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Anwendungen von Exponentialfunktionen

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Exponentialfunktionen mit prozentualer Zu- oder Abnahme

Nimmt eine Größe G ausgehend vom Anfangswert G 0 pro Schritt um p % zu bzw. ab, so kann ihr Wert in Abhängigkeit von der Anzahl x der Schritte mit einer allgemeinen Exponentialfunktion beschrieben werden:
y = G x = G 0 * 1 + p 100 x bzw. y = G x = G 0 * 1 - p 100 x
In einem Land wächst die Bevölkerung jährlich um 2 % .
Derzeit leben 43 Mio. Menschen in diesem Land.
Das Bevölkerungswachstum kann beschrieben werden mit der Funktionsgleichung :
y = 43 * 1.02 x
Nach 3 Jahren ist die Bevölkerung auf etwa 46 Mio. angewachsen.
Allgemeine Exponentialfunktion:
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpAnw_1.jpg
In 3 Jahren:
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpAnw_2.jpg

Von der Verdopplungszeit zur Exponentialfunktion

Sind Anfangswert G 0 und Verdopplungszeit T einer Größe G gegeben, so beschreibt der Funktionsterm
G x = G 0 * 2 x T
den Wert der Größe G in Abhängigkeit von der Zeit x.
Eine Bakterienart vermehrt sich unter günstigen Bedingungen alle 40 Minuten durch Teilung. Das heißt, die Anzahl A der Bakterien verdoppelt sich in dieser Zeit.
Befinden sich anfangs 100 Bakterien in einer Petrischale, dann sind es nach 90 Minuten 476 Bakterien.
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpAnw_3.jpg

Von der Halbwertszeit zur Exponentialfunktion

Sind Anfangswert G 0 und Halbwertszeit T einer Größe G gegeben, so beschreibt der Funktionsterm
G x = G 0 * 1 2 x T
den Wert der Größe G in Abhängigkeit von der Zeit x.
Radioaktives Jod 131 hat eine Halb wertszeit von 8 Tagen.
Befinden sich in einer Probe anfangs 45 mg Jod 131, dann sind nach 3 Tagen noch etwa 35 mg enthalten.
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpAnw_4.jpg

Exponentialfunktion aus Wertepaaren modellieren

Kennst du von einer exponentiell wachsenden Größe die Werte y 1 und y 2 zu zwei verschiedenen Zeitpunkten x 1 und x 2 , dann kannst du eine allgemeine Exponentialfunktion der Form y = a * b x eindeutig finden, die dieses Wachstum beschreibt.
Um die Werte der Parameter a und b zu bestimmen, setzt du beide Wertepaare x 1 ; y 1 bzw. x 2 ; y 2 in die Funktionsgleichung ein und löst das dadurch entstandene Gleichungssystem .
Für die Wertepaare 0 ; 9 und 3 ; 72 ergibt sich die Funktion
y = 9 * 2 x
Gleichungssystem:
/wp-content/uploads/media/kem_ExpLog_ExpLogExpAnw_5.jpg
L = 9 ; 2

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