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Anwendungen von Exponentialfunktionen

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Exponentialfunktionen mit prozentualer Zu- oder Abnahme

Nimmt eine Größe G ausgehend vom Anfangswert

G 0

pro Schritt um

p %

zu bzw. ab, so kann ihr Wert in Abhängigkeit von der Anzahl x der Schritte mit einer

allgemeinen Exponentialfunktion

beschrieben werden:

y = G x = G 0 * 1 + p 100 x

bzw.

y = G x = G 0 * 1 - p 100 x

In einem Land wächst die Bevölkerung jährlich um

2 %

.

Derzeit leben

43

Mio. Menschen in diesem Land.

Das Bevölkerungswachstum kann beschrieben werden mit der

Funktionsgleichung

:

y = 43 * 1.02 x

Nach 3 Jahren ist die Bevölkerung auf etwa 46 Mio. angewachsen.

Allgemeine Exponentialfunktion:

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpAnw_1.jpg

In 3 Jahren:

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpAnw_2.jpg

Von der Verdopplungszeit zur Exponentialfunktion

Sind Anfangswert

G 0

und Verdopplungszeit T einer Größe G gegeben, so beschreibt der

Funktionsterm

G x = G 0 * 2 x T

den Wert der Größe G in Abhängigkeit von der Zeit x.

Eine Bakterienart vermehrt sich unter günstigen Bedingungen alle 40 Minuten durch Teilung. Das heißt, die Anzahl A der Bakterien verdoppelt sich in dieser Zeit.

Befinden sich anfangs 100 Bakterien in einer Petrischale, dann sind es nach 90 Minuten 476 Bakterien.

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpAnw_3.jpg

Von der Halbwertszeit zur Exponentialfunktion

Sind Anfangswert

G 0

und Halbwertszeit T einer Größe G gegeben, so beschreibt der

Funktionsterm

G x = G 0 * 1 2 x T

den Wert der Größe G in Abhängigkeit von der Zeit x.

Radioaktives Jod 131 hat eine

Halb wertszeit

von 8 Tagen.

Befinden sich in einer Probe anfangs 45 mg Jod 131, dann sind nach 3 Tagen noch etwa 35 mg enthalten.

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpAnw_4.jpg

Exponentialfunktion aus Wertepaaren modellieren

Kennst du von einer

exponentiell wachsenden

Größe die Werte

y 1

und

y 2

zu zwei verschiedenen Zeitpunkten

x 1

und

x 2

, dann kannst du eine

allgemeine Exponentialfunktion

der Form

y = a * b x

eindeutig finden, die dieses Wachstum beschreibt.

Um die Werte der Parameter a und b zu bestimmen, setzt du beide Wertepaare x 1 ; y 1 bzw. x 2 ; y 2 in die

Funktionsgleichung

ein und löst das dadurch entstandene

Gleichungssystem

.

Für die Wertepaare 0 ; 9 und 3 ; 72 ergibt sich die Funktion

y = 9 * 2 x

Gleichungssystem:

/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpAnw_5.jpg

L = 9 ; 2


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