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Eigenschaften von Dreiecken

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In diesen Erklärungen erfährst du, welche Dreiecke es gibt, welche Eigenschaften sie haben und welche speziellen Linien im Dreieck existieren. Weiter erfährst du, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen kannst.

Allgemeines Dreieck und seine Winkelsumme

Jedes Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B und C). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn.Die Seiten werden mit kleinen Buchstaben (zum Beispiel a, b und c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber und verbindet die Punkte B und C. Nach dem gleichen Prinzip werden die beiden anderen Seiten beschriftet.Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β und γ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ am Eckpunkt C.Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 ? ./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_1.jpg
Winkelsumme: α + β + γ = 180 ?
Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180 ? : α + β + γ = 180 ? Du berechnest den gesuchten Winkel γ:/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_3.jpg

Dreiecksarten und ihre Eigenschaften

Es gibt verschiedene Dreiecksarten. Du kannst diese nach der Größe ihrer Winkel und nach der Länge ihrer Seiten einteilen:Winkelgröße:/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_4.jpgSeitenlänge:/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_5.jpgWinkelgröße und Seitenlänge lassen sich auch kombinieren, wobei die Seitenlänge immer zuerst genannt wird (zum Beispiel „gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck“).
Spitzwinkliges DreieckIn einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel kleiner als 90 ? ./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_6.jpg
Rechtwinkliges DreieckIn einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel genau 90 ? groß./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_7.jpg
Stumpfwinkliges DreieckIn einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als 90 ? ./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_8.jpg
Gleichschenkliges DreieckIn einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten (die beiden Schenkel) gleich lang. Der Schnittpunkt der beiden Seiten heißt Spitze. Die dritte Seite wird Basis genannt, und die beiden an der Basis anliegenden Winkel sind die Basiswinkel./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_9.jpg
Spezielle gleichschenklige Dreiecke/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_10.jpg
Gleichschenklig-spitzwinkliges Dreieck: zwei gleich lange Seiten und drei spitze Winkel (< 90 ? ).Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck: zwei gleich lange Seiten und ein rechter Winkel ( 90 ? ).Gleichschenklig-stumpfwinkliges Dreieck: zwei gleich lange Seiten und ein stumpfer Winkel (> 90 ? ).
Gleichseitiges DreieckIn einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleichgroß ( 60 ? )./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_11.jpg

Achsensymmetrie bei Dreiecken

Eine Figur, die an einer Geraden g auf sich selbst gespiegelt werden kann, heißt achsensymmetrisch zur Geraden g. Diese Gerade heißt Symmetrieachse.
Gleichschenkliges Dreieck/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_12.jpg
Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten seiner Basis.
Gleichseitiges Dreieck/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_13.jpg
Ein gleichseitiges Dreieck ist achsensymmetrisch bezüglich jeder seiner drei Mittelsenkrechten.

Spezielle Linien im Dreieck

Im Dreieck gibt es spezielle Linien, auch Transversalen genannt, die den Eckpunkten oder Seiten des Dreiecks zugeordnet sind:- Höhe- Mittelsenkrechte- Seitenhalbierende- WinkelhalbierendeJede Höhe eines Dreiecks ist eine Strecke, geht durch einen Eckpunkt und steht senkrecht auf der gegenüberliegenden Dreiecksseite oder deren Verlängerung.Höhen sind wichtig für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_14.jpg
Die Höhe h a steht senkrecht auf der Seite a, die Höhe h b steht senkrecht auf der Seite b und die Höhe h c steht senkrecht auf der Seite c. Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Jede Mittelsenkrechte eines Dreiecks ist eine Gerade und verläuft senkrecht durch den Mittelpunkt einer der Dreiecksseiten./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_15.jpg
Die drei Mittelsenkrechten im Dreieck schneiden sich in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt.
Jede Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke und verbindet einen Eckpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_16.jpg
Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem so genannten Schwerpunkt des Dreiecks.
Jede Winkelhalbierende eines Dreiecks ist eine Halbgerade und teilt den dazugehörigen Winkel in zwei gleich große Winkel./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_17.jpg
Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt.
Höhen in einem stumpfwinkligen Dreieck/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_18.jpg
Höhen können außerhalb eines Dreiecks liegen. Die Verlängerung aller drei Höhen ergibt in diesem Fall einen Schnittpunkt außerhalb des Dreiecks.
Mittelsenkrechten in einem stumpfwinkligen Dreieck/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_19.jpg
In stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten außerhalb des Dreiecks.
Spezielle Linien im gleichseitigen Dreieck/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_20.jpg
In gleichseitigen Dreiecken liegen die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Seitenhalbierenden und die Winkelhalbierenden bezüglich einer Seite jeweils aufeinander. Daher fallen in einem gleichseitigen Dreieck die Schnittpunkte dieser Linien in einem Punkt zusammen.

Umfang und Flächeninhalt eines Dreiecks

Den Umfang U eines Dreiecks berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst. Werden die Seitenlängen eines Dreiecks mit a, b und c bezeichnet, dann berechnest du den Umfang mit folgender Formel: U = a + b + c /wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_21.jpg
Den Flächeninhalt eines Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Länge der Grundseite g mit der zugehörigen Höhe h multiplizierst und das Produkt durch 2 dividierst: A = 1 2 g * h Da es drei verschiedene Grundseiten und die jeweiligen zugehörigen Höhen im Dreieck gibt, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten den Flächeninhalt zu berechnen: A = 1 2 a * h a , wobei a die Länge einer Seite und h a die zugehörige Höhe bezeichnet. A = 1 2 b * h b , wobei b die Länge einer Seite und h b die zugehörige Höhe bezeichnet. A = 1 2 c * h c , wobei c die Länge einer Seite und h c die zugehörige Höhe bezeichnet.Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, multiplizierst: A = 1 2 a * b , wobei a und b die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, bezeichnen.
Umfang eines Dreiecks: U = a + b + c
Flächeninhalt eines Dreiecks: A = 1 2 a * h a = 1 2 b * h b = 1 2 c * h c
Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieck: A = 1 2 a * b
Woher kommt die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines Dreiecks?/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_22.jpgWenn du zwei identische Dreiecke wie im Bild anlegst, erhältst du ein Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gleich der Hälfte des Flächeninhalts des erhaltenen Parallelogramms.Woher kommt die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines rechtwinkligen Dreiecks?/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_23.jpgWenn du zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke wie im Bild anlegst, erhältst du ein Rechteck mit Länge a und Breite b. Daher ist der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks.
Flächeninhalt eines DreiecksBerechne den Flächeninhalt des Dreiecks./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_24.jpg
Flächeninhalt berechnen
Die Längen haben dieselbe Einheit. Du setzt die Werte in die Formel ein und erhältst so den Flächeninhalt des Dreiecks:/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_25.jpg
A = 3026 cm 2
Flächeninhalt eines rechtwinkligen DreiecksBerechne den Flächeninhalt des Dreiecks./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_26.jpg
Flächeninhalt berechnen
Die Längen haben dieselbe Einheit. Du setzt die Werte in die Formel ein und erhältst so den Flächeninhalt des Dreiecks:/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_27.jpgDer Flächeninhalt beträgt 403 cm 2 .
A = 403 cm 2
Berechnung einer Seitenlänge im DreieckVon einem Dreieck sind der Umfang U = 19 cm und zwei Seitenlängen a = 6 cm und b = 3 cm gegeben. Berechne die Länge der dritten Seite c.
Seitenlänge berechnen
Die Formel zur Umfangsberechnung für ein Dreieck lautet: U = a + b + cDu stellst die Formel nach c um und setzt die bereits bekannten Werte ein:c = U - a - bc = 19 cm - 6 cm - 3 cm c = 10 cm
c = 10 cm
Berechnung einer Höhe im DreieckVon einem Dreieck sind der Flächeninhalt A = 42 m 2 und die Seitenlänge a = 12 m gegeben. Berechne die zugehörige Höhe.
Höhe berechnen
Du kennst den Flächeninhalt A ( 42 m 2 ) und die Seitenlänge a ( 12 m ). Die Länge der Höhe h a kannst duanhand der Formel A = 1 2 a * h a ableiten. Zuerst stellst du die Formel nach h a um. h a = 2 * A a Dann setzt du die bereits bekannten Werte ein und errechnest die Höhe in m. 2 * 42 12 = 7 Die Länge der Höhe h a beträgt 7 m .
h a = 7 m

Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung besagt:In jedem Dreieck ist eine Seitenlänge immer kleiner als die Summe der beiden anderen Seitenlängen.Mit Hilfe der Dreiecksungleichung kannst du überprüfen, ob ein Dreieck konstruierbar ist. Umgekehrt gilt, dass jedes Dreieck die Dreiecksungleichung erfüllt.
Beispiel für ein konstruierbares Dreieck Mit den Seitenlängen a = 4.5 cm , b = 6 cm und c = 7.5 cm ist ein Dreieck konstruierbar.
überprüfe:a + b > c: 4,5 + 6 = 10,5 > 7,5 wahra + c > b: 4,5 + 7,5 = 12 > 6 wahrb + c > a: 6 + 7,5 = 13,5 > 4,5 wahrAlle Ungleichungen sind wahr, also kann man dieses Dreieck konstruieren.
Beispiel für ein nicht konstruierbares DreieckMit den Seitenlängen a = 3 cm , b = 5 cm und c = 10 cm ist kein Dreieck konstruierbar./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIIDreiEvDrei_28.jpg
überprüfe:a + b > c: 3 + 5 = 8 > 10 falscha + c > b: 3 + 10 = 13 > 5 wahrb + c > a: 5 + 10 = 15 > 3 wahrDie erste Ungleichung ist nicht erfüllt, daher lässt sich kein Dreieck mit den Seitenlängena = 3 cm , b = 5 cm und c = 10 cm konstruieren.Dies siehst du auch im Bild:Die Hilfskreise mit den Radien a und b schneiden sich nicht.

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