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Flächeninhaltsberechnung am Kreis

bettermarks > Mathe-Portal > Flächeninhaltsberechnung am Kreis

Hier erfährst du, wie du den Flächeninhalt von Kreisen und Kreisringen berechnen kannst.

Kreisfläche
Mit der Flächeninhaltsformel rechnen
Kreisfläche in Sachzusammenhängen
Kreisring

Kreisfläche

Mit Hilfe der Formel für den Umfang des Kreises U = 2 π r kannst du eine Formel für den Flächeninhalt des Kreises herleiten.

Aus den Kreisteilen lässt sich ein angenähertes Rechteck legen. Dieses Rechteck ist so breit wie der Radius des Kreises (

r

) und so lang wie die Hälfte des Umfangs des Kreises

\frac{U}{2}

.

Den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmst du, indem du Breite und Länge des Rechtecks miteinander multiplizierst:

A_{R} = r * \frac{U}{2}

.

Um

U

in dieser Gleichung zu ersetzen, nutzt du die Formel für den Umfang eines Kreises:

U = 2 π r

, also

A_{R} = r * \frac{2 π r}{2} = π r^{2}

.

Da das Rechteck aus den Kreisteilen zusammengesetzt ist, hat der Kreis annähernd den gleichen Flächeninhalt:

A_{K} = π r^{2}

Für den

Flächeninhalt A eines Kreises

mit dem Radius

r

gilt:

A = π r^{2}

.

Mit der Flächeninhaltsformel rechnen

Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises kannst du unterschiedlich nutzen.

Wenn du zu gegebenem Radius

r

den

Flächeninhalt A berechnen

möchtest, setzt du den Wert für den Radius in die Formel ein und berechnest den Flächeninhalt.

Wenn du zu gegebenem Flächeninhalt

A

den

Radius r berechnen

möchtest, stellst du die Formel nach

r

um und setzt den Wert für

A

in die umgestellte Formel ein:

A = π r^{2}

r^{2} = \frac{A}{π}

r = \sqrt{\frac{A}{π}}

Berechne den Flächeninhalt des Kreises.

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3KrFlae_3.jpg

Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma genau an.

Flächeninhalt berechnen

Du setzt den Radius

r = 4.8 cm

in die Formel für die Kreisfläche ein:

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3KrFlae_4.jpg

Das Endergebnis rundest du auf die geforderte Anzahl an Stellen nach dem Komma:

A

≈ 72,38

Achtung:In dieser Rechnung wurde für

π

der

π

-Wert des Taschenrechners genutzt. Rechnest du mit dem Näherungswert

3.14

für

π

, dann weicht dein Ergebnis etwas ab:

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3KrFlae_5.jpg

Der Kreis hat einen Flächeninhalt von etwa

72.38 {cm}^{2}

.

Berechne den Radius des Kreises. Der Kreis hat einen Flächeninhalt von

102 m^{2}

.

Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma genau an.

Radius berechnen

Du stellst die Formel für den Flächeninhalt nach r um:

A = π r^{2}

r^{2} = \frac{A}{π}

r = \sqrt{\frac{A}{π}}

Dann setzt du 102 für

A

in die umgestellte Formel ein:

r = \sqrt{\frac{102}{π}}

Führe die Division durch

π

und das Wurzelziehen durch, ohne zwischendurch zu runden:

r = 5.6980 ...

Das Ergebnis rundest du auf die geforderte Anzahl an Stellen nach dem Komma:

r

≈

5.70

Der Kreis hat einen Radius von etwa

5.70 m

.

Kreisfläche in Sachzusammenhängen

Eine kreisförmige Fläche entsteht oft durch ein rotierendes Objekt, zum Beispiel einen Wassersprenger. Hier ist es interessant zu wissen, wie groß die Fläche ist, die bewässert wird.

Um das Volumen bestimmter Körper (zum Beispiel Zylinder und Kegel) mit kreisförmiger Grundfläche berechnen zu können, benötigst du den Flächeninhalt dieser Grundfläche. Statt des Radius ist in diesen Fällen meist der Durchmesser gegeben, da sich dieser leichter messen lässt.

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3KrFlae_8.jpg

Der Meistergrill

5000

hat einen runden Grillrost mit einem Durchmesser von

60

cm. Ein Würstchen benötigt etwa

42

cm? Platz.

Wie viele Würstchen passen nebeneinander auf den Grillrost, wenn man die Fläche optimal ausnutzt?

Flächeninhalt des Grillrostes in cm" berechnen:

Der Radius (in cm) ist halb so groß wie der Durchmesser:

r = \frac{d}{2} = \frac{60}{2} = 30

Du setzt den Radius

r

=

30 cm

in die Formel für den Flächeninhalt ein:

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3KrFlae_9.jpg

Das Ergebnis rundest du auf ganze Quadratzentimeter:

A

≈

2827

Anzahl der Würstchen berechnen:

Du dividierst den Flächeninhalt des Grillrosts A = 2827 cm? durch den Platzbedarf pro Würstchen 42 cm? :

\frac{2827}{42}

≈ 67,3

Auf den Grillrost passen bis zu 67 Würstchen.

Kreisring

Ein Kreisring entsteht, wenn von einer Kreisfläche eine zweite kleinere Kreisfläche subtrahiert wird.

Dabei gibt es zwei Fälle:

1) Beide Kreise haben den gleichen Mittelpunkt, sie sind konzentrisch.

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3KrFlae_10.jpg

2) Die Kreise haben verschiedene Mittelpunkte. Der Mittelpunkt des kleineren Kreises liegt im Inneren des größeren Kreises.

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3KrFlae_11.jpg

Den Flächeninhalt eines Kreisrings berechnest du, indem du den Inhalt der kleineren Kreisfläche von dem der größeren Kreisfläche subtrahierst.

Wie groß ist der Flächeninhalt des Kreisrings?

Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma genau an.

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3KrFlae_12.jpg

Du berechnest zunächst die Flächeninhalte beider Kreise und subtrahierst dann den Inhalt der kleineren Kreisfläche von dem der größeren Kreisfläche.

Flächeninhalt des äußeren Kreises A_{a} in cm?:

Du setzt 40 für

r

in die Flächeninhaltsformel ein.

Das Ergebnis rundest du auf die geforderte Anzahl an Stellen nach dem Komma:

A_{a}

≈

5026.55

cm?

Flächeninhalt des inneren Kreises A_{i} in cm?:

Du setzt 12,3 für

r

in die Flächeninhaltsformel ein.

Das Ergebnis rundest du auf die geforderte Anzahl an Stellen nach dem Komma:

A_{i}

≈

475.29 {cm}^{2}

Flächeninhalt des Kreisrings A_{Ring} in cm?:

Du subtrahierst den Flächeninhalt des inneren Kreises vom Flächeninhalt des äußeren Kreises.

Der Flächeninhalt dieses Kreisrings beträgt etwa

4551.26

cm?.

Du kannst Zeit einsparen, wenn du den Flächeninhalt des Kreisrings in einem Schritt berechnest.

Der Flächeninhalt des Kreisrings ist die Differenz aus der Fläche des äußeren Kreises und der Fläche des inneren Kreises.

A_{Ring} = A_{a} - A_{i}

Jetzt setzt du die Flächeninhaltsformel zweimal in die Gleichung ein:

A_{Ring} = π {r_{a}}^{2} - π {r_{i}}^{2}

Durch Ausklammern von

π

erhältst du:

A_{Ring} = π ({r_{a}}^{2} - {r_{i}}^{2})

Jetzt setzt du die beiden Werte für die Radien in die Gleichung ein und berechnest

A_{Ring}

in cm?:

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3KrFlae_16.jpg

Das Ergebnis rundest du dann auf die gewünschte Genauigkeit, z.B. auf mm" genau, also auf 2 Stellen nach dem Komma:

A_{Ring}

≈

4551.26

cm?

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