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Eigenschaften von Exponentialfunktionen

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Eigenschaften der Exponentialfunktion

Der Graph einer Exponentialfunktion y = b x mit b > 0 , b 1 enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | b .
Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen bestimmen.
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Der Graph enthält die Punkte 0 | 1 und 1 | 3 .Funktionsterm : f ( x ) = 3 x
Der Definitionsbereich D einer Exponentialfunktion ist ℝ, der kleinstmögliche Wertebereich   W ist 0 ; . Exponentialfunktionen haben also keine Nullstelle .
Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade y = 0 ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion.
Exponentialfunktionen mit b > 1 sind monoton steigend.Exponentialfunktionen mit 0 < b < 1 sind monoton fallend.
Die Graphen der Exponentialfunktionen y = b x und y = 1 b x = b - x sind zueinander symmetrisch bezüglich der y-Achse.
  f mit f ( x ) = 2 x und g mit g ( x ) = 1 2 x
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Die allgemeine Exponentialfunktion

Du kennst die normale Exponentialfunktion mit y = b x .
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Durch die Verwendung von Parametern kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene exponentielle Wachstumsvorgänge zu beschreiben oder zu modellieren.
Allgemein hat die Gleichung dann die Form: y = a · b x
Der Parameter a wird auch Streckfaktor genannt, denn die Exponentialkurve der normalen Exponentialfunktion y = b x wird gestreckt a > 1 oder gestaucht 0 < a < 1 .
Ist a negativ, wird die Kurve zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.Die Graphen der allgemeinen Exponentialfunktionen enthalten die Punkte 0 | a und 1 | b · a .
Für a > 0 ist der kleinstmögliche Wertebereich   W = 0 ; , für a < 0 ist W = - ; 0 .
Die Graphen haben also keine Nullstellen .
Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade y = 0 ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion.
  f mit f ( x ) = 2 · 3 x   g mit g ( x ) = 1 2 · 3 x   h mit h ( x ) = -2 · 3 x
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Verschiebung in y-Richtung

In der Funktionsgleichung y = a · b x + d bewirkt der Parameter d eine Verschiebung des Funktionsgraphen der allgemeinen Exponentialfunktion   y = a · b x in y-Richtung.
Für d > 0 erfolgt die Verschiebung nach oben, für d < 0 nach unten.
Durch die Verschiebung ändert sich im Fall a > 0 der Wertebereich W zu d ; .
Die Asymptote wird verschoben nach y = d .
Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu.
f mit f ( x ) = 2 · 1.5 x + 2   g mit g ( x ) = 2 · 1.5 x   h mit h ( x ) = 2 · 1.5 x - 2
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Verschiebung in x-Richtung

In der Funktionsgleichung y = a · b x + c bewirkt der Parameter c eine Verschiebung der Exponentialkurve   y = a · b x in x-Richtung.
Für c > 0 erfolgt die Verschiebung nach links, für c < 0 nach rechts.
Durch die Verschiebung ändert sich der Wertebereich W nicht.
f mit f ( x ) = 2 · 1.5 x + 2   g mit g ( x ) = 2 · 1.5 x   h mit h ( x ) = 2 · 1.5 x - 2
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Funktionen der Form y = a · b x + c sind auch allgemeine Exponentialfunktionen , denn eine Verschiebung in x-Richtung kann auch als Streckung oder Stauchung beschrieben werden.
Für y = a · b x mit b > 1 entspricht die Verschiebung um c Einheiten nach links einer Streckung mit dem Faktor b c , denn a · b x + c = a · b x · b c .
Die Verschiebung um c Einheiten nach rechts entspricht einer Stauchung mit dem Faktor 1 b c , denn a · b x - c = a · b x · b - c = a · b x · 1 b c .
Die Verschiebung der Exponentialkurve y = 2 x um 3 Einheiten nach links entspricht einer Streckung mit dem Faktor 8.
  y = 2 x + 3 = 8 · 2 x
Mit Hilfe von Potenzgesetzen erhältst du
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Die Stauchung der Exponentialkurve y = 2 x mit dem Faktor 1 4 entspricht einer Verschiebung um zwei Einheiten nach rechts.
  y = 1 4 · 2 x = 2 x - 2
Mit Hilfe von Potenzgesetzen erhältst du
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