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Eigenschaften, Oberflächen- und Volumenberechnung von Körpern

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In diesen Erklärungen erfährst du, welche Eigenschaften spezielle geometrische Körper haben, wie du ein Netz und ein Schrägbild eines Körpers zeichnen kannst.Weiter erfährst du, wie du die Oberfläche und das Volumen eines Prismas berechnen kannst.

Eigenschaften von Prisma und Zylinder

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper mit:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_1.jpg
Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper mit:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_2.jpg
HöheDie Höhen von Prisma und Zylinder entsprechen dem Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche.
Ecken, Kanten und FlächenDie Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen eines Prismas hängt von der Form der Grundfläche ab. Ein Zylinder hat keine Ecken, zwei Kanten und drei Flächen.
Schiefes und gerades Prisma
Du kannst zwei Typen von Prismen unterscheiden:Das gerade Prisma: Der Mantel steht senkrecht zur Grundfläche und besteht aus Rechtecken.Das schiefe Prisma: Der Mantel steht nicht senkrecht zur Grundfläche und besteht aus Rechtecken und/oder Parallelogrammen.
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_3.jpg
Die Grundfläche und die Deckfläche haben hier die Form eines Sechsecks. Sie sind parallel und gleichgroß.
Beim Quader und beim Würfel sind Grundfläche und Deckfläche parallel und gleichgroß. Quader und Würfel sind auch Prismen.
Schiefer und gerader Zylinder
Auch beim Zylinder kannst du zwei Typen unterscheiden: Den geraden Zylinder und den schiefen Zylinder.
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_5.jpg
Die Grundfläche und die Deckfläche haben die Form eines Kreises. Sie sind parallel und gleichgroß.
Anzahl der Ecken, Kanten, Flächen eines dreiseitigen Prismas
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Dieses Prisma hat sechs Ecken, neun Kanten und fünf Flächen.

Eigenschaften von Pyramide und Kegel

Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_7.jpg
Ein Kegel ist ein geometrischer Körper mit:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_8.jpg
HöheDie Pyramide und der Kegel haben jeweils eine Höhe. Sie entspricht dem Abstand zwischen der Grundfläche und der Spitze.
Ecken, Kanten und FlächenDie Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen eine Pyramide hängt von der Form der Grundfläche ab. Ein Kegel hat zwei Flächen, eine Kante und keine Ecken.
Pyramide
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_9.jpg
Kegel
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_10.jpg
Anzahl der Ecken, Kanten, Flächen einer fünfseitigen Pyramide
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_11.jpg
Diese Pyramide hat sechs Ecken, zehn Kanten und sechs Flächen.

Eigenschaften der Kugel

Eine Kugel ist der geometrische Körper, den du erhältst, wenn du einen Kreis um seinen Durchmesser rotieren lässt.Die Kugel hat einen Mittelpunkt.
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_12.jpg
Abstand Mittelpunkt - Oberfläche
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Der Abstand vom Mittelpunkt ist für jeden Punkt der Kugeloberfläche gleich und wird Kugelradius genannt.

Netz eines Körpers

Um ein Netz darzustellen, stelle dir vor, du würdest einen Körper entlang seiner Kanten öffnen und seine aufgeklappten Flächen in eine Ebene legen.Das Netz eines Körpers besteht also aus so vielen Flächenstücken, wie der Körper Flächen hat.
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_14.jpg
Wenn du das Netz eines Körpers faltest, bilden die Seiten der Flächen die Kanten des Körpers. Also müssen zwei beim Zusammenfalten aufeinandertreffende Seiten gleich lang sein.Häufig kann man von einem Körper mehrere verschiedene Netz abbilden.
Netz eines geraden dreiseitigen Prismas
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Dieses gerade Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche besteht aus zwei Dreiecken (Grund- und Deckfläche) und drei Rechtecken (den Flächen des Mantels). Beim Körper und beim Netz sind gleiche Längen gleichfarbig gekennzeichnet.
Mehrere Netze einer Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_16.jpg
Der Mantel einer geraden Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche setzt sich aus vier Dreiecken zusammen.Es gibt für die quadratische Pyramiden verschiedene Netze.
Netz eines geraden Zylinders mit Höhe 8 cm und Durchmesser 3 cm
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_17.jpg
Ein Zylinder setzt sich aus zwei Kreisen (Grund- und Deckfläche) und einem Rechteck (abgerollte Mantelfläche) zusammen. Eine Seite des Rechtecks ist genauso lang wie der Umfang des Kreises, die andere Seite ist genauso lang wie die Höhe des geraden Zylinders.
Netz eines Kegels
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_18.jpg
Ein Kegel setzt sich aus einem Kreis (Grundfläche) und einem Kreisausschnitt (abgerollte Mantelfläche) zusammen.

Schrägbild

Einen Körper kannst du räumlich zeichnen. Eine solche Zeichnung nennt man Schrägbild. Beim Schrägbild sind folgende Regeln zu beachten:
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_19.jpg
Schrägbilder eines Prismas, einer Pyramide, eines Zylinder und eines Kegels
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_20.jpg
Die Position der gestrichelten Linien ist wichtig.
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_21.jpg/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_22.jpg
Bei der Figur links kannst du zwei Flächen des Mantels deutlich sehen, die dritte ist verdeckt.Bei der Figur rechts kannst du nur eine Seite des Mantels deutlich sehen, zwei Seiten sind verdeckt.
Kavalierperspektive eines Prismas
Bei einer Kavalierperspektive werden die Kanten, die senkrecht in die Tiefe verlaufen, um die Hälfte gekürzt und in einem Winkel von 45 ? dargestellt.
So zeichnest du ein Prisma in Kavalierperspektive.
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_23.jpg

Oberfläche eines Prismas

Die Oberfläche eines Körpers kannst du berechnen, indem du den Flächeninhalt aller Flächen des Körpers addierst.Beim Prisma sind die Grundfläche und die Deckfläche deckungsgleich. Daher sind ihre Flächeninhalte identisch. Für die Oberfläche eines Prismas addierst du das Doppelte des Flächeninhalts der Grundfläche A G und den Flächeninhalt des Mantels A M .
O = 2 * A G + A M
Oberfläche Prisma: O = 2 * A G + A M
Das Netz des Prismas kann dir helfen, die Oberfläche zu berechnen.
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_24.jpg
Der Flächeninhalt des Netzes ist gleich der Oberfläche des Prismas.
Oberfläche eines Prismas berechnen
Berechne die Oberfläche des geraden dreiseitigen Prismas/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_25.jpg
Flächeninhalt der Grundfläche A G berechnen
Die Grundfläche des Prismas hat die Form eines Dreiecks. Die Formel zur Flächeninhaltsberechnung lautet: A G = 1 2 g * h , wobei g eine Grundseite des Dreiecks bezeichnet und h die zugehörige Höhe.Du setzt die Werte in die Formel ein ( g = 115 cm und h = 24 cm ):
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_26.jpg
A G = 1380 cm 2
Flächeninhalt des Mantels A M berechnen
Der Mantel des Prismas besteht aus drei Rechtecken, deren Maße jeweils 74 cm mal 100 cm , 51 cm mal 100 cm , und 115 cm mal 100 cm betragen.Der Flächeninhalt des Mantels A M beträgt also:
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_27.jpg
A M = 24000 cm 2
Oberfläche O des Prismas berechnen
Die Formel zur Oberflächenberechnung eines Prismas lautet: O = 2 * A G + A M Du setzt die Werte in die Formel ein ( A G = 1380 cm 2 und A M = 24000 cm 2 ):
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_28.jpg
O = 26760 cm 2
Oberfläche eines Prismas berechnen
Berechne die Oberfläche des geraden fünfseitigen Prismas. Die Grundfläche lässt sich in ein Quadrat und ein Trapez zerlegen./wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_29.jpg
Flächeninhalt der Grundfläche A G berechnen
Die Grundfläche des Prismas lässt sich in ein Quadrat und in ein Trapez zerlegen.
Der Flächeninhalt des Quadrats A Q beträgt:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_30.jpg
Der Flächeninhalt des Trapezes A T beträgt:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_31.jpg
Der Flächeninhalt der Grundfläche A G beträgt also:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_32.jpg
A G = 249 cm 2
Flächeninhalt des Mantels A M berechnen
Der Mantel des Prismas besteht aus fünf Rechtecken, deren Maße jeweils 12 cm mal 30 cm , 12 cm mal 30 cm , 10 cm mal 30 cm , 18 cm mal 30 cm und 19 cm mal 30 cm betragen.Der Flächeninhalt des Mantels A M beträgt also:
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_33.jpg
A M = 2130 cm 2
Oberfläche O des Prismas berechnen
Die Formel zur Oberflächenberechnung eines Prismas lautet: O = 2 * A G + A M Du setzt die Werte in die Formel ein ( A G = 249 cm 2 und A M = 2130 cm 2 ):
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_34.jpg
O = 2628 cm 2

Rauminhalt eines Prismas

Das Volumen eines Prismas berechnest du, indem du den Flächeninhalt der Grundfläche A G mit der Höhe h des Prismas, d. h. dem Abstand von Grund- und Deckfläche, multiplizierst.
V = A G * h
Volumen des Prismas: V = A G * h
Volumen von Quader und Würfel
Aus der Formel zur Volumenberechnung eines Prismas kannst du die Formel für den Quader und den Würfel ableiten.
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_35.jpg
Die Formel zur Volumenberechnung eines Prismas lautet: V = A G * h
Beim Quader erhältst du:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_36.jpg
Beim Würfel erhältst du:/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_37.jpg
Volumen eines Prismas berechnen
Berechne das Volumen des Prismas mit einem Parallelogramm als Grundfläche./wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_38.jpg
Flächeninhalt der Grundfläche A G berechnen
Die Grundfläche des Prismas hat die Form eines Parallelogramms (mit der Grundseite g = 70 cm und der Höhe h g = 30 cm ).Du setzt die Werte in die Formel zur Flächenberechnung eines Parallelogramms ein:
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_39.jpg
A G = 2100 cm 2
Volumen des Prismas berechnen
Die Formel zur Volumenberechnung eines Prismas lautet: V = A G * h
Du setzt die Werte in die Formel ein ( A G = 2100 cm 2 und h = 50 cm )
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_40.jpg
V = 105000 cm 3
Volumen eines Prismas mit einem regelmäßigen Fünfeck als Grundfläche berechnen
Berechne das Volumen des Prismas./wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_41.jpg
Flächeninhalt der Grundfläche A G berechnen
Die Grundfläche hat die Form eines Fünfecks, das sich in fünf gleichgroße Dreiecke zerlegen lässt.Du kennst die Länge g D der Grundseite ( 15 cm ) und die zugehörige Höhe h D ( 10.3 cm ) eines Dreiecks. Daher kannst du den Flächeninhalt A D eines Dreiecks (in cm?) berechnen:
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_42.jpg
Um den Flächeninhalt A G des Fünfecks zu berechnen, multiplizierst du den Flächeninhalt eines Dreiecks ( 77.25 cm 2 ) mit 5:
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_43.jpg
A G = 330 cm 2
Volumen des Prismas berechnen
Die Formel zur Volumenberechnung eines Prismas lautet: V = A G * h
Du setzt die Werte in die Formel ein ( A G = 386.25 cm 2 und h = 20 cm )
/wp-content/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_44.jpg
V = 7725 cm 3

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