Trigonometrie am Einheitskreis
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Hier erfährst du, wie du Sinus und Kosinus auch für Winkel, die größer sind als
, berechnen kannst.
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Zu jedem Winkel
zwischen
und
gehört ein Punkt P auf dem
mit den
.
Es wird definiert:
Dabei ist
der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Radius 0P.
Betrachte den Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten
.
Der zugehörige Winkel
beträgt
.

Betrachte den Punkt Q auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten
.
Der zugehörige Winkel
beträgt
.

Betrachte die Punkte
,
,
und
auf dem Einheitskreis.
Hier gilt:


Symmetrien an der x-Achse
Symmetrien an der x-Achse:
Spiegelst du den Punkt
an der x-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten
.
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel
zwischen
und
, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel
.
Wegen
und
gilt dann:
und
.
Merksatz 1:
Für jeden Winkel
zwischen
und
gilt:
und
Für einen Winkel
gilt:
.
Also:
und

Für einen Winkel
gilt:
.
Also:
und

Symmetrien an der y-Achse
Symmetrien an der y-Achse:
Spiegelst du den Punkt
an der y-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten
.
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel
zwischen
und
, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel
.
Wegen
und
gilt dann:
und
.
Merksatz 2:
Für jeden Winkel
zwischen
und
gilt:
und
Für einen Winkel
gilt:
.
Also:
und

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel
zwischen
und
, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel
α - 180 ° .
Wegen
und
gilt dann:
und
.
Für einen Winkel
gilt:
.
Also:
und

Symmetrien am Ursprung
Spiegelst du den Punkt
am Ursprung, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten
. Diese Spiegelung entspricht einer Drehung um
.
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel
zwischen
und
, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel
.
Wegen
und
gilt dann:
und
.
Merksatz 3:
Für jeden Winkel
zwischen
und
gilt:
und
Für einen Winkel
gilt:
.
Also:
und

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel
zwischen
und
, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel
.
Wegen
und
gilt dann:
und
.
Für einen Winkel
gilt:
.
Also:
und

Negative Winkel
Zu jedem Punkt
auf dem Einheitskreis gehört stets ein positiver Winkel
und ein negativer Winkel
, denn du erreichst jeden Punkt durch die Drehung des Punktes
um den Koordinatenursprung sowohl gegen als auch mit dem Uhrzeigersinn.
Bei Drehung gegen den Uhrzeigersinn erhälst du den positiven Winkel
. Bei Drehung im Uhrzeigersinn erhälst du den negativen Winkel
.
Es gilt dann
.
Aus diesem Grund gibt dir dein Taschenrechner einen negativen Winkel
aus, wenn du z.B. die Taste
für eine negative Zahl b anwendest.
Den zugehörigen Winkel
erhältst du dann mit


Merksatz 4:
Für jeden Winkel
zwischen
und
gilt:
und
Für einen Winkel
gilt:
.
Also:
und

Für einen Winkel
gilt:
.
Also:
und

Lösen trigonometrischer Gleichungen
Da Sinus und Kosinus für verschiedene Winkel die gleichen Werte annehmen können, gibt es für Gleichungen der Form
oder
manchmal mehr als eine Lösung zwischen
und
.
Hast du eine Lösung gefunden, so kannst du die zweite Lösung mit den Symmetrien für Sinus und Kosinus leicht ausrechnen.
Mit der Taste
deines Taschenrechners erhältst du
≈
Wegen
ist

