Besondere Linien im Dreieck

Die Mittelsenkrechten sind Geraden. Sie stehen senkrecht auf den Dreiecksseiten und verlaufen durch deren Mittelpunkte.Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks: Denn jeder Punkt einer Mittelsenkrechten hat von den Endpunkten der zugehörigen Dreiecksseite jeweils den gleichen Abstand, also hat der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von allen drei Eckpunkten den gleichen Abstand.Insbesondere gibt es zu jedem Dreieck genau einen Kreis, der durch die drei Eckpunkte verläuft, den Umkreis des Dreiecks.Der Radius des Umkreises entspricht also den Strecken $\stackrel{\_}{{\text{M}}_{\text{U}}\text{A}}=\stackrel{\_}{{\text{M}}_{\text{U}}\text{B}}=\stackrel{\_}{{\text{M}}_{\text{U}}\text{C}}$.

Die Winkelhalbierenden sind Halbgeraden. Sie beginnen im Eckpunkt und halbieren jeweils den Winkel, der an dem Eckpunkt anliegt.Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt innerhalb des Dreiecks. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks: Denn jeder Punkt einer Winkelhalbierenden hat von den Seiten, die die Schenkel des Winkels sind, jeweils den gleichen Abstand. Also hat der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.Der Inkreis berührt die drei Seiten jeweils in einem Punkt. Die Dreiecksseiten sind also Tangenten des Inkreises. Der Radius des Inkreises steht an den Berührungspunkten senkrecht auf den Dreiecksseiten.Insbesondere gibt es zu jedem Dreieck genau einen Kreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und alle drei Seiten berührt: Den Inkreis des Dreiecks.

Jedes Dreieck hat auch drei Ankreise, die jeweils eine Seite und die Verlängerungen der anderen beiden Seiten in jeweils einem Punkt berühren.Den Mittelpunkt des Ankreises der Seite c findest du, indem du die Winkelhalbierenden des Winkels $\gamma$und die der Außenwinkel in den Punkten A und B konstruierst. Diese schneiden sich im Mittelpunkt des Ankreises.

Die Höhen sind Strecken. Sie stehen senkrecht auf den Dreiecksseiten und enden im jeweils gegenüberliegenden Eckpunkt. Die drei Höhen oder deren Verlängerungen schneiden sich in einem Punkt. Die drei Höhenfußpunkte in einem spitzwinkligen Dreieck kannst du zum Höhenfußpunktdreieck verbinden. In diesem Höhenfußpunktdreieck sind die Höhen des ursprünglichen Dreiecks dann die Winkelhalbierenden.Der Schnittpunkt der Höhen ist in einem spitzwinkligen Dreieck also der Mittelpunkt des Inkreises des Höhenfußpunktdreiecks.

Die Seitenhalbierenden sind die Verbindungsstrecken zwischen den Eckpunkten und dem Seitenmittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich immer in einem Punkt innerhalb des Dreiecks, dem Schwerpunkt des Dreiecks. Deshalb werden die Seitenhalbierenden auch Schwerelinien genannt.Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, die Strecke $\stackrel{\_}{\text{SC}}$ ist also doppelt so lang wie die Strecke $\stackrel{\_}{\text{S}{\text{M}}_{\text{c}}}$. Würdest du ein dreieckiges Brett am Schwerpunkt aufhängen, so würde es waagerecht zum Boden „schweben“.Die Seiten des Seitenmittendreiecks ${\text{M}}_{\text{a}}$ ${\text{M}}_{\text{b}}$ ${\text{M}}_{\text{c}}$sind parallel zu den Dreiecksseiten des Dreiecks $\text{ABC}$.Die Dreiecke $\text{A}{\text{M}}_{\text{c}}$ ${\text{M}}_{\text{b}}$, $\text{B}{\text{M}}_{\text{a}}$ ${\text{M}}_{\text{c}}$, $\text{C}{\text{M}}_{\text{b}}$ ${\text{M}}_{\text{a}}$ und ${\text{M}}_{\text{a}}$ ${\text{M}}_{\text{b}}$ ${\text{M}}_{\text{c}}$sind kongruent.Die Seitenhalbierenden des Dreiecks $\text{ABC}$ schneiden die Seiten des Seitenmittendreiecks auch in ihren Mittelpunkten, die Seitenhalbierenden des Dreiecks $\text{ABC}$ sind also auch die Seitenhalbierenden des Dreiecks ${\text{M}}_{\text{a}}$ ${\text{M}}_{\text{b}}$ ${\text{M}}_{\text{c}}$. Deshalb sind die Schwerpunkte der Dreiecke $\text{ABC}$ und ${\text{M}}_{\text{a}}$ ${\text{M}}_{\text{b}}$ ${\text{M}}_{\text{c}}$identisch.