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Periodische Vorgänge - Die allgemeine Sinusfunktion

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Die allgemeine Form der Gleichung

Du kennst die normale Sinuskurve mit y = sin(x).
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_1.jpg
Durch die Verwendung von Parametern kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene periodische Vorgänge zu beschreiben oder zu modellieren.
Allgemein hat die Gleichung dann die Form:
y = a * sin b x + c + d
y = 3 sin -2 x - π + 1
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_2.jpg

Verschiebung entlang y-Achse

y = sin x + d
Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung entlang der y-Achse.
Dadurch ändert sich der Wertebereich und die Existenz und Lage von Nullstellen .
Die Periode ändert sich aber nicht.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_3.jpg
Der Parameter d hat folgende Wirkung auf die Sinuskurve:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_4.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_5.jpg

Die Amplitude: Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in y-Richtung

Der Parameter a wird im Allgemeinen Streckfaktor genannt.
Bei periodischen Funktionen mit nach oben und unten beschränktem Wertebereich wird der Betrag von a auch Amplitude genannt.
Durch den Parameter a wird der Wertebereich verändert.
Die Lage der Nullstellen ändert sich aber nicht.
y = a sin x
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_6.jpg
Der Parameter a hat folgende Wirkung auf die Sinuskurve:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_7.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_8.jpg

Die Phase: Verschiebung der Sinuskurve in x-Richtung

Der Parameter c wird auch Phase genannt.
Durch diesen Parameter ändert sich die Lage der Nullstellen und der Extremstellen .
Der Wertebereich ändert sich aber nicht.
y = sin x + c
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_9.jpg
Der Parameter c hat folgende Wirkung auf die Sinuskurve:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_10.jpg
Aufgrund der Periode 2 π kann die Phasenverschiebung nur bis 2 π an der Lage der Hoch- bzw. Tiefpunkte abgelesen werden.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_11.jpg

Die Periode: Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in x-Richtung

y = sin b x
Der Parameter b bewirkt eine Streckung oder Stauchung entlang der x-Achse.
Durch den Parameter b wird die Periode und damit die Lage der Nullstellen verändert.
Der Wertebereich ändert sich aber nicht.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_12.jpg
Der Parameter b hat folgende Wirkung auf die Sinuskurve:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_13.jpg
Die neue Periode T ergibt sich aus der Periode der Sinuskurve und dem Parameter b:
T = 2 π b
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_14.jpg

Kombination verschiedener Parameter

Verschiebung und Streckung lassen sich auch kombinieren.
Probiere es aus.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriWiGAllgSin_15.jpg

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