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Eigenschaften von Exponentialfunktionen

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Eigenschaften der Exponentialfunktion

Der Graph einer Exponentialfunktion

y = b x

mit

b gt 0

,

b

1

enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | b .

Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen bestimmen.

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpEig_1.jpg

Der Graph enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | 3 .Funktionsterm :

f ( x ) = 3 x

Der Definitionsbereich

D

einer Exponentialfunktion ist ℝ, der

kleinstmögliche Wertebereich

W

ist 0 ; . Exponentialfunktionen haben also keine

Nullstelle

.

Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade

y = 0

ist die waagerechte

Asymptote

der Exponentialfunktion.

Exponentialfunktionen mit

b gt 1

sind monoton steigend.Exponentialfunktionen mit

0 lt b lt 1

sind monoton fallend.

Die Graphen der Exponentialfunktionen

y = b x

und

y = 1 b x = b - x

sind zueinander symmetrisch bezüglich der y-Achse.

f

mit

f ( x ) = 2 x

und

g

mit

g ( x ) = 1 2 x

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpEig_2.jpg

Die allgemeine Exponentialfunktion

Du kennst die normale Exponentialfunktion mit

y = b x

.

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpEig_3.jpg

Durch die Verwendung von

Parametern

kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene exponentielle Wachstumsvorgänge zu beschreiben oder zu modellieren.

Allgemein hat die Gleichung dann die Form:

y = a * b x

Der Parameter

a

wird auch Streckfaktor genannt, denn die

Exponentialkurve

der normalen Exponentialfunktion

y = b x

wird gestreckt a gt 1 oder gestaucht 0 lt a lt 1 .

Ist

a

negativ, wird die Kurve zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.Die Graphen der

allgemeinen Exponentialfunktionen

enthalten die Punkte 0 | a und 1 | b * a .

Für

a gt 0

ist der

kleinstmögliche Wertebereich

W = 0 ;

, für

a lt 0

ist

W = - ; 0

.

Die Graphen haben also keine

Nullstellen

.

Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade

y = 0

ist die waagerechte

Asymptote

der Exponentialfunktion.

f

mit

f ( x ) = 2 * 3 x

g

mit

g ( x ) = 1 2 * 3 x

h

mit

h ( x ) = -2 * 3 x

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpEig_4.jpg

Verschiebung in y-Richtung

In der Funktionsgleichung

y = a * b x + d

bewirkt der Parameter

d

eine Verschiebung des Funktionsgraphen der

allgemeinen Exponentialfunktion

y = a * b x

in y-Richtung.

Für

d gt 0

erfolgt die Verschiebung nach oben, für

d lt 0

nach unten.

Durch die Verschiebung ändert sich im Fall

a gt 0

der Wertebereich

W

zu d ; .

Die Asymptote wird verschoben nach

y = d

.

Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu.

f

mit

f ( x ) = 2 * 1.5 x + 2

g

mit

g ( x ) = 2 * 1.5 x

h

mit

h ( x ) = 2 * 1.5 x - 2

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpEig_5.jpg

Verschiebung in x-Richtung

In der Funktionsgleichung

y = a * b x + c

bewirkt der Parameter

c

eine Verschiebung der

Exponentialkurve

y = a * b x

in x-Richtung.

Für

c gt 0

erfolgt die Verschiebung nach links, für

c lt 0

nach rechts.

Durch die Verschiebung ändert sich der Wertebereich

W

nicht.

f

mit

f ( x ) = 2 * 1.5 x + 2

g

mit

g ( x ) = 2 * 1.5 x

h

mit

h ( x ) = 2 * 1.5 x - 2

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpEig_6.jpg

Funktionen der Form

y = a * b x + c

sind auch

allgemeine Exponentialfunktionen

, denn eine Verschiebung in x-Richtung kann auch als Streckung oder Stauchung beschrieben werden.

Für

y = a * b x

mit

b gt 1

entspricht die Verschiebung um

c

Einheiten nach links einer Streckung mit dem Faktor

b c

, denn

a * b x + c = a * b x * b c

.

Die Verschiebung um

c

Einheiten nach rechts entspricht einer Stauchung mit dem Faktor

1 b c

, denn

a * b x - c = a * b x * b - c = a * b x * 1 b c

.

Die Verschiebung der Exponentialkurve

y = 2 x

um 3 Einheiten nach links entspricht einer Streckung mit dem Faktor 8.

y = 2 x + 3 = 8 * 2 x

Mit Hilfe von

Potenzgesetzen

erhältst du

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpEig_7.jpg

Die Stauchung der Exponentialkurve

y = 2 x

mit dem Faktor

1 4

entspricht einer Verschiebung um zwei Einheiten nach rechts.

y = 1 4 * 2 x = 2 x - 2

Mit Hilfe von

Potenzgesetzen

erhältst du

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpEig_8.jpg


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