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Geometrie

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Ähnlichkeit von Dreiecken

In dieser Erklärung erfährst du, wie du zwei Dreiecke auf ähnlichkeit überprüfen kannst. Die ähnlichkeitssätze Dreiecke auf ähnlichkeit überprüfen unbekannte Streckenlängen bestimmen Die ähnlichkeitssätze Dreiecke spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Bestimmt hast du schon einmal einen Film gesehen, in dem Dinosaurier wie selbstverständlich durch die Szenen stampfen. Hinter solchen Spezialeffekten steckt jede Menge Mathematik. Hier kommen Dreiecke ins Spiel: Für den Dinosaurier wird ein Dreiecksnetz berechnet, das den Dino möglichst genau darstellt. Erst mit Hilfe eines solchen Modells lässt sich der Dino im Film zum Leben erwecken. In der Abbildung erkennst du, dass das Dreiecksnetz aus verschiedenen Dreiecken…

Ähnlichkeit von Figuren

In dieser Erklärung erfährst du, wie du zwei Figuren auf ähnlichkeit überprüfen kannst. ähnlichkeit von Figuren ähnlichkeit von Figuren Den Begriff ähnlich kennst du aus der Alltagssprache: Zwillinge sehen sich oft zum Verwechseln ähnlich, Mutter und Tochter sehen sich manchmal ähnlich und sogar Hund und Herrchen können sich verblüffend ähnlich sehen. Auch in der Mathematik wird der Begriff verwendet, um die ähnlichkeit von Figuren auszudrücken. ähnliche Figuren haben die gleiche Form, unterscheiden sich jedoch in ihrer Größe und Lage. Aus einer Figur F erhältst du eine ähnliche Figur F‘, wenn du die Figur F mit einer zentrischen Streckung vergrößerst oder…

Anwendungen

Hier erfährst du, wie du Textaufgaben mit Hilfe der Strahlensätze lösen und wie du konstruktiv eine Strecke in gleich lange Teilstrecken zerlegen kannst. Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Strecken teilen Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Textaufgaben lassen sich leichter lösen, wenn du Schritt für Schritt vorgehst. Höhenbestimmung mit Hilfe der Schattenlänge Die Laterne vor Lauras Fenster wirft einen m langen Schatten. Zur gleichen Zeit ist Lauras Schatten m lang. Laura selbst ist m groß.Wie hoch ist die Laterne? Skizze zum Sachverhalt Wenn sich Laura direkt neben die Laterne stellt, entsteht aus Laterne, Laura und deren Schatten die Strahlensatzfigur…

Anwendungen zu Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden

Eigenschaften von Mittelsenkrechte, Lot und Winkelhablierender Eigenschaften von Mittelsenkrechte, Lot und Winkelhablierender Brauchst du zur Lösung geometrischer Aufgaben Hilfslinien oder Winkel mit bestimmten Eigenschaften, helfen dir Mittelsenkrechte, Lot und Winkelhalbierende häufig weiter. Häufig kannst du Konstruktionsaufgaben auf verschiedenen Wegen lösen.

Anwendungen zum Satz des Pythagoras

Hier erfährst du, wie du den Satz des Pythagoras auf mathematische Probleme aus dem Alltag anwenden kannst. Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Rechtwinkligkeit prüfen Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Der Satz des Pythagoras hat eine Vielzahl von Anwendungen: mit Hilfe des Satzes lassen sich zum Beispiel die Bildschirmdiagonale eines Fernsehers, die Höhe einer Leiter, Entfernungen in Luftlinie und vieles mehr berechnen. In diesen Anwendungen ist immer rechtwinkliges Dreieck im Spiel, doch dies ist nicht immer so offensichtlich. Deshalb ist es wichtig, dass du beim Lösen solcher Aufgaben Schritt für Schritt vorgehst. Üblicherweise gibt man bei einem Bildschirm die…

Begründen und Beweisen

Hier erfährst du, wie du den Satz des Pythagoras beweisen kannst.Der Satz ist nach Pythagoras von Samos (* um 570 v. Chr.; † nach 510 v. Chr.) benannt. Er war aber schon lange vor Pythagoras bekannt.Die Babylonier und ägypter haben bereits um 1600 v. Chr. die Zusammenhänge am rechtwinkligen Dreieck erkannt und sie als selbstverständlich hingenommen. Begründen und beweisen Begründen und beweisen Ein Beweis ist eine logische Begründung mit Allgemeingültigkeit. Möchtest du zum Beispiel den Satz des Pythagoras beweisen, so genügt es nicht, die Gleichung a + b = c an einigen rechtwinkligen Dreiecken exemplarisch nachzuprüfen. Auch die Begründung „Es…

Berechnungen an Figuren und Körpern

Hier erfährst du, wie du mit dem Satz des Pythagoras Streckenlängen in Figuren und Körpern berechnen kannst. Höhe im gleichseitigen Dreieck Diagonale im Quadrat Raumdiagonale im Quader Höhe einer Pyramide Höhe im gleichseitigen Dreieck In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a und der Höhe h gilt: h = a Durch die Höhe wird das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt.Die Kathetenlängen sind h und a , die Hypotenusenlänge ist a . Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a = h + a Du stellst nach h um, ziehst die Wurzel und vereinfachst so weit wie möglich: Also:…

Besondere Linien im Dreieck

Hier erfährst du, welche besonderen Linien (Transversalen) du in Dreiecke einzeichnen kannst, welche Eigenschaften diese Linien haben und wie du diese Linien für weiterführende Betrachtungen zu Dreiecken nutzen kannst.Der Begriff „Transversale“ kommt aus dem Lateinischen und heißt „Durchgehende“ oder „Querende“.Es gibt die Mittelsenkrechten, die Höhen, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden.Wie du die Transversalen konstruieren kannst, lernst du im Thema „Winkel, Grundkonstruktionen und Symmetrie“, denn notwendig ist dazu nur das Konstruieren einer Senkrechten, eines Mittelpunktes oder einer Winkelhalbierenden. Die Mittelsenkrechten Die Winkelhalbierenden Die Höhen Die Seitenhalbierenden Die Mittelsenkrechten Die Mittelsenkrechten sind Geraden. Sie stehen senkrecht auf den Dreiecksseiten und verlaufen durch…

Beziehungen zwischen Winkeln

Neben- und Scheitelwinkel an Geradenkreuzungen identifizieren Eigenschaften von Neben- und Scheitelwinkel an Geradenkreuzungen Neben- und Scheitelwinkel an Geradenkreuzungen berechnen Stufen- und Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen identifizieren Eigenschaften von Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkeln an geschnittenen Parallelen Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen berechnen Nebenwinkel mit Hilfe von Gleichungen berechnen Winkel an Doppelparallelen berechnen Winkel an komplexen Geradenkreuzungen berechnen Mehrere Winkel an komplexen Geradenkreuzungen berechnen Neben- und Scheitelwinkel an Geradenkreuzungen identifizieren Scheitelwinkel liegen einander gegenüber. Nebenwinkel haben einen gemeinsamen Schenkel . Eigenschaften von Neben- und Scheitelwinkel an Geradenkreuzungen Scheitelwinkelsatz: Scheitelwinkel sind gleich groß. Nebenwinkelsatz: Nebenwinkel ergänzen sie sich zu…

Dreieckskonstruktionen und Kongruenzsätze

Kongruenzsätze Konstruktionen mit Kongruenzsätzen Konstruierbarkeit von Dreiecken und Sonderfälle Kongruenzsätze Zwei Figuren sind kongruent , wenn du sie so übereinander legen kannst, dass sie passgenau aufeinander liegen. Du kannst dann eine Figur durch Spiegelung an einer Achse, Verschiebung oder Drehung auf die andere abbilden . Hier siehst du für ein Dreieck 1 ein gespiegeltes Dreieck 2, dieses verschoben zum Dreieck 3 und weiter gedreht zum Dreieck 4. Alle vier Dreiecke sind zueinander kongruent. Es gibt vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Konstruktionen mit Kongruenzsätzen Du kannst ein Dreieck konstruieren, wenn die gegebenen Stücke einen der Kongruenzsätze erfüllen und die Seitenlängen die Dreiecksungleichungen…

Eigenschaften von Dreiecken

In diesen Erklärungen erfährst du, welche Dreiecke es gibt, welche Eigenschaften sie haben und welche speziellen Linien im Dreieck existieren. Weiter erfährst du, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen kannst. Allgemeines Dreieck und seine Winkelsumme Dreiecksarten und ihre Eigenschaften Achsensymmetrie bei Dreiecken Spezielle Linien im Dreieck Umfang und Flächeninhalt eines Dreiecks Dreiecksungleichung Allgemeines Dreieck und seine Winkelsumme Jedes Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B und C). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn.Die Seiten werden mit…

Eigenschaften von Figuren

In dieser Erklärung erfährst du, welche Eigenschaften spezielle geometrische Figuren haben, welche dieser Eigenschaften dir bei der Konstruktion von Figuren helfen können und wie die Symmetrieeigenschaften von Vierecken im „Haus der Vierecke“ für eine bestimmte „Ordnung“ sorgen. Allgemeines Dreieck und die Winkelsumme Dreiecksarten und ihre Eigenschaften Allgemeines Viereck und die Winkelsumme Eigenschaften eines Drachens Eigenschaften eines Trapezes Eigenschaften von Parallelogramm und Raute Eigenschaften von Rechteck und Quadrat Haus der Vierecke Eigenschaften regelmäßiger n-Ecke Achsensymmetrie von Figuren Allgemeines Dreieck und die Winkelsumme Ein Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große…

Eigenschaften von Körpern

Prisma Zylinder Pyramide Kegel Kugel Schrägbilder Netz eines Körpers Axialschnitt und Rotationskörper Prisma Ein Prisma (manchmal auch Säule genannt) ist ein geometrischer Körper mit kongruenten und parallelen n-Ecken als Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen . Beim geraden Prisma besteht die Mantelfläche aus n Rechtecken . Beachte, auch Rechtecke sind Parallelogramme. schiefes Prismagerades Prisma Im Weiteren wird das gerade Prisma kurz als Prisma bezeichnet. Ist von einem schiefen Prisma die Rede, so wird das ausdrücklich erwähnt. Spezialfälle gerader Prismen: Zylinder Ein Kreiszylinder (kurz: Zylinder) ist ein geometrischer Körper mit kongruenten und parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche.…

Eigenschaften von Körpern

Prisma Zylinder Pyramide Kegel Kugel Schrägbilder Netz eines Körpers Axialschnitt und Rotationskörper Prisma Ein Prisma (manchmal auch Säule genannt) ist ein geometrischer Körper mit kongruenten und parallelen n-Ecken als Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen . Beim geraden Prisma besteht die Mantelfläche aus n Rechtecken . Beachte, auch Rechtecke sind Parallelogramme. schiefes Prismagerades Prisma Im Weiteren wird das gerade Prisma kurz als Prisma bezeichnet. Ist von einem schiefen Prisma die Rede, so wird das ausdrücklich erwähnt. Spezialfälle gerader Prismen: Zylinder Ein Kreiszylinder (kurz: Zylinder) ist ein geometrischer Körper mit kongruenten und parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche.…

Eigenschaften, Oberflächen- und Volumenberechnung von Körpern

In diesen Erklärungen erfährst du, welche Eigenschaften spezielle geometrische Körper haben, wie du ein Netz und ein Schrägbild eines Körpers zeichnen kannst.Weiter erfährst du, wie du die Oberfläche und das Volumen eines Prismas berechnen kannst. Eigenschaften von Prisma und Zylinder Eigenschaften von Pyramide und Kegel Eigenschaften der Kugel Netz eines Körpers Schrägbild Oberfläche eines Prismas Rauminhalt eines Prismas Eigenschaften von Prisma und Zylinder Ein Prisma ist ein geometrischer Körper mit: Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper mit: HöheDie Höhen von Prisma und Zylinder entsprechen dem Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche. Ecken, Kanten und FlächenDie Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen…

Flächen- und Umfangsberechnung von allgemeinen und speziellen Parallelogrammen

Hier erfährst du, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Parallelogramms oder einer Raute berechnen kannst. Höhe von Parallelogramm und Raute Umfang von Quadrat und Rechteck Umfang eines Parallelogramms Umfang einer Raute Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck Flächeninhalt eines Parallelogramms Flächeninhalt einer Raute Höhe von Parallelogramm und Raute In einem Parallelogramm gibt es zwei Höhen. Eine Höhe gehört zu einem Paar zueinander paralleler Seiten. Die Länge der Höhe ist der Abstand der parallelen Seiten und wird selbst auch als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm kann zwei verschiedene Höhen haben. Bei der Raute sind beide Höhen gleich. Die Höhen eines Parallelogramms…

Flächen- und Umfangsberechnung von Figuren

Hier erfährst du, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Dreiecks, eines Trapezes oder eines Drachens berechnen kannst. Höhen im Dreieck Höhe und Mittelparallele im Trapez Umfang eines Dreiecks Umfang eines Trapezes Umfang eines Drachens Flächeninhalt eines Dreiecks Flächeninhalt eines Trapezes Flächeninhalt eines Drachens Höhen im Dreieck In einem Dreieck gibt es drei Höhen. Eine Höhe gehört zu einem Eckpunkt und der gegenüberliegenden Seite, die dann Grundseite genannt wird. Die Länge der Höhe ist der Abstand des Eckpunkts von der Grundseite. Der Abstand selbst wird auch als Höhe bezeichnet.Die Höhen eines Dreiecks können innerhalb, aber auch außerhalb des Dreiecks…

Flächenberechnung

Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen Flächeninhalt eines Quadrats berechnen Flächeninhalt einer rechtwinkligen Figur berechnen Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, kannst du es mit Einheitsquadraten auslegen. Allgemein erhältst du den Flächeninhalt (oder kurz die Fläche) A eines Rechtecks, wenn du die Länge a mit der Breite b multiplizierst: A = a * b Flächeninhalt eines Quadrats berechnen Das Quadrat ist ein besonderes Rechteck . Hier sind nicht nur die gegenüberliegenden Seiten gleich lang, sondern alle vier Seiten. Für den Flächeninhalt A gilt dann: A = a * a Flächeninhalt einer rechtwinkligen Figur berechnen Im Alltag kommen…

Flächeninhaltsberechnung am Kreis

Hier erfährst du, wie du den Flächeninhalt von Kreisen und Kreisringen berechnen kannst. Kreisfläche Mit der Flächeninhaltsformel rechnen Kreisfläche in Sachzusammenhängen Kreisring Kreisfläche Mit Hilfe der Formel für den Umfang des Kreises U = π r kannst du eine Formel für den Flächeninhalt des Kreises herleiten. Aus den Kreisteilen lässt sich ein angenähertes Rechteck legen. Dieses Rechteck ist so breit wie der Radius des Kreises ( r ) und so lang wie die Hälfte des Umfangs des Kreises U . Den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmst du, indem du Breite und Länge des Rechtecks miteinander multiplizierst: A R = r *…

Größen berechnen

Hier erfährst du, wie du in Strahlensatzfiguren unbekannte Streckenlängen mit Hilfe der beiden Strahlensätze berechnest. Streckenlängen in der V-Figur berechnen Streckenlängen in der X-Figur berechnen Umkehrsatz des ersten Strahlensatzes Streckenlängen in der V-Figur berechnen Einzelne Streckenlängen innerhalb einer Strahlensatzfigur berechnest du, indem du, je nachdem, welche Strecken gegeben sind, eine Verhältnisgleichung mit einem der beiden Strahlensätze aufstellst und die Gleichung nach der unbekannten Streckenlänge auflöst. Um in dieser Figur x zu berechnen, verwendest du den ersten Strahlensatz: x = .Für y kannst du den zweiten Strahlensatz verwenden: y = + Wähle die zur Strahlensatzfigur passende Verhältnisgleichung und berechne x .…

Grundlagen zu den Strahlensätzen

Hier erfährst du etwas über den ersten und zweiten Strahlensatz, wie du die beiden Strahlensätze anhand von Strahlensatzfiguren wiedergibst und voneinander unterscheidest. Strahlensatz und die Anwendung Der erste Strahlensatz Der zweite Strahlensatz Strahlensatz und die Anwendung Die Strahlensätze werden sowohl in der Geometrie als auch in der praktischen Anwendung genutzt. Sie ergeben sich aus den Eigenschaften der zentrischen Streckung. Bei der zentrischen Streckung werden alle Strecken einer Zeichnung im gleichen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Die Bildstrecken stehen im selben Verhältnis zueinander wie die Originalstrecken. Bei einer Familienfeier möchte Opa Schulz seiner großen Familie alte Dias zeigen. Er stellt den Diaprojektor…

Grundlagen zu Winkeln

Winkel kennenlernen Winkel messen Winkelgrößen schätzen Winkelarten unterscheiden Winkelgrößen addieren und subtrahieren Winkel zum gestreckten oder vollen Winkel ergänzen Winkelgrößen im Kreis bestimmen Winkel kennenlernen Ein Winkel wird von zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt S begrenzt. Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels, der Punkt S heißt Scheitelpunkt oder kurz Scheitel. Winkel messen Die Größe eines Winkels kannst du mit einem Geodreieck messen. Winkel werden in Grad (kurz: ") und gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Du legst die Grundseite des Geodreiecks so auf einem Schenkel an, dass der Nullpunkt auf dem Scheitelpunkt S liegt und der andere Schenkel die Skala trifft.…

Grundlagen zur Flächen- und Umfangsberechnung

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du die Größe zweier Flächeninhalte oder den Umfang zweier Figuren miteinander vergleichen kannst. Die Flächeninhalte zweier Figuren vergleichen Die Umfänge zweier Figuren vergleichen Beziehung zwischen Umfang und Flächeninhalt Die Flächeninhalte zweier Figuren vergleichen Jede gradlinig begrenzte ebene Figur schließt eine bestimmte Fläche ein.Die Größe dieser Fläche gibt man mit dem Flächeninhalt an, zum Beispiel als Anzahl von Kästchen in einem Kästchennetz.Bei manchen Flächen lässt sich leicht sagen, welche der beiden Figuren den größeren Flächeninhalt hat. Hier ist leicht zu erkennen, dass die rechte Fläche größer ist. Sind die Größen der beiden Flächen jedoch sehr…

Grundlagen zur Volumen- und Oberflächenberechnung

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du die Größe zweier rechtwinkliger Körper messen und vergleichen kannst. Den Rauminhalt eines Körpers bestimmen Die Oberfläche eines Körpers bestimmen Den Rauminhalt eines Körpers bestimmen Jeder Körper benötigt Platz. Die Größe dieses Raumes ( den Rauminhalt oder das Volumen) kannst du auf unterschiedliche Weise messen. Rechtwinklige Körper kannst du oft mit Würfeln ausfüllen. Damit man die gemessenen Größen miteinander vergleichen kann, verwendet man Einheitswürfel (eine Kantenlänge entspricht einer Längeneinheit). Der Körper, in den mehr Einheitswürfel passen, hat das größere Volumen. In die linke Kiste passen 30 Einheitswürfel und in die rechte Kiste passen 36…

Höhensatz und Kathetensatz

Hier lernst du den Kathetensatz und den Höhensatz kennen. Diese beiden Sätze und der Satz des Pythagoras bilden zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. Der Kathetensatz des Euklid Der Höhensatz des Euklid Der Kathetensatz des Euklid In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf der Hypotenuse diese in zwei Strecken, die Hypotenusenabschnitte p und q. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit rechtem Winkel im Punkt C und Hypotenusenabschnitten p und q gilt: a = p * c und b = q * c Flächeninhalte vergleichen Der Flächeninhalt des Kathetenquadrats beträgt 36 cm * = . Der Flächeninhalt des Rechtecks über dem…

Karten, Lagepläne und Maßstäbe kennenlernen

„Hier erfährst du wie du Pläne, Karten und Umrisse lesen und verstehen und wie du Längen maßstabsgetreu berechnen kannst. “ Planquadrate in Karten Der Maßstab Die Maßstabsleiste Vergrößerung und Verkleinerung Planquadrate in Karten Karten oder Pläne werden häufig zur besseren übersicht in Planquadrate eingeteilt. Städte, Straßen, Flüsse, … kannst du auf der Karte anhand der Angabe eines Planquadrats in der Legende so schneller finden. Die Planquadrate werden meist mit Buchstaben und Ziffern beschriftet. So ist jedes Planquadrat eindeutig gekennzeichnet. Das orange gefärbte Planquadrat wird mit B2 bezeichnet, weil es in der Zeile „B“ und in der Spalte „2“ steht. Planquadrate…

Kegel

Eigenschaften von Kegeln Volumenberechnung Oberflächenberechnung Funktionale Abhängigkeiten Hohlkegel Axialschnitt und Kegel als Rotationskörper Berechnungen zum Kegelstumpf Eigenschaften von Kegeln Ein Kreiskegel (kurz: Kegel) ist ein geometrischer Körper mit einem Kreis als Grundfläche. Beim geraden Kegel sind alle Mantellinien gleich lang und der Mantel ist ein Kreisausschnitt . Alle anderen Kegel werden als schiefe Kegel bezeichnet. schiefer Kegelgerader Kegel Im Weiteren wird der gerade Kreiskegel kurz als Kegel bezeichnet. Ist von einem schiefen Kegel die Rede, so wird das ausdrücklich erwähnt. Begriffe zum Kegel: Volumenberechnung Volumen = * Grundfläche * Höhe kurz: V = G * h Die Grundfläche des Kegels…

Kreisausschnitt und Kreisbogen

Hier erfährst du, wie du den Flächeninhalt von Kreisausschnitten und Kreisabschnitten und die Länge von Kreisbögen berechnen kannst. Kreisausschnitt Kreisbogen Kreisabschnitt Kreisausschnitt Wählst du auf einer Kreislinie zwei Punkte aus und verbindest diese mit dem Kreismittelpunkt, dann erhältst du einen Ausschnitt des Kreises. Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts A α (auch Kreissektor genannt) wird bestimmt durch die Größe des Mittelpunktswinkels α . Je größer der Winkel α ist, desto größer ist auch der Flächeninhalt des Kreisausschnitts.Den Flächeninhalt eines vollen Kreises ( α = ? ) berechnest du mit der Formel A = π r .Ist zum Beispiel α = ? ,…

Maßstäbliche Darstellungen

Hier erfährst du, wie du Pläne, Karten und Grundrisse lesen und verstehen und wie du Längen mit Hilfe von Maßstabsangaben berechnen kannst. Maßstab Maßstab Bilder, Zeichnungen oder Karten stellen oft die Wirklichkeit verkleinert oder vergrößert dar. Der Maßstab beschreibt, wie stark verkleinert oder vergrößert wurde. Landkarten oder Grundrisse sind Verkleinerungen bestimmter Aspekte der Wirklichkeit. Technische Zeichnungen oder auch Zeichnungen von Insekten, sind häufig Vergrößerungen der Wirklichkeit. Ein Maßstab wird über das Verhältnis zweier Zahlen angegeben. - 1 : 10 bedeutet, dass cm auf der Karte cm in der Wirklichkeit sind. - 1 : 100 bedeutet, dass cm auf der Karte…

Maßstäbliches Vergrößern und Verkleinern

Hier erfährst du, wie du eine Figur oder ein Objekt maßstäblich vergrößerst oder verkleinerst und wie du diese Vergrößerung oder Verkleinerung mit dem „Rücknahmefaktor“ wieder rückgängig machen kannst. Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern mit zwei Faktoren Rücknahmefaktor einer maßstäblichen Vergrößerung oder Verkleinerung änderung des Flächeninhaltes bei einer maßstäblichen Vergrößerung oder Verkleinerung Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren Wenn du eine Figur maßstäblich vergrößern oder verkleinern möchtest, multiplizierst du alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor k und lässt die Winkel gleich. Mit einem Faktor k > 1 kannst du das Original vergrößern.Mit einem Faktor…

Mittelsenkrechte konstruieren

Die Mittelsenkrechte einer Strecke Den Mittelpunkt einer Strecke konstruieren Das Lot auf eine Gerade durch einen Punkt konstruieren Die Mittelsenkrechte einer Strecke Den Mittelpunkt einer Strecke konstruieren Du kannst den Mittelpunkt einer Strecke AB ? mit Hilfe ihrer Mittelsenkrechte konstruieren. Der Schnittpunkt von AB ? und ihrer Mittelsenkrechte ist genau der Mittelpunkt von AB ? . Das Lot auf eine Gerade durch einen Punkt konstruieren Ein Lot ist eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen Geraden steht.

Oberflächenberechnung

Oberflächeninhalt eines Quaders berechnen Oberflächeninhalt eines Würfels berechnen Oberflächeninhalt eines Quaders berechnen Oberflächeninhalt eines Würfels berechnen Der Würfel ist ein besonderer Quader . Hier sind nicht nur die gegenüberliegenden Seitenflächen gleich groß, sondern alle sechs Seitenflächen sind gleich große Quadrate. Für die Länge a , die Breite b und die Höhe c gilt a = b = c . Den Oberflächeninhalt O berechnest du mit der Formel O = * a * a = * a .

Prisma

Eigenschaften von Prismen Volumenberechnung Oberflächenberechnung Funktionale Abhängigkeiten Eigenschaften von Prismen Ein Prisma (manchmal auch Säule genannt) ist ein geometrischer Körper mit kongruenten und parallelen n-Ecken als Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen . Beim geraden Prisma besteht die Mantelfläche aus n Rechtecken . Beachte, auch Rechtecke sind Parallelogramme. schiefes Prismagerades Prisma Im Weiteren wird das gerade Prisma kurz als Prisma bezeichnet. Ist von einem schiefen Prisma die Rede, so wird das ausdrücklich erwähnt. Spezialfälle gerader Prismen: Volumenberechnung Volumen = Grundfläche * Höhe kurz: V = G * h Je nach Grundfläche des Prismas ergeben sich dann speziellere…

Pyramide

Eigenschaften von Pyramiden Volumenberechnung Oberflächenberechnung Funktionale Abhängigkeiten Berechnungen zum Pyramidenstumpf Eigenschaften von Pyramiden Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einem n-Eck als Grundfläche und n Dreiecken als Seitenflächen. Ist die Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck oder ein Rechteck und liegt die Spitze der Pyramide senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche, so ist die Pyramide gerade. Alle Seitenkanten sind dann gleich lang.Pyramiden, bei denen die Spitze nicht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt, werden als schiefe Pyramiden bezeichnet. Gerade Pyramide mit einem Sechseck als Grundfläche Schiefe Pyramide mit einem Fünfeck als Grundfläche Im Weiteren wird die gerade Pyramide kurz als…

Satz des Pythagoras und seine Umkehrung

Der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung Hier erfährst du, was der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung besagen und was ein pythagoreisches Zahlentripel ist. Der Satz des Pythagoras Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck berechnen Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras Pythagoreische Zahlentripel Der Satz des Pythagoras Fast jeder hat den Satz schon einmal gehört: a + b = c . Du kannst die Aussage des Satzes nachvollziehen, wenn du über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat zeichnest. Dann erhältst du diese Figur: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel im Punkt C sind a und b…

Satz des Thales

Der Satz des Thales Konstruktionen mit dem Satz des Thales Winkelberechnungen mit dem Satz des Thales Der Satz des Thales Der nach dem griechischen Mathematiker und Philosophen Thales von Milet (~ 625 v.Chr. - ~ 547 v.Chr.) benannte Satz des Thales besagt: Wenn der Punkt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB ? liegt, dann hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel . Der Kreis mit dem Durchmesser AB ? heißt daher auch Thaleskreis dieser Strecke. Die Umkehrung des Satzes gilt ebenfalls: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechtem Winkel im Punkt C liegt der Punkt…

Senkrechte und parallele Geraden und Strecken

Hier erfährst du, was ein rechter Winkel ist und was die Begriffe „Punkt“, „Strecke“, „Strahl“, „Gerade“, „parallel“, „senkrecht“ und "Abstand" bedeuten. Rechte Winkel Punkt, Strecke, Strahl und Gerade Parallel Senkrecht Schnittpunkte von Geraden Abstand Rechte Winkel Du kennst rechte Winkel aus deiner Umgebung: du siehst sie an Türen, Tischen, Fenstern und vielen anderen Gegenständen. Punkt, Strecke, Strahl und Gerade Parallel Senkrecht Zwei Geraden (oder Strahlen oder Strecken) stehen senkrecht aufeinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden. Schnittpunkte von Geraden Mehrere Geraden können sich in keinem, einem oder mehreren Punkten schneiden. Diese Punkte nennt man Schnittpunkte der Geraden. Abstand

Symmetrie

Hier erfährst du, was eine Achsenspiegelung, eine Drehung und eine Verschiebung ist. Außerdem erfährst du, was achsensymmetrische oder drehsymmetrische Figuren sind. Symmetrie Achsensymmetrie Drehung Verschiebung Symmetrie Das Wort „Symmetrie“ kommt aus dem Griechischen und heißt übersetzt so viel wie „Ebenmaß“. Zwei verschiedene Figuren sind miteinander deckungsgleich, wenn die eine Figur durch eine Drehung, Achsenspiegelung oder Verschiebung in die andere überführt werden kann.Eine Figur wird als symmetrisch bezeichnet, wenn du sie drehen oder spiegeln kannst und sie anschließend unverändert erscheint. Symmetrische Figuren und Ornamente Diese Figuren sind symmetrisch. - Der Schmetterling ist achsensymmetrisch.- Das Windrad ist drehsymmetrisch Das Ornament ist durch…

Symmetrie und Bewegungen

Hier erfährst du, welche Kongruenzabbildungen es gibt, wie man sie erkennt und konstruiert. „Kongruenz“ stammt aus dem Lateinischen und bedeutet „übereinstimmung“. Es handelt sich also um Abbildungen, die Figuren in deckungsgleiche Figuren überführen.Der Begriff „Symmetrie“ kommt aus dem Griechischen (syn-= zusammen, metron = Maß) und bedeutet so viel wie „Gleichmaß“. Eine Figur ist symmetrisch, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung (die identische ausgenommen) auf sich selbst abgebildet werden kann. Achsenspiegelung Drehung Punktspiegelung Verschiebung Achsenspiegelung Eine Abbildung heißt Achsenspiegelung, wenn sie folgende Eigenschaften hat:Ein Punkt P und sein an der Achse gespiegelter Bildpunkt P‘ liegen auf einer zur Achse senkrechten Geraden. Beide…

Textaufgaben zur Flächen- und Umfangsberechnung

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Textaufgaben zur Flächen- und Umfangsberechnung systematisch lösen kannst. Textaufgaben lösen mit System Textaufgaben lösen mit System Textaufgaben lassen sich leichter lösen, wenn du Schritt für Schritt vorgehst. Bei vielen Textaufgaben sind zur Lösung mehrere Zwischenrechnungen nötig. Die in den ersten Schritten berechneten Zwischenergebnisse nutzt du dann zur Ermittlung des Endergebnisses. Folge einem Plan und berechne Zwischenergebnisse. Wenn du bei deinen überlegungen einem festen Plan folgst, erleichtert dir das die Arbeit. So könnte ein solcher Plan aussehen: SO LöST DU TEXTAUFGABEN Lies aufmerksam die Aufgabenstellung. Nachdem du die Aufgabe gelesen hast, fragst du dich:…

Textaufgaben zur Volumen- und Oberflächenberechnung

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Textaufgaben zur Volumen- und Oberflächenberechnung systematisch lösen kannst. Textaufgaben lösen mit System Textaufgaben lösen mit System Textaufgaben lassen sich leichter lösen, wenn du Schritt für Schritt vorgehst.Bei vielen Textaufgaben sind zur Lösung mehrere Zwischenrechnungen nötig. Die in den ersten Schritten berechneten Zwischenergebnisse nutzt du dann zur Ermittlung des Endergebnisses. Folge einem Plan und berechne Zwischenergebnisse. Wenn du bei deinen überlegungen einem festen Plan folgst, erleichtert dir das die Arbeit. So könnte ein solcher Plan aussehen: SO LöST DU TEXTAUFGABEN Lies aufmerksam die Aufgabenstellung. Nachdem du die Aufgabe gelesen hast, fragst du dich: 1.…

Umfangsberechnung

Umfang eines Rechtecks berechnen Umfang eines Quadrats berechnen Umfang einer rechtwinkligen Figur berechnen Umfang eines Rechtecks berechnen Den Umfang eines Vielecks berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst. Umfang eines Quadrats berechnen Das Quadrat ist ein besonderes Rechteck . Hier sind alle vier Seiten gleich lang. Umfang einer rechtwinkligen Figur berechnen Den Umfang von Vielecken, bei denen benachbarte Seiten senkrecht aufeinander stehen, kannst du leicht berechnen, wenn du die fehlenden Seitenlängen ergänzt.

Umfangsberechnung am Kreis

Hier erfährst du, welcher Zusammenhang zwischen dem Umfang und dem Durchmesser (oder Radius) besteht und wie du den Umfang von Kreisen berechnest. Kreiszahl π Kreisumfang Wachstum von Durchmesser und Umfang Kreisumfang in Sachzusammenhängen Kreiszahl π Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang U zu Durchmesser d gleich. Dieses Verhältnis U d = π (gesprochen: pi) ist eine Konstante und wird auch Kreiszahl genannt. Die Gleichheit der Verhältnisse von Umfang zu Durchmesser von Kreisen kannst du dir mit Hilfe des ersten Strahlensatzes herleiten.Es gilt: U 1 d 1 = U 2 d 2 Die Kreiszahl π ist eine irrationale Zahl…

Umgang mit Flächeneinheiten

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du von einer Flächeneinheit in eine andere umrechnest, wie du Flächeninhalte vergleichen und mit ihnen rechnen kannst. Flächeneinheiten kennenlernen Vergleichsgrößen zu den Flächeneinheiten Umrechnen von einer Flächeneinheit in eine andere Unterschiedliche Schreibweisen von Flächenangaben Vergleichen von zwei Flächenangaben Rechnen mit Flächeninhalten Flächeneinheiten kennenlernen Der Flächeninhalt einer ebenen Figur wird in den Einheiten Quadratkilometer (km?), Hektar (ha), Ar (a), Quadratmeter (m?), Quadratdezimeter (dm?), Quadratzentimeter (cm?) oder Quadratmillimeter (mm?) gemessen. Das Flächenmaß „Quadratmeter“ basiert auf dem Längenmaß „Meter“. Ein Quadratmeter entspricht einer quadratischen Fläche von m * m : Die kleine 2 über dem m gibt…

Umgang mit Volumeneinheiten

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du von einer Volumeneinheit in eine andere umrechnest, wie du Rauminhalte vergleichen und mit ihnen rechnen kannst. Volumeneinheiten kennenlernen Vergleichsgrößen zu den Volumeneinheiten Umrechnen von einer Volumeneinheit in eine andere Unterschiedliche Schreibweisen von Volumenangaben Vergleichen von zwei Volumenangaben Rechnen mit Rauminhalten Volumeneinheiten kennenlernen Jeder Körper benötigt Platz. Die Größe dieses Raumes (den Rauminhalt oder das Volumen) kannst du messen, indem du ihn mit Einheitswürfeln ausfüllst. Damit man die gemessenen Größen miteinander vergleichen kann, verwendet man Einheitswürfel mit einer Kantenlänge von einer Längeneinheit. Ein Würfel mit der Kantenlänge cm hat ein Volumen von einem Kubikzentimeter…

Volumen- und Oberflächenberechnung

Eigenschaften von Kugeln Volumenberechnung Oberflächenberechnung Kugelabschnitte Berechnungen an zusammengesetzten Körpern Berechnungen an ausgehöhlten Körpern Die Kugel als Rotationskörper Funktionale Abhängigkeiten Eigenschaften von Kugeln Die Kugel ist ein geometrischer Körper der entsteht, wenn ein Kreis (oder ein Halbkreis) um seinen Durchmesser rotiert. Alle Punkte auf der Kugeloberfläche haben denselben Abstand r (Radius) vom Mittelpunkt M der Kugel. Volumenberechnung V = π r Faustformel: V = r Da π ≈ , heben sich der Nenner 3 und π bei einer überschlagsrechnung gegeneinander auf. Kugel mit einem Radius r von cm Beim Runden auf ganze Hunderter ergibt sich in beiden Fällen das gleiche…

Volumenberechnung

Formel für das Volumen eines Quaders Volumen eines Quaders berechnen Volumen eines Würfels berechnen Volumen eines rechtwinkligen Körpers berechnen Formel für das Volumen eines Quaders Das Volumen V eines Quaders erhältst du, indem du ihn ganz mit Einheitswürfeln ausfüllst. Volumen eines Quaders berechnen Das Volumen V eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c berechnest du, indem du diese miteinander multiplizierst: V = a * b * c Volumen eines Würfels berechnen Der Würfel ist ein besonderer Quader . Bei ihm sind alle zwölf Kanten gleich lang. Für die Breite a, die Tiefe b und die Höhe c gilt…

Winkelhalbierende konstruieren

Die Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende bei überstumpfen Winkeln Winkel rechnerisch halbieren Die Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende bei überstumpfen Winkeln Ein Strahl mit dem Startpunkt S , der einen Winkel in zwei gleich große Winkel unterteilt, ist die Winkelhalbierende. Ist der Winkel ein überstumpfer Winkel , dann achtest du bei der Konstruktion darauf, dass die Winkelhalbierende bei S beginnt und im Winkel liegt. Winkel rechnerisch halbieren Teilst du einen Winkel durch die Winkelhalbierende, dann teilst du die Größe des Winkels in zwei gleich große Teile.

Wurzellängen und Abstandsbestimmung im Koordinatensystem

Hier erfährst du, wie du eine Strecke konstruieren kannst, deren Länge gleich einem vorgegebenen Wurzelausdruck ist, und wie du den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem berechnen kannst. Geometrische Darstellung von Quadratwurzeln Abstandsberechnungen im Koordinatensystem Geometrische Darstellung von Quadratwurzeln Die Wurzel einer natürlichen Zahl ist meistens eine irrationale Zahl , z.B. , , , , ...Dennoch lassen sich diese Zahlen geometrisch als Längen von Strecken darstellen. Zum Beispiel hat die Diagonale in einem Einheitsquadrat die Länge . Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras. Auf ähnliche Weise lässt sich jede irrationale Zahl der Form n (n natürliche Zahl) als Länge…

Zentrische Streckung

In diesen Erklärungen erfährst du, welche Eigenschaften eine zentrische Streckung hat, wie du das Streckzentrum findest und wie du eine zentrische Streckung durchführst. Zentrische Streckung Streckzentrum und Streckfaktor bestimmen Zentrische Streckung durchführen Zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor Einbeschreibungsaufgaben Zentrische Streckung Die zentrische Streckung eines Dreiecks ABC mit dem Streckfaktor k = und dem Streckzentrum Z : Streckzentrum und Streckfaktor bestimmen Streckzentrum Da bei einer zentrischen Streckung Original- und Bildpunkte auf einer Geraden durch das Streckzentrum Z liegen, kannst du Z als Schnittpunkt dieser Geraden bestimmen. Streckfaktor Bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckfaktor k ist jede Bildstrecke k-mal so lang…
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