innerhalb einer Strahlensatzfigur berechnest du, indem du, je nachdem, welche Strecken gegeben sind, eine Verhältnisgleichung mit einem der beiden Strahlensätze aufstellst und die Gleichung nach der unbekannten Streckenlänge auflöst. Um in dieser Figur x zu berechnen, verwendest du den ersten Strahlensatz: x = .Für y kannst du den zweiten Strahlensatz verwenden: y = + Wähle die zur Strahlensatzfigur passende Verhältnisgleichung und berechne x .…
In diesen Erklärungen erfährst du, wie du eine Größe in verschiedene Maßeinheiten umwandelst. Größen und ihre Einheiten Umwandeln von Längeneinheiten Umwandeln von Flächeneinheiten Umwandeln von Gewichtseinheiten Umwandeln von Geldeinheiten Gemischte Schreibweise bei Längen Gemischte Schreibweise bei Flächen Gemischte Schreibweise bei Gewichten Gemischte Schreibweise bei Geld Größen und ihre Einheiten Bestimmte Eigenschaften von Menschen, Tieren und Gegenständen lassen sich messen. Diese messbaren Eigenschaften nennt man Größen. Das Wort „Größe“ wird in der Mathematik anders benutzt als im Alltag. Im Alltag wird die Größe beispielsweise für die Länge einer Person gebraucht, in der Mathematik wird die Größe allgemeiner auch für das Gewicht,…
Hier erfährst du, wie du Brüche miteinander vergleichen kannst. Vergleich von gleichnamigen Brüchen Vergleich von zählergleichen Brüchen Vergleich von ungleichnamigen Brüchen Vergleich von gemischten Zahlen Vergleich von gleichnamigen Brüchen Am einfachsten lassen sich Brüche vergleichen, wenn sie gleichnamig sind. Der größere Zähler gibt dann den größeren Bruch an. Vergleiche und ( oder = ) Vergleiche 2 > 1 also > und > gt Sortiere die Brüche. Beginne mit dem kleinsten. Sortieren Alle Brüche haben den Nenner 9. < < < < < , weil 1 < 2 < 4 < 5 < 7 < 8. Vergleich von zählergleichen Brüchen Um…
In diesen Erklärungen erfährst du, wie man zwei Dezimalzahlen miteinander vergleicht. Vergleichen von Dezimalzahlen Verschiedene Nullen bei Dezimalzahlen Vergleichen von Dezimalzahlen Um Dezimalzahlen zu vergleichen, schaust du dir zunächst die natürlichen Zahlen vor dem Komma an. Wenn beide Zahlen gleich groß sind, beginnst du die entsprechenden Nachkommastellen von links nach rechts zu vergleichen. Sind an einer Stelle unterschiedliche Ziffern, zeigt die größere Ziffer an dieser Stelle auch die größere Dezimalzahl an. Vergleiche und . Zahlen vergleichen 12 3 5 und 12 3 9Die erste sich unterscheidende Stelle sind die Hundertstel.Da gt , gilt: 12 3 5 gt 12 3 9…
In diesen Erklärungen erfährst du, wie du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) oder das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen bestimmen kannst. ggT und kgV ggT und kgV mit Primfaktorzerlegung ggT und kgV Gemeinsame Teiler von zwei Zahlen sind die Zahlen, die sowohl Teiler der einen als auch Teiler der anderen Zahl sind.Unter den gemeinsamen Teilern ist die größte Zahl der größtegemeinsameTeiler(ggT). Gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen sind die Zahlen, die sowohl Vielfache der einen als auch Vielfache der anderen Zahl sind. Unter den gemeinsamen Vielfachen ist die kleinste Zahl das kleinstegemeinsameVielfache(kgV). Der größte gemeinsame Teiler ist…
Hier lernst du die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung wie Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis kennen. Außerdem erfährst du hier, wie du mögliche Ergebnisse von Zufallsexperimenten mit Hilfe von Baumdiagrammen darstellen kannst. Erkennen von Zufallsexperimenten Ergebnis - Ereignis - Ergebnismenge Sichere und unmögliche Ereignisse sowie Gegenereignisse Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme Erkennen von Zufallsexperimenten Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der mehr als einen möglichen Ausgang (ein sogenanntes Ergebnis) haben kann. Dabei kann aber nicht vorausgesagt werden, welches Ergebnis das Zufallsexperiment haben wird. Münzwurf Das Werfen einer Münze ist ein Zufallsexperiment, da sowohl Kopf als auch Zahl erscheinen können. Es kann jedoch nicht vorhergesagt werden,…
Hier erfährst du, was eine Funktion ist und wie du sie beschreiben und darstellen kannst. Zuordnungen und Funktionen Begriffe und Symbole bei Funktionen Graphen von Zuordnungen und Funktionen Zuordnungen und Funktionen Zuordnungen spielen im täglichen Leben, in den Naturwissenschaften und natürlich in der Mathematik eine sehr wichtige Rolle. Eine Zuordnung ist eine Beziehung, die - nicht notwendig allen - Elementen einer Ausgangsmenge jeweils ein oder mehrere Elemente einer Zielmenge zuordnet. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Zuordnungen anzugeben. Pfeildiagramm Das folgende Pfeildiagramm gibt die Zuordnung an, die vier Schülern (Sophie, Max, Lea, Leon) jeweils die Farbe ihres Fahrrades bzw. die Farben ihrer…
In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Prozente berechnest, vergleichst und schätzt, wie du Zahlenangaben in Prozente umrechnest, was Promille sind und wie du sie berechnest und was relative und absolute Größen sind. Brüche, Dezimalzahlen und Prozente Vergleich von Brüchen und Prozenten Anteile, Bruchteile, Prozente und ihre Darstellung Relative und absolute Größen Prozentangaben schätzen Promille und Prozent Brüche, Dezimalzahlen und Prozente Prozente kommen häufig im Alltag vor, zum Beispiel bei Rabatten im Verkauf oder bei Umfragen.Prozente geben immer Anteile eines gegebenen Wertes an.Solche Anteile kann man als Brüche, Dezimalzahlen oder als Prozent schreiben. Prozent kommt aus dem Italienischen und bedeutet…
