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Eigenschaften von Figuren

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In dieser Erklärung erfährst du, welche Eigenschaften spezielle geometrische Figuren haben, welche dieser Eigenschaften dir bei der Konstruktion von Figuren helfen können und wie die Symmetrieeigenschaften von Vierecken im „Haus der Vierecke“ für eine bestimmte „Ordnung“ sorgen.

Allgemeines Dreieck und die Winkelsumme

Ein Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B und C). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn.

Die Seiten werden entsprechend mit kleinen Buchstaben (zum Beispiel a, b und c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber und verbindet die Punkte B und C.

Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β und γ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ am Eckpunkt C. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt

180 ?

./wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_1.jpg

Winkelsumme: α + β + γ =

180 ?

Dreiecksarten und ihre Eigenschaften

Es gibt verschiedene Dreiecksarten. Du kannst diese nach der Größe ihrer Winkel und den Beziehungen ihrer Seitenlängen einteilen:

Winkelgröße: /wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_2.jpg

Seitenlänge: /wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_3.jpg

Die Begriffe Winkelgröße und Seitenlänge lässt sich auch kombinieren (zum Beispiel „gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck“).

In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel kleiner als

90 ?

.

Rechtwinkliges Dreieck

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_5.jpg

In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel rechtwinklig, also genau

90 ?

groß.

Rechte Winkel werden allgemein mit dem Symbol /wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_6.jpg bezeichnet.

Stumpfwinkliges Dreieck

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_7.jpg

In einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel stumpf, also größer als

90 ?

.

In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten (die beiden Schenkel) gleich lang. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel heißt Spitze. Die dritte Seite wird Basis genannt und die beiden an der Basis anliegenden Winkel sind die Basiswinkel.

Spezielle gleichschenklige Dreiecke

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_9.jpg

Gleichschenklig-spitzwinkliges Dreieck: zwei gleich lange Seiten und drei spitze Winkel (<

90 ?

).Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck: zwei gleich lange Seiten und ein rechter Winkel (

90 ?

).Gleichschenklig-stumpfwinkliges Dreieck: zwei gleich lange Seiten und ein stumpfer Winkel (>

90 ?

).

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleichgroß (

60 ?

).

Allgemeines Viereck und die Winkelsumme

Ein Viereck hat vier Eckpunkte, vier Seiten und vier Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Vierecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B, C und D). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn.

Die Seiten werden entsprechend mit kleinen Buchstaben (zum Beispiel a, b, c und d) beschriftet. Dabei verbindet die Seite a die Eckpunkte A und B.

Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β, γ und δ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B, γ am Eckpunkt C und δ am Eckpunkt D. Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt

360 ?

.

Winkelsumme: α + β + γ + δ =

360 ?

Eigenschaften eines Drachens

Ein Drachen ist ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer benachbarter Seiten.Weitere Eigenschaften eines Drachens im überblick:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_11.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_12.jpg

Konstruktion eines Drachens

So konstruierst du einen Drachen ABCD mit der Seite d =

3 cm

und den beiden Diagonalen e =

5 cm

und f =

7 cm

. Die Diagonale e wird halbiert.

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_13.jpg

Eigenschaften eines Trapezes

Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten.Gleichschenklig ist ein Trapez, wenn die beiden Schenkel, die die parallelen Seiten verbinden, gleich lang sind.

Weitere Eigenschaften eines Trapezes im überblick:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_14.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_15.jpg

Konstruktion eines gleichschenkligen Trapezes

So konstruierst du ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit den Seiten a =

8 cm

, d =

2 cm

und dem Winkel α =

60 ?

.

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_16.jpg

Eigenschaften von Parallelogramm und Raute

Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit je zwei Paar zueinander parallelen Seiten.Weitere Eigenschaften des Parallelogramms im überblick:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_17.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_18.jpgEine Raute oder auch Rhombus ist ein spezielles Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.Bei einer Raute stehen die beiden Diagonalen senkrecht aufeinander./wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_19.jpg

Konstruktion eines Parallelogramms

So konstruierst du ein Parallelogramm ABCD mit der Seite a =

5 cm

, der Diagonalen f =

4 cm

und dem Winkel α =

50 ?

.

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_20.jpg

Eigenschaften von Rechteck und Quadrat

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln.Weitere Eigenschaften des Rechtecks im überblick:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_21.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_22.jpg

Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck mit vier gleich langen Seiten. Die Diagonalen eines Quadrats stehen senkrecht aufeinander.

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_23.jpg

Konstruktion eines Quadrats

So konstruierst du schrittweise ein Quadrat mit dem Eckpunkt A(5|5) und dem Mittelpunkt M(10|10):

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_24.jpg

Haus der Vierecke

Das „Haus der Vierecke“ stellt die Beziehungen zwischen speziellen Vierecken dar.

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_25.jpg

Eigenschaften regelmäßiger n-Ecke

Ein n-Eck ist ein Vieleck mit n Ecken.Ein Vieleck oder n-Eck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleichgroß sind. Den Mittelpunktswinkel, den Innenwinkel und die Winkelsumme eines n-Ecks kannst du mit Hilfe von Formeln berechnen.

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_26.jpg

Mittelpunktswinkel eines n-Ecks:

δ n = 360 ? n

Innenwinkel eines n-Ecks:

α n = 180 ? - 360 ? n

Winkelsumme eines n-Ecks:

WS = 180 ? * n - 360 ?

Berechnung von Innenwinkel, Mittelpunktswinkel und Winkelsumme am Beispiel des regelmäßigen Fünfecks

Berechne den Innenwinkel α, den Mittelpunktswinkel δ und die Winkelsumme in einem regelmäßigen Fünfeck./wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_27.jpg

Mittelpunktswinkel berechnen
Den Mittelpunktswinkel δ berechnest du mit Hilfe der Formel für regelmäßige n-Ecke. Da es sich um ein Fünfeck handelt,setzt du n = 5 ein: /wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_28.jpg
δ = 72 ?

Innenwinkel berechnen
1. MöglichkeitDer Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks beträgt

72 ?

. Die beiden Basiswinkel sind demnach

1 2 180 ? - 72 ? = 54 ?

groß. Der Innenwinkel α eines Fünfecks ist doppelt so groß wie ein Basiswinkel des Dreiecks

54 ? * 2 = 108 ?

.

2. Möglichkeit Du berechnest den Innenwinkel α mit Hilfe der Formel für regelmäßige n-Ecke. Da es sich um ein Fünfeck handelt, setzt du n = 5 ein: /wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_29.jpg

δ = 108 ?

/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_30.jpg

Winkelsumme berechnen
Alle Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks sind gleich groß. Da es sich um ein Fünfeck handelt setzt du in die Formel n = 5 ein: /wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_31.jpg
WS = 540 ?

Achsensymmetrie von Figuren

Eine Figur, die entlang einer Geraden g auf sich selbst abgebildet werden kann, heißt achsensymmetrisch zur Geraden g. Die Gerade ist eine Symmetrieachse der Figur.

Im Haus der Vierecke sind Vierecke mit ihren Eigenschaften und ihren Beziehungen zueinander abgebildet./wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_32.jpg

Je spezieller ein Viereck im Haus der Vierecke ist, desto mehr Symmetrieachsen hat es.
Figuren mit einer Symmetrieachse/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_33.jpg
Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten zur Basis. Ein gleichschenkliges Trapez hat eine Symmetrieachse: die Mittelsenkrechte der beiden parallelen Seiten. Das abgebildete Fünfeck hat eine Symmetrieachse. Ein Drachen hat eine Symmetrieachse: eine der beiden Diagonalen.

Figuren mit mehreren Symmetrieachsen/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEvFi_34.jpg
Eine Raute hat zwei Symmetrieachsen: die beiden Diagonalen. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei Symmetrieachsen. Unter den Vierecken hat das Quadrat die meisten Symmetrieachsen: die beiden Diagonalen und die beiden Mittelsenkrechten. Ein regelmäßiges Sechseck hat sechs Symmetrieachsen.


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