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Trigonometrie am Einheitskreis

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Hier erfährst du, wie du Sinus und Kosinus auch für Winkel, die größer sind als 90 ? , berechnen kannst.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Zu jedem Winkel α zwischen 0 ? und 360 ? gehört ein Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten x | y .
Es wird definiert:
cos α = x sin α = y
Dabei ist α der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Radius 0P.
Betrachte den Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten 1 2 3 | 1 2 .
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_1.jpg
Der zugehörige Winkel α beträgt 30 ? .
cos 30 ? = 1 2 3 sin 30 ? = 1 2
Betrachte den Punkt Q auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten 1 2 2 | - 1 2 2 .
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_2.jpg
Der zugehörige Winkel α beträgt 315 ? .
cos 315 ? = 1 2 2 sin 315 ? = - 1 2 2
Betrachte die Punkte A 1 | 0 , B 0 | 1 , C -1 | 0 und D 0 | -1 auf dem Einheitskreis.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_3.jpg
Hier gilt:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_4.jpg

Symmetrien an der x-Achse

Symmetrien an der x-Achse:
Spiegelst du den Punkt P x | y an der x-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten x | - y .
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel α zwischen 0 ? und 360 ? , dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel 360 ? - α .
Wegen x = cos α und y = sin α gilt dann:
cos 360 ? - α = x und sin 360 ? - α = - y .
Merksatz 1:
Für jeden Winkel α zwischen 0 ? und 360 ? gilt:
sin 360 ? - α = - sin α und cos 360 ? - α = cos α
Für einen Winkel α = 28 ? gilt: 360 ? - 28 ? = 332 ? .
Also:
sin 332 ? = - sin 28 ? und cos 332 ? = cos 28 ?
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_5.jpg
Für einen Winkel α = 213 ? gilt: 360 ? - 213 ? = 147 ? .
Also:
sin 147 ? = - sin 213 ? und cos 147 ? = cos 213 ?
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_6.jpg

Symmetrien an der y-Achse

Symmetrien an der y-Achse:
Spiegelst du den Punkt P x | y an der y-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten - x | y .
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel α zwischen 0 ? und 180 ? , dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel 180 ? - α .
Wegen x = cos α und y = sin α gilt dann:
cos 180 ? - α = - x und sin 180 ? - α = y .
Merksatz 2:
Für jeden Winkel α zwischen 0 ? und 180 ? gilt:
sin 180 ? - α = sin α und cos 180 ? - α = - cos α
Für einen Winkel α = 47 ? gilt: 180 ? - 47 ? = 133 ? .
Also:
sin 133 ? = sin 47 ? und cos 133 ? = - cos 47 ?
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_7.jpg
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel α zwischen 180 ? und 360 ? , dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel 360 ? - α - 180 ? .
Wegen x = cos α und y = sin α gilt dann:
cos 360 ? - α - 180 ? = - x und sin 360 ? - α - 180 ? = y .
Für einen Winkel α = 207 ? gilt: 360 ? - 207 ? - 180 ? = 333 ? .
Also:
sin 333 ? = sin 207 ? und cos 333 ? = - cos 207 ?
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_8.jpg

Symmetrien am Ursprung

Spiegelst du den Punkt P x | y am Ursprung, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten - x | - y . Diese Spiegelung entspricht einer Drehung um 180 ? .
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel α zwischen 0 ? und 180 ? , dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel 180 ? + α .
Wegen x = cos α und y = sin α gilt dann:
cos 180 ? + α = - x und sin 180 ? + α = - y .
Merksatz 3:
Für jeden Winkel α zwischen 0 ? und 180 ? gilt:
sin 180 ? + α = - sin α und cos 180 ? + α = - cos α
Für einen Winkel α = 39 ? gilt: 180 ? + 39 ? = 219 ? .
Also:
sin 219 ? = - sin 39 ? und cos 219 ? = - cos 39 ?
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_9.jpg
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel α zwischen 180 ? und 360 ? , dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel α - 180 ? .
Wegen x = cos α und y = sin α gilt dann:
cos α - 180 ? = - x und sin α - 180 ? = - y .
Für einen Winkel α = 330 ? gilt: 330 ? - 180 ? = 150 ? .
Also:
sin 150 ? = - sin 330 ? und cos 150 ? = - cos 330 ?
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_10.jpg

Negative Winkel

Zu jedem Punkt P x | y auf dem Einheitskreis gehört stets ein positiver Winkel α und ein negativer Winkel β , denn du erreichst jeden Punkt durch die Drehung des Punktes 1 | 0 um den Koordinatenursprung sowohl gegen als auch mit dem Uhrzeigersinn.
Bei Drehung gegen den Uhrzeigersinn erhälst du den positiven Winkel α .Bei Drehung im Uhrzeigersinn erhälst du den negativen Winkel β .
Es gilt dann β = α - 360 ? .
Aus diesem Grund gibt dir dein Taschenrechner einen negativen Winkel β aus, wenn du z.B. die Taste /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_11.jpg für eine negative Zahl b anwendest.
Den zugehörigen Winkel α erhälst du dann mit
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_12.jpg
Merksatz 4:
Für jeden Winkel α zwischen 180 ? und 360 ? gilt:
sin 360 ? + α = sin α und cos 360 ? + α = cos α
Für einen Winkel α = 325 ? gilt: 325 ? - 360 ? = -35 ? .
Also:
sin -35 ? = sin 325 ? und cos -35 ? = cos 325 ?
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_13.jpg
Für einen Winkel β = -115 ? gilt: 360 ? + -115 ? = 245 ? .
Also:
sin 245 ? = sin -115 ? und cos 245 ? = cos -115 ?
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_14.jpg

Lösen trigonometrischer Gleichungen

Da Sinus und Kosinus für verschiedene Winkel die gleichen Werte annehmen können, gibt es für Gleichungen der Form
cos x = a oder sin x = b
manchmal mehr als eine Lösung zwischen 0 ? und 360 ? .
Hast du eine Lösung gefunden, so kannst du die zweite Lösung mit den Symmetrien für Sinus und Kosinus leicht ausrechnen.
sin x = 0.34
Mit der Taste /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_15.jpg deines Taschenrechners erhältst du
x 1 20 ?
Wegen sin 180 ? - x 1 = sin x 1 ist
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_16.jpg

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