Flächeninhaltsberechnung am Kreis

Mit Hilfe der Formel für den Umfang des Kreises U = 2 π r kannst du eine Formel für den Flächeninhalt des Kreises herleiten. Aus den Kreisteilen lässt sich ein angenähertes Rechteck legen. Dieses Rechteck ist so breit wie der Radius des Kreises ( $r$) und so lang wie die Hälfte des Umfangs des Kreises $\frac{U}{2}$. Den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmst du, indem du Breite und Länge des Rechtecks miteinander multiplizierst:   $A_{\text{R}}=r·\frac{U}{2}$. Um $U$in dieser Gleichung zu ersetzen, nutzt du die Formel für den Umfang eines Kreises: $U=2\pi r$, also $A_{\text{R}}=r·\frac{2\pi r}{2}=\pi r^2$. Da das Rechteck aus den Kreisteilen zusammengesetzt ist, hat der Kreis annähernd den gleichen Flächeninhalt: $A_{\text{K}}=\pi r^2$

Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises kannst du unterschiedlich nutzen. Wenn du zu gegebenem Radius $r$den $\text{Flächeninhalt}A\text{berechnen}$möchtest, setzt du den Wert für den Radius in die Formel ein und berechnest den Flächeninhalt. Wenn du zu gegebenem Flächeninhalt $A$den $\text{Radius}r\text{berechnen}$möchtest, stellst du die Formel nach $r$um und setzt den Wert für $A$in die umgestellte Formel ein: $A=\pi r^2$ $r^2=\frac{A}{\pi }$ $r=\sqrt{\frac{A}{\pi }}$

Eine kreisförmige Fläche entsteht oft durch ein rotierendes Objekt, zum Beispiel einen Wassersprenger. Hier ist es interessant zu wissen, wie groß die Fläche ist, die bewässert wird. Um das Volumen bestimmter Körper (zum Beispiel Zylinder und Kegel) mit kreisförmiger Grundfläche berechnen zu können, benötigst du den Flächeninhalt dieser Grundfläche. Statt des Radius ist in diesen Fällen meist der Durchmesser gegeben, da sich dieser leichter messen lässt.

Ein Kreisring entsteht, wenn von einer Kreisfläche eine zweite kleinere Kreisfläche subtrahiert wird. Dabei gibt es zwei Fälle: 1) Beide Kreise haben den gleichen Mittelpunkt, sie sind konzentrisch. 2) Die Kreise haben verschiedene Mittelpunkte. Der Mittelpunkt des kleineren Kreises liegt im Inneren des größeren Kreises.