Eigenschaften von Dreiecken

Jedes Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B und C). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn.Die Seiten werden mit kleinen Buchstaben (zum Beispiel a, b und c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber und verbindet die Punkte B und C. Nach dem gleichen Prinzip werden die beiden anderen Seiten beschriftet.Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β und γ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ am Eckpunkt C.Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180°$.

Es gibt verschiedene Dreiecksarten. Du kannst diese nach der Größe ihrer Winkel und nach der Länge ihrer Seiten einteilen:Winkelgröße:Seitenlänge:Winkelgröße und Seitenlänge lassen sich auch kombinieren, wobei die Seitenlänge immer zuerst genannt wird (zum Beispiel „gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck“).

Eine Figur, die an einer Geraden g auf sich selbst gespiegelt werden kann, heißt achsensymmetrisch zur Geraden g. Diese Gerade heißt Symmetrieachse.

Im Dreieck gibt es spezielle Linien, auch Transversalen genannt, die den Eckpunkten oder Seiten des Dreiecks zugeordnet sind:- Höhe- Mittelsenkrechte- Seitenhalbierende- WinkelhalbierendeJede Höhe eines Dreiecks ist eine Strecke, geht durch einen Eckpunkt und steht senkrecht auf der gegenüberliegenden Dreiecksseite oder deren Verlängerung.Höhen sind wichtig für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks.

Jede Mittelsenkrechte eines Dreiecks ist eine Gerade und verläuft senkrecht durch den Mittelpunkt einer der Dreiecksseiten.

Jede Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke und verbindet einen Eckpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

Jede Winkelhalbierende eines Dreiecks ist eine Halbgerade und teilt den dazugehörigen Winkel in zwei gleich große Winkel.

Den Umfang U eines Dreiecks berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst. Werden die Seitenlängen eines Dreiecks mit a, b und c bezeichnet, dann berechnest du den Umfang mit folgender Formel: $\text{U}=\text{a}+\text{b}+\text{c}$

Den Flächeninhalt eines Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Länge der Grundseite g mit der zugehörigen Höhe h multiplizierst und das Produkt durch 2 dividierst: $\text{A}=\frac{1}{2}\text{g}·\text{h}$ Da es drei verschiedene Grundseiten und die jeweiligen zugehörigen Höhen im Dreieck gibt, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten den Flächeninhalt zu berechnen: $\text{A}=\frac{1}{2}\text{a}·{\text{h}}_{\text{a}}$, wobei a die Länge einer Seite und ${\text{h}}_{\text{a}}$ die zugehörige Höhe bezeichnet. $\text{A}=\frac{1}{2}\text{b}·{\text{h}}_{\text{b}}$, wobei b die Länge einer Seite und ${\text{h}}_{\text{b}}$ die zugehörige Höhe bezeichnet. $\text{A}=\frac{1}{2}\text{c}·{\text{h}}_{\text{c}}$, wobei c die Länge einer Seite und ${\text{h}}_{\text{c}}$ die zugehörige Höhe bezeichnet.Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, multiplizierst: $\text{A}=\frac{1}{2}\text{a}·\text{b}$, wobei a und b die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, bezeichnen.

Woher kommt die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines Dreiecks?Wenn du zwei identische Dreiecke wie im Bild anlegst, erhältst du ein Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gleich der Hälfte des Flächeninhalts des erhaltenen Parallelogramms.Woher kommt die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines rechtwinkligen Dreiecks?Wenn du zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke wie im Bild anlegst, erhältst du ein Rechteck mit Länge a und Breite b. Daher ist der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks.

Die Dreiecksungleichung besagt:In jedem Dreieck ist eine Seitenlänge immer kleiner als die Summe der beiden anderen Seitenlängen.Mit Hilfe der Dreiecksungleichung kannst du überprüfen, ob ein Dreieck konstruierbar ist. Umgekehrt gilt, dass jedes Dreieck die Dreiecksungleichung erfüllt.