Telefon: (030) 300 2440 00 
– Mo bis Fr von 8:30 - 17 Uhr
Über unsHilfeNewsKontaktApp
LernenLehrenWirkungPreiseDEMOEinloggen

Mathebuch


Algebra und Funktionen

Daten und Zufall

Geometrie

Prüfungen am Ende der Jahrgangsstufe 10

Zahlen

Online Mathe üben

  • Interaktive Aufgaben, Lösungswege und Tipps
  • Automatische Auswertungen und Korrektur
  • Erkennung von Wissenslücken

Ich bin Schüler

Ich bin Elternteil

Ich bin Lehrer

Grundlagen zu den Strahlensätzen

Hier erfährst du etwas über den ersten und zweiten Strahlensatz, wie du die beiden Strahlensätze anhand von Strahlensatzfiguren wiedergibst und voneinander unterscheidest. Strahlensatz und die Anwendung Der erste Strahlensatz Der zweite Strahlensatz Strahlensatz und die Anwendung Die Strahlensätze werden sowohl in der Geometrie als auch in der praktischen Anwendung genutzt. Sie ergeben sich aus den Eigenschaften der zentrischen Streckung. Bei der zentrischen Streckung werden alle Strecken einer Zeichnung im gleichen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Die Bildstrecken stehen im selben Verhältnis zueinander wie die Originalstrecken. Bei einer Familienfeier möchte Opa Schulz seiner großen Familie alte Dias zeigen. Er stellt den Diaprojektor…

Grundlagen zu linearem und exponentiellem Wachstum

Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich Beim Wachstum einer Größe ist oft von Interesse, welche Werte diese Größe nach einer bestimmten Anzahl von gleichbleibenden Schritten - oft Zeitschritten - annimmt.Ein Zeitschritt kann je nach Sachzusammenhang (z. B. Bakterienwachstum oder radioaktiver Zerfall) wenige Sekunden oder viele Jahre dauern. Lineares Wachstum Die Größe y ändert sich in jedem Schritt um den Betrag a Betrag der Differenz zweier aufeinanderfolgender y-Werte. Exponentielles Wachstum Die Größe y ändert sich in jedem Schritt mit dem Wachstumsfaktor b Quotient zweier aufeinanderfolgender y-Werte

Grundlagen zu Potenzfunktionen

Hier erfährst du, was eine Potenzfunktion ist, und lernst die wichtigsten Grundlagen zu Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten kennen. Was ist eine Potenzfunktion? Charakteristische Graphen von Potenzfunktionen Bedeutung des Koeffizienten im Term von Potenzfunktionen Was ist eine Potenzfunktion? Eine Potenzfunktion f (mit natürlichem Exponenten) ist eine Funktion mit einem Funktionsterm der Form f x = x n . Die natürliche Zahl n ist der Grad der Potenzfunktion, man spricht auch von einer Potenzfunktion vom Grad n . Eine allgemeine Potenzfunktion f hat einen Funktionsterm der Form f x = a x n . Der Koeffizient a ist eine reelle Zahl ungleich…

Grundlagen zu Ungleichungen

Hier erfährst du, wie du aus Grafiken und Textaufgaben Ungleichungen erkennen und aufstellen kannst. Was ist eine Ungleichung? Ungleichungen mit einer Variablen am Waagemodell Ungleichungen in Sachzusammenhängen Ungleichungen an der Zahlengeraden Was ist eine Ungleichung? Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Relationszeichen (< „ist kleiner als“, > “ist größer als“) miteinander verbunden sind. Oft verwendet man auch ≤ oder ≥ für „ist kleiner als oder gleich“ und „ist größer als oder gleich“. Beispiele für Ungleichungen x - gt x + lt x - x ≤ 3 + gt * Auch das ist eine Ungleichung. Auf der linken…

Grundlagen zu Winkeln

Winkel kennenlernen Winkel messen Winkelgrößen schätzen Winkelarten unterscheiden Winkelgrößen addieren und subtrahieren Winkel zum gestreckten oder vollen Winkel ergänzen Winkelgrößen im Kreis bestimmen Winkel kennenlernen Ein Winkel wird von zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt S begrenzt. Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels, der Punkt S heißt Scheitelpunkt oder kurz Scheitel. Winkel messen Die Größe eines Winkels kannst du mit einem Geodreieck messen. Winkel werden in Grad (kurz: ") und gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Du legst die Grundseite des Geodreiecks so auf einem Schenkel an, dass der Nullpunkt auf dem Scheitelpunkt S liegt und der andere Schenkel die Skala trifft.…

Grundlagen zur Flächen- und Umfangsberechnung

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du die Größe zweier Flächeninhalte oder den Umfang zweier Figuren miteinander vergleichen kannst. Die Flächeninhalte zweier Figuren vergleichen Die Umfänge zweier Figuren vergleichen Beziehung zwischen Umfang und Flächeninhalt Die Flächeninhalte zweier Figuren vergleichen Jede gradlinig begrenzte ebene Figur schließt eine bestimmte Fläche ein.Die Größe dieser Fläche gibt man mit dem Flächeninhalt an, zum Beispiel als Anzahl von Kästchen in einem Kästchennetz.Bei manchen Flächen lässt sich leicht sagen, welche der beiden Figuren den größeren Flächeninhalt hat. Hier ist leicht zu erkennen, dass die rechte Fläche größer ist. Sind die Größen der beiden Flächen jedoch sehr…

Grundlagen zur Volumen- und Oberflächenberechnung

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du die Größe zweier rechtwinkliger Körper messen und vergleichen kannst. Den Rauminhalt eines Körpers bestimmen Die Oberfläche eines Körpers bestimmen Den Rauminhalt eines Körpers bestimmen Jeder Körper benötigt Platz. Die Größe dieses Raumes ( den Rauminhalt oder das Volumen) kannst du auf unterschiedliche Weise messen. Rechtwinklige Körper kannst du oft mit Würfeln ausfüllen. Damit man die gemessenen Größen miteinander vergleichen kann, verwendet man Einheitswürfel (eine Kantenlänge entspricht einer Längeneinheit). Der Körper, in den mehr Einheitswürfel passen, hat das größere Volumen. In die linke Kiste passen 30 Einheitswürfel und in die rechte Kiste passen 36…

Häufigkeit

Hier erfährst du, wie du einfache Aufgaben zur Kombinatorik löst und wie du mit Hilfe von Häufigkeiten Gewinnchancen abschätzen kannst. Abzählen von Möglichkeiten Häufigkeiten und Gewinnchancen Abzählen von Möglichkeiten In der Kombinatorik geht es oft darum, herauszufinden, wie viele Möglichkeiten es für bestimmte Anordnungen gibt, z. B. beim Erstellen eines Zahlencodes oder beim Anordnen von Personen. Ist die Anzahl der beteiligten „Elemente“ nicht zu groß, kannst du dir alle möglichen Ergebnisse aufschreiben.Bei größeren Mengen aber würdest du damit nicht fertig werden. Du kannst die Anzahl aber berechnen. Es gibt Möglichkeiten, wie sich 6 Personen in einem Zugabteil auf 6 Plätze…

Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln

Hier erfährst du, wie du Wahrscheinlichkeiten in Zufallsexperimenten bestimmen kannst, was Laplace-Experimente sind und wie relative Häufigkeiten mit Wahrscheinlichkeiten zusammenhängen. Zufallsexperimente, Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeitsräume Allgemeine Regeln für Wahrscheinlichkeiten Laplace-Wahrscheinlichkeiten und daraus resultierende Regeln Relative Häufigkeiten Erwartungswerte Zufallsexperimente, Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeitsräume Zufallsexperimente werden zur mathematischen Beschreibung von Vorgängen verwendet, deren Ausgang nicht sicher vorhergesagt werden kann. Zum Beispiel kannst du beim Würfeln nicht vorher wissen, ob du eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 würfeln wirst. Wahrscheinlichkeiten sollen in diesen Fällen den Grad der Gewissheit für das Eintreten von Ereignissen messen und angeben. Dafür werden Zahlen x mit ≤ x…

Hauptnenner

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du den Hauptnenner von zwei oder mehr Brüchen bildest. Den Hauptnenner mehrerer Brüche ermitteln Den Hauptnenner mehrerer Brüche ermitteln Der Hauptnenner ist der durch Erweitern von zwei oder mehr ungleichnamigen Brüchen entstehende kleinste gemeinsamer Nenner. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner. Erweitere und auf ihren Hauptnenner. Hauptnenner Vielfache von 2: {2; 4; ;8; ...}Vielfache von 3: {3; ;9; 12; ...}Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6. Du erweiterst und auf ihren Hauptnenner . Erweitere und auf ihren Hauptnenner. Hauptnenner Vielfache von 4: {4; 8; ; 16; ...}…

Höhensatz und Kathetensatz

Hier lernst du den Kathetensatz und den Höhensatz kennen. Diese beiden Sätze und der Satz des Pythagoras bilden zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. Der Kathetensatz des Euklid Der Höhensatz des Euklid Der Kathetensatz des Euklid In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf der Hypotenuse diese in zwei Strecken, die Hypotenusenabschnitte p und q. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit rechtem Winkel im Punkt C und Hypotenusenabschnitten p und q gilt: a = p * c und b = q * c Flächeninhalte vergleichen Der Flächeninhalt des Kathetenquadrats beträgt 36 cm * = . Der Flächeninhalt des Rechtecks über dem…

Irrationale Zahlen kennenlernen

In diesen Erklärungen erfährst du, welche Beziehungen zwischen den Mengen der rationalen, der irrationalen und der reellen Zahlen bestehen. Die rationalen Zahlen Die irrationalen Zahlen Die reellen Zahlen Beweis der Irrationalität Die rationalen Zahlen Die Menge der Rationalen Zahlen (ℚ) besteht aus allen Zahlen, die als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können. Da sich alle natürlichen Zahlen als unechte Brüche darstellen lassen, sind natürliche und ganze Zahlen auch rationale Zahlen. Die Zahlen , , , … sind rationale Zahlen. Du kannst sie als unechten Bruch darstellen. Zum Beispiel: = oder = = - = = - Eine Dezimalzahl ist…

Karten, Lagepläne und Maßstäbe kennenlernen

„Hier erfährst du wie du Pläne, Karten und Umrisse lesen und verstehen und wie du Längen maßstabsgetreu berechnen kannst. “ Planquadrate in Karten Der Maßstab Die Maßstabsleiste Vergrößerung und Verkleinerung Planquadrate in Karten Karten oder Pläne werden häufig zur besseren übersicht in Planquadrate eingeteilt. Städte, Straßen, Flüsse, … kannst du auf der Karte anhand der Angabe eines Planquadrats in der Legende so schneller finden. Die Planquadrate werden meist mit Buchstaben und Ziffern beschriftet. So ist jedes Planquadrat eindeutig gekennzeichnet. Das orange gefärbte Planquadrat wird mit B2 bezeichnet, weil es in der Zeile „B“ und in der Spalte „2“ steht. Planquadrate…

Kegel

Eigenschaften von Kegeln Volumenberechnung Oberflächenberechnung Funktionale Abhängigkeiten Hohlkegel Axialschnitt und Kegel als Rotationskörper Berechnungen zum Kegelstumpf Eigenschaften von Kegeln Ein Kreiskegel (kurz: Kegel) ist ein geometrischer Körper mit einem Kreis als Grundfläche. Beim geraden Kegel sind alle Mantellinien gleich lang und der Mantel ist ein Kreisausschnitt . Alle anderen Kegel werden als schiefe Kegel bezeichnet. schiefer Kegelgerader Kegel Im Weiteren wird der gerade Kreiskegel kurz als Kegel bezeichnet. Ist von einem schiefen Kegel die Rede, so wird das ausdrücklich erwähnt. Begriffe zum Kegel: Volumenberechnung Volumen = * Grundfläche * Höhe kurz: V = G * h Die Grundfläche des Kegels…

Knobelaufgaben zur Teilbarkeit

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Textaufgaben und andere Knobelaufgaben zur Teilbarkeit lösen kannst. Textaufgaben zur Teilbarkeit Textaufgaben zur Teilbarkeit Im Folgenden kannst du dir einige Beispiele für Knobel- oder Textaufgaben zur Teilbarkeit ansehen. Niklas und Paula gehen am Sonntag im Wald joggen. Sie starten gemeinsam am hohlen Baum. Paula braucht für eine Runde um den See 12 Minuten, Niklas braucht dagegen nur 10 Minuten. Nach wie vielen Minuten kommen Niklas und Paula gleichzeitig am hohlen Baum an? Nach ___ min treffen sie sich am hohlen Baum wieder. Knobelaufgaben lösen Du musst dir überlegen, in welchen Minuten Paula und…

Kopfrechnen: Addition und Subtraktion von Brüchen

Hier erfährst du, wie du Brüche im Kopf addieren oder subtrahieren kannst. Brüche im Kopf addieren Brüche im Kopf subtrahieren Brüche im Kopf addieren Wenn du Brüche im Kopf addieren willst, musst du versuchen, alle Schritte im Kopf durchzuführen. Dies sind mögliche Rechenschritte. überlege dir, welche der Rechenschritte für deine Rechnung wichtig sind. Addition: Brüche im Kopf subtrahieren Wenn du Brüche im Kopf subtrahieren willst, musst du versuchen, alle Schritte im Kopf durchzuführen. Dies sind mögliche Rechenschritte. überlege dir, welche der Rechenschritte für deine Rechnung wichtig sind. Subtraktion:

Kopfrechnen: Multiplikation und Division von Brüchen

Hier erfährst du, wie du Brüche im Kopf multiplizieren und dividieren kannst. Kopfrechnen in der Bruchrechnung: Multiplikation Kopfrechnen in der Bruchrechnung: Division Kopfrechnen in der Bruchrechnung: Multiplikation Wenn du Brüche im Kopf multiplizieren willst, musst du versuchen, alle Schritte im Kopf durchzuführen. Dies sind mögliche Rechenschritte. überlege dir, welche der Rechenschritte für deine Rechnung wichtig sind. Multiplikation: Kopfrechnen in der Bruchrechnung: Division Wenn du Brüche im Kopf dividieren willst, musst du versuchen, alle Schritte im Kopf durchzuführen. Dies sind mögliche Rechenschritte. überlege dir, welche der Rechenschritte für deine Rechnung wichtig sind. Division:

Körperberechnung

Volumen eines Quaders berechnen Volumen eines Würfels berechnen Oberflächeninhalt eines Quaders berechnen Volumen eines Prismas berechnen Volumen eines Kegels berechnen Oberfläche eines Kegels berechnen Volumen eines Zylinders berechnen Oberfläche eines Zylinders berechnen Volumen einer Pyramide berechnen Oberfläche einer Pyramide berechnen Volumen eines Quaders berechnen Das Volumen V eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c berechnest du, indem du diese miteinander multiplizierst: V = a * b * c Volumen eines Würfels berechnen Der Würfel ist ein besonderer Quader . Bei ihm sind alle zwölf Kanten gleich lang. Für die Breite a, die Tiefe b und die Höhe c…

Kreisausschnitt und Kreisbogen

Hier erfährst du, wie du den Flächeninhalt von Kreisausschnitten und Kreisabschnitten und die Länge von Kreisbögen berechnen kannst. Kreisausschnitt Kreisbogen Kreisabschnitt Kreisausschnitt Wählst du auf einer Kreislinie zwei Punkte aus und verbindest diese mit dem Kreismittelpunkt, dann erhältst du einen Ausschnitt des Kreises. Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts A α (auch Kreissektor genannt) wird bestimmt durch die Größe des Mittelpunktswinkels α . Je größer der Winkel α ist, desto größer ist auch der Flächeninhalt des Kreisausschnitts.Den Flächeninhalt eines vollen Kreises ( α = ? ) berechnest du mit der Formel A = π r .Ist zum Beispiel α = ? ,…

Kürzen und Erweitern von Brüchen

Hier findest du noch mal die wichtigsten Informationen zum Kürzen und Erweitern. Erweitern eines Bruchs Kürzen eines Bruchs Erweiterungszahl Kürzungszahl Kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler Auf den Hauptnenner erweitern Erweitern eines Bruchs Du kannst einen Bruch erweitern, indem du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizierst. Beim Erweitern bleibt der vom Bruch dargestellte Anteil unverändert, dieser Anteil wird nur in kleinere Abschnitte unterteilt (die Einteilung wird verfeinert). Erweitern Erweitern Kürzen eines Bruchs Du kannst einen Bruch kürzen, indem du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividierst. Beim Kürzen bleibt der vom Bruch dargestellte Anteil unverändert, dieser Anteil…

Kürzen von Brüchen

Hier erfährst du, wie du einen Bruch kürzen kannst. Kürzen bedeutet, dass Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert werden, der Bruch aber gleich bleibt. Kürzen eines Bruchs Kürzungszahl Kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler Kürzen mit der Primfaktorzerlegung Kürzen eines Bruchs Du kannst einen Bruch kürzen, indem du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividierst. Beim Kürzen bleibt der vom Bruch dargestellte Anteil unverändert, dieser Anteil wird nur in größere Abschnitte unterteilt (die Einteilung wird vergröbert). Kürzen Kürzen Kürzungszahl Die Zahl, mit der du einen Bruch kürzt, nennt man Kürzungszahl. Die Kürzungszahl findest du, indem du eine…

Lagebeziehungen von Geraden

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du anhand der Geradengleichungen entscheiden kannst, welche Lagebeziehung zwei Geraden zueinander haben. Parallele Geraden Senkrechte Geraden Spiegeln von Geraden an den Koordinatenachsen Lagebeziehungen zweier Geraden ermitteln Parallele Geraden Parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt. Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich, denn parallele Geraden haben dieselbe Steigung. Zeichne die Parallele h zur Geraden g durch den Punkt P. Parallele zeichnen Du ermittelst die Steigung der Geraden g ( m = ) und trägst diese Steigung am Punkt P an.Du kannst dazu ein Steigungsdreieck einzeichnen. Vervollständige die Gleichung der Geraden h so, dass die Geraden…

Lineare Funktionen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion Einfluss der Parameter m und b und Spezialfälle Graphen zeichnen, wenn zwei Punkte gegeben sind Graphen zeichnen, wenn ein Punkt und die Steigung gegeben sind Graphen zeichnen, wenn die Geradengleichung gegeben ist Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen Funktionsgleichungen aufstellen zur Berechnung besonderer Punkte Funktionsgleichungen mit der Punkt-Steigungs-Formel bestimmen Funktionsgleichungen mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen Von der graphischen Darstellung zur Wertetabelle Berechnen der Nullstelle Berechnen des y-Achsenabschnitts Bedeutung der Achsenabschnitte in Sachsituationen Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen Parallele Geraden Lagebeziehungen zweier Geraden ermitteln Gerade mit vorgegebener Steigung zeichnen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen…

Lineare Gleichungen lösen

Altersrätsel Bewegungsaufgaben Altersrätsel Altersrätsel sind eine beliebte Form von Knobelaufgaben. Hier ist besonders zu beachten, dass die Grundmenge die natürlichen Zahlen sind, denn das Alter eines Menschen wird selten als Bruch angegeben und kann nie negativ sein. Herr Meier ist heute fünfmal so alt wie sein Sohn Lukas. Vor drei Jahren war er noch achtmal so alt wie sein Sohn. Wie alt sind beide heute? Variable festlegen Da das Alter von Herrn Meier durch das Alter von Lukas beschrieben wird, ist es sinnvoll, die Variable so zu wählen. x ist das Alter von Lukas heute. Terme aufstellen x ist das…

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Lösungen linearer Gleichungen mit zwei Variablen bestimmen Lösungsmenge linearer Gleichungen mit zwei Variablen graphisch darstellen Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Geradengleichungen zuordnen Lineare Gleichungen mit zwei Variablen, Geradengleichungen und Wertepaare einander zuordnen Lösungen linearer Gleichungen mit zwei Variablen bestimmen Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gleichung der Form a x + b y = c , wobei a , b und c Konstanten sind und a and b ungleich null. Ein Beispiel ist y = x - . Ein Wertepaar x | y ist Lösung einer Gleichung, wenn der x -Wert und der y -Wert die Gleichung erfüllen.…

Logarithmen kennenlernen

Der Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung Dekadischer Logarithmus Basiswechsel Der Logarithmus als Lösung einer Exponentialgleichung „ Logarithmus “ ist das griechische Wort für „ Exponent “ . Für eine positive Zahl b und eine reelle Zahl a ist der Logarithmus die Antwort auf: „ b hoch was ist a " “ , also die Lösung der Exponentialgleichung b x = a . Diese Lösung wird mit log b a bezeichnet. Dabei ist b die Basis des Logarithmus und a der Numerus. Die Exponentialgleichung x = hat die Lösung x = , das heißt: log = . Die Exponentialgleichung x =…

Lösen linearer Gleichungssysteme mit drei Variablen

Hier erfährst du, wie du Gleichungssysteme mit drei Variablen systematisch in Dreiecksgestalt bringst, um sie zu lösen. Lineare Gleichungssysteme in Dreiecksgestalt lösen Allgemeines lineares Gleichungssystem mit drei Variablen lösen Lineare Gleichungssysteme in Dreiecksgestalt lösen Ein lineares Gleichungssystem ist nur dann eindeutig lösbar, wenn es aus mindestens so vielen Gleichungen besteht wie Variablen darin enthalten sind. Aber auch in diesem Fall ist die eindeutige Lösbarkeit nicht immer gegeben. Wenn ein Dreieckssystem allerdings in Dreiecksgestalt gegeben ist, dann lässt es sich schrittweise durch Einsetzen lösen. Die Form des Gleichungssystems entspricht einem Dreieck, da von der ersten zur letzten Gleichung jeweils eine Variable…

Lösen von Exponentialgleichungen

Lösen durch Exponentenvergleich Lösen durch Logarithmieren Lösen durch Exponentenvergleich Einfache Exponentialgleichungen kannst du im Kopf lösen, wenn du auf beiden Seiten der Gleichung Potenzen mit derselben Basis hast. Manchmal ist das offensichtlich, manchmal benötigst du eine einfache Umformung. Linke Seite vereinfachen: Also: Exponentenvergleich ergibt: x = Du schreibst beide Seiten als Potenzen derselben Basis: x + = x + = x + und x = x = x Exponentenvergleich ergibt: Lösen durch Logarithmieren Durch Logarithmieren erhältst du lg x + = lg und nach der Exponentenregel Du berechnest x mit dem Taschenrechner, indem du die Taste verwendest. Das Ergebnis rundest…

Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen

Hier erfährst du, wie du Gleichungen systematisch mit Hilfe von äquivalenzumformungen lösen kannst und wie du überprüfst, ob die Lösung richtig ist. äquivalente Gleichungen Gleichungen lösen durch äquivalenzumformungen äquivalenzumformungen am Waagemodell Besondere Lösungsmengen äquivalente Gleichungen Zwei Gleichungen sind äquivalent , wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. Die Gleichungen 3x + 7 = 16 und x = 3 sind äquivalent, denn beide Gleichungen haben die Lösungsmenge L = {3}. Die Gleichungen 3x + 7 = 16 und 3x + 6 = 15 sind äquivalent, denn beide Gleichungen haben die Lösungsmenge L = {3}. Die Gleichungen 3x + 7 = 16 und 3x…

Lösen von Gleichungen durch Probieren

Hier erfährst du, wie du Gleichungen durch Probieren löst und wie du überprüfst, ob eine gegebene Zahl Lösung einer Gleichung ist. In einer Gleichung, die eine Variable enthält, kannst du die Variable durch Zahlen ersetzen. Dabei entsteht entweder eine wahre oder eine falsche Aussage. Eine Gleichung lösen heißt, alle die Zahlen aus der Grundmenge zu finden, die beim Einsetzen die Gleichung zu einer wahren Aussage machen. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge der Gleichung. Lösen der Ergänzungsaufgabe Lösung einer Gleichung überprüfen Lösen von Gleichungen mit Angabe einer Grundmenge Gleichung lösen durch Probieren Gleichung lösen durch systematisches Probieren Lösen der Ergänzungsaufgabe…

Lösen von Ungleichungen

Hier erfährst du, wie du Ungleichungen systematisch mit Hilfe von äquivalenzumformungen lösen und wie du überprüfen kannst, ob die Lösung richtig ist. Ungleichungen lösen durch äquivalenzumformungen Angabe der Lösungsmenge Ungleichungen mit negativen Zahlen multiplizieren Ungleichungen lösen durch äquivalenzumformungen Durch äquivalenzumformungen kannst du Ungleichungen verändern, ohne deren Lösungsmenge zu ändern.Man sagt dann, dass die Variable durch diese Umformungen isoliert wird, bzw. die Ungleichung nach der Variablen „aufgelöst“ wird.Folgende Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Ungleichung nicht, sind also äquivalenzumformungen: Jede Termvereinfachung auf beiden Seiten, wie zum Beispiel Klammern auflösen oder Zusammenfassen gleichartiger Terme, ändert die Lösungsmenge der Ungleichung nicht.Auf die Multiplikation mit…

Lösungsstrategien für Sinus- und Kosinussatz

Hier erfährst du, unter welchen Voraussetzungen für die Berechnungen in Dreiecken die Anwendung des Sinussatzes oder die des Kosinussatzes die bessere Strategie ist. Den richtigen Satz benutzen Alle Größen im Dreieck berechnen Den richtigen Satz benutzen Kennst du mindestens drei Größen (Seitenlängen und/oder Winkel) in einem beliebigen Dreieck, dann kannst du mindestens eineweitere Größe berechnen, indem du den Sinussatz oder den Kosinussatz anwendest. Dabei kannst du mehrere Fälle unterscheiden: Alle Größen im Dreieck berechnen Möchtest du alle unbekannten Größen eines Dreiecks aus drei gegebenen Größen berechnen, gehst du strategisch vor. Gegeben ist ein Dreieck mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen…

Manipulationen

Hier erfährst du, wie du Diagramme oder Piktogramme richtig liest und interpretierst und wie du Manipulationen in grafischen Darstellungen erkennst. Manipulative Darstellung von Diagrammen Manipulative Darstellung von Diagrammen Mit Diagrammen, Piktogrammen und Schaubildern kannst du Datenreihen anschaulich darstellen. Aus diesen Darstellungen kannst du Zusammenhänge, Trends oder Schlussfolgerungen besser ableiten. Allerdings kann durch eine Grafik der Sachverhalt auch verfälscht werden bzw. beim Betrachter einen Eindruck entstehen lassen, der den Tatsachen nicht entspricht. Wenn du grafische Darstellungen betrachtest, dann achte dabei auf folgende Punkte: Im Diagramm fehlt die Skalierung der y-Achse, so dass keine Aussage über den Beginn und die Einteilung der…

Maßstab

Der Maßstab Die Maßstabsleiste Der Maßstab Bilder, Zeichnungen oder Karten stellen oft die Wirklichkeit verkleinert oder vergrößert dar. Der Maßstab beschreibt, wie stark verkleinert oder vergrößert wurde. Landkarten oder Grundrisse sind Verkleinerungen bestimmter Aspekte der Wirklichkeit. Technische Zeichnungen oder auch Zeichnungen von Insekten, sind häufig Vergrößerungen der Wirklichkeit. Ein Maßstab wird über das Verhältnis zweier Zahlen angegeben. - 1 : 10 bedeutet, dass cm auf der Karte cm in der Wirklichkeit sind. - 1 : 100 bedeutet, dass cm auf der Karte cm in der Wirklichkeit sind. Also entspricht cm auf der Karte m in der Wirklichkeit. - 1 :…

Maßstäbliche Darstellungen

Hier erfährst du, wie du Pläne, Karten und Grundrisse lesen und verstehen und wie du Längen mit Hilfe von Maßstabsangaben berechnen kannst. Maßstab Maßstab Bilder, Zeichnungen oder Karten stellen oft die Wirklichkeit verkleinert oder vergrößert dar. Der Maßstab beschreibt, wie stark verkleinert oder vergrößert wurde. Landkarten oder Grundrisse sind Verkleinerungen bestimmter Aspekte der Wirklichkeit. Technische Zeichnungen oder auch Zeichnungen von Insekten, sind häufig Vergrößerungen der Wirklichkeit. Ein Maßstab wird über das Verhältnis zweier Zahlen angegeben. - 1 : 10 bedeutet, dass cm auf der Karte cm in der Wirklichkeit sind. - 1 : 100 bedeutet, dass cm auf der Karte…

Maßstäbliches Vergrößern und Verkleinern

Hier erfährst du, wie du eine Figur oder ein Objekt maßstäblich vergrößerst oder verkleinerst und wie du diese Vergrößerung oder Verkleinerung mit dem „Rücknahmefaktor“ wieder rückgängig machen kannst. Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern mit zwei Faktoren Rücknahmefaktor einer maßstäblichen Vergrößerung oder Verkleinerung änderung des Flächeninhaltes bei einer maßstäblichen Vergrößerung oder Verkleinerung Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren Wenn du eine Figur maßstäblich vergrößern oder verkleinern möchtest, multiplizierst du alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor k und lässt die Winkel gleich. Mit einem Faktor k > 1 kannst du das Original vergrößern.Mit einem Faktor…

Mit 10, 100, 1000, ... multiplizieren und dividieren

Mit 10, 100, 1000, ... multiplizieren Durch 10, 100, 1000, ... dividieren Mit 10, 100, 1000, ... multiplizieren Beim Multiplizieren einer Zahl mit , , , ... kann dir eine Stellenwerttafel helfen. Multiplizierst du eine Zehner- oder Hunderterzahl mit , , , ..., findest du das Ergebnis, indem du die Anzahlen der Nullen zusammenzählst. Das Ergebnis der Multiplikation von und hat fünf Nullen: * = . Durch 10, 100, 1000, ... dividieren Dividierst du eine große Zahl durch , , , ..., findest du das Ergebnis, indem du die entsprechende Anzahl der Nullen wegstreichst. Die Division durch , , ,…

Mit der abc-Formel quadratische Gleichungen lösen

Herleitung der abc-Formel Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Lösen quadratischer Gleichungen Herleitung der abc-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form a x + b x + c = abc-Formel: - b ? b - a c a Die abc-Formel entsteht aus der quadratischen Gleichung in allgemeiner Form a x + b x + c = ( a ≠ ) durch quadratische Ergänzung . L = - b + b - a c a ; - b - b - a c a Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Diskriminante D zur abc-Formel: D = b…

Mit der p/q-Formel quadratische Gleichungen lösen

Herleitung der pq-Formel Lösen quadratischer Gleichungen Anzahl der Lösungen mit der Diskriminante bestimmen Satz von Vieta Herleitung des Satzes von Vieta Herleitung der pq-Formel Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x + p x + q = pq-Formel: x 1/2 = - p ? p - q Die pq-Formel entsteht aus der Normalform einer quadratischen Gleichung x + p x + q = durch quadratische Ergänzung . für p - q gt : L = - p + p - q ; - p - p - q Lösen quadratischer Gleichungen Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x…

Mit der quadratischen Ergänzung quadratische Gleichungen lösen

Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung Gleichungen lösen mit der quadratischen Ergänzung Quadratischen Gleichungen der Form x + p x + q = kannst du lösen, indem du den Term x + p x quadratisch ergänzt. Addierst du den Term p , entsteht durch Anwenden der binomischen Formeln der Term x + p . Die umgeformte Gleichung kannst du durch Wurzelziehen lösen. x + = ? L = {-1 ; -7}

Mit Vielfachen von 10, 100, 1000, ... multiplizieren und dividieren

Mit Vielfachen von 10, 100, 1000, ... multiplizieren Durch Vielfache von 10, 100, 1000, ... dividieren Mit Vielfachen von 10, 100, 1000, ... multiplizieren Multiplizierst du eine Zahl mit Vielfachen von , , , ... , streichst du bei beiden Faktoren rechts alle Nullen bis zur ersten Stelle mit einer Ziffer ungleich null, multiplizierst die so erhaltenen Zahlen und hängst anschließend alle gestrichenen Nullen an das Ergebnis an. * = Zuerst rechnest du die Grundaufgabe 3 * 6 = 18 . Anschließend hängst du die drei Nullen des zweiten Faktors an die : * = . * = Zuerst rechnest…

Mittelsenkrechte konstruieren

Die Mittelsenkrechte einer Strecke Den Mittelpunkt einer Strecke konstruieren Das Lot auf eine Gerade durch einen Punkt konstruieren Die Mittelsenkrechte einer Strecke Den Mittelpunkt einer Strecke konstruieren Du kannst den Mittelpunkt einer Strecke AB ? mit Hilfe ihrer Mittelsenkrechte konstruieren. Der Schnittpunkt von AB ? und ihrer Mittelsenkrechte ist genau der Mittelpunkt von AB ? . Das Lot auf eine Gerade durch einen Punkt konstruieren Ein Lot ist eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen Geraden steht.

Mittelwert - Durchschnitt

Hier erfährst du, wie du den Mittelwert von zwei oder mehreren Zahlen oder Größen berechnest. Der Mittelwert von Zahlen änderung des Mittelwertes Der Mittelwert von Zahlen Den Mittelwert von zwei oder mehreren Zahlen berechnest du, indem du alle Zahlen addierst und die Summe durch die Anzahl der Zahlen dividierst. Der Mittelwert wird auch Durchschnittswert oder arithmetisches Mittel genannt. Mittelwert von Zahlen Der Trainer einer Basketball-Mannschaft misst die Körpergrößen seiner Spieler. Berechne die durchschnittliche Körpergröße aller Basketball-Spieler. Mittelwert berechnen Den Mittelwert berechnest du, indem du die Körpergrößen aller Spieler addierst und die Summe dann durch die Anzahl der Spieler dividierst: 179…

Mittelwert berechnen

Der Mittelwert von Zahlen Der Mittelwert von Zahlen Den Mittelwert von zwei oder mehreren Zahlen berechnest du, indem du alle Zahlen addierst und die Summe durch die Anzahl der Zahlen dividierst. Der Mittelwert wird auch Durchschnittswert oder arithmetisches Mittel genannt. Mittelwert von Zahlen Der Trainer einer Basketball-Mannschaft misst die Körpergrößen seiner Spieler. Berechne die durchschnittliche Körpergröße aller Basketball-Spieler. Mittelwert berechnen Den Mittelwert berechnest du, indem du die Körpergrößen aller Spieler addierst und die Summe dann durch die Anzahl der Spieler dividierst: 179 + 171 + 177 + 183 + 180 = 890 890 : 5 = 178 Die durchschnittliche Körpergröße…

Mittelwert, Median, Modus

Hier erfährst du, was die Lageparameter Modus, Median und Mittelwert bedeuten, wie du sie bestimmst und welche Eigenschaften sie haben. Modus Median Mittelwert Modus, Median und Mittelwert im Vergleich Modus Der Modus (auch Modalwert genannt) einer Datenreihe ist das Merkmal bzw. der Wert mit der größten Häufigkeit.Es kann auch mehrere Modi geben, wenn zwei oder mehrere verschiedene Merkmale gleich oft am häufigsten vorkommen. Merkmale wie zum Beispiel weisen keine „natürliche“ Ordnung auf. Daten, die zu solchen Merkmalen gehören, fallen somit in Klassen (auch Kategorien genannt), die nicht sinnvoll sortiert werden können. Anna und Jonas machen eine Umfrage zur Gewalt an…

Multiplikation und Ausklammern bei Termen mit Potenzen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme mit Potenzen mit Hilfe der Potenzgesetze multiplizieren kannst. Weiterhin erfährst du, wie du Terme mit Potenzen durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren in ein Produkt umwandeln kannst. Multiplikation von Termen mit gleichen Basen Multiplikation von Termen mit gleichen Exponenten Anwenden der Potenzgesetze bei Termen Potenzieren von Potenzen Ausklammern in Termen mit Potenzen Multiplikation von Termen mit gleichen Basen Wenn du Potenzen mit gleichen Basen miteinander multiplizieren möchtest, kannst du die folgende Regel verwenden: x n * x m = x n + m bzw. x k * x n * x m = x…

Multiplikation und Division von rationalen Zahlen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du rationale Zahlen multiplizierst und dividierst. Produkt als Summe darstellen Multiplikation an der Zahlengeraden Division von rationalen Zahlen Rechenregeln zur Multiplikation und Division von rationalen Zahlen Multiplikation und Division mit der Null Multiplikation und Division mit 1 und -1 Rationale Zahlen geschickt multiplizieren Produkt als Summe darstellen Die Multiplikation mit einer natürlichen Zahl ist in der Mathematik die Vereinfachung einer Additionsaufgabe und kann deshalb auch als fortgesetzte Addition dargestellt werden. Dies ist auch bei rationalen Zahlen möglich. * = + + + * = + + + = * = + + + *…

Multiplikation von Brüchen

Hier erfährst du, wie du mit Brüchen multiplizieren kannst. Multiplizieren von Brüchen Multiplizieren und Kürzen Multiplizieren einer natürlichen Zahl mit einem Bruch Multiplizieren gemischter Zahlen Multiplizieren von Brüchen Ein Bruch stellt einen Teil eines Ganzen dar. Wenn du zwei Brüche miteinander multiplizierst, dann unterteilst du den ersten Bruchteil in noch kleinere Teile. Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Anschaulich * Multiplizieren Wenn du mit multiplizierst, dann unterteilst du die Hälfte des Ganzen in drei Teile. Ein Drittel von der Hälfte entspricht dann einem Sechstel vom Ganzen. * = Rechnerisch Rechne aus: *…

Multiplikation von Dezimalzahlen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Dezimalzahlen im Kopf multiplizierst. Eine Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000, ...) multiplizieren Eine Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl multiplizieren Zwei Dezimalzahlen miteinander multiplizieren Ergänzungsaufgaben mit Zehnerpotenzen Ergänzungsaufgaben mit natürlichen Zahlen Eine Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000, ...) multiplizieren Du multiplizierst die Dezimalzahl, indem du das Komma um so viele Stellen nach rechts verschiebst wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Also verschiebst du zum Beispiel bei der Multiplikation mit 100 das Komma um zwei Stellen nach rechts. Für fehlende Ziffern hängst du hinten Nullen an. Rechne aus: * Multiplizieren Wenn du…

Multiplikation von Termen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme miteinander multiplizieren und wie du Terme dividieren kannst. Vervielfachen eines Terms Variablen multiplizieren Terme miteinander multiplizieren Einen Term durch eine Zahl dividieren Vervielfachen eines Terms Einen Term zu vervielfachen, bedeutet, ihn mit einer Zahl zu multiplizieren.Bei Termen, die nur aus einer Variablen mit einem Koeffizienten bestehen, zum Beispiel 3x, wird nur der Koeffizient mit einer Zahl multipliziert .Da Variablen für Zahlenwerte stehen, gelten für das Rechnen mit ihnen die gleichen Rechengesetze wie für Zahlen, also beispielsweise das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation und der Addition. Vervierfache den Term x . Multiplizieren Vervierfachen…
Weiter
Zurück


Jetzt starten mit bettermarks

Ich bin LehrerIch bin Elternteil

Erfolgreich Mathe lernen mit bettermarks.

Mit den adaptiven Mathebüchern von bettermarks können Schüler Aufgaben auf dem Tablet, dem Computer und dem Smartphone rechnen.
Mehr erfahren ›

bettermarks

StartseiteMathe-Portal
Lehren
LernenPreiseHilfe

Unternehmen

bettermarks.com
Über unsNewsPresseJobsAnfahrtKontakt

Service

RegistrierungLoginPasswort vergessenOnline-Schulung
(030) 300 2440 00 
Montag bis Freitag 8:30 - 17 Uhr
© Copyright 2017 - bettermarks GmbH - All Rights Reserved.
ImpressumAGBDatenschutz
twitterfacebookgoogle-pluslinkedinyoutubexingmenu