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Trigonometrie am Einheitskreis

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Hier erfährst du, wie du Sinus und Kosinus auch für Winkel, die größer sind als

90 ?

, berechnen kannst.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Zu jedem Winkel

α

zwischen

0 ?

und

360 ?

gehört ein Punkt P auf dem

Einheitskreis

mit den

Koordinaten

x | y

.

Es wird definiert:

cos α = x

sin α = y

Dabei ist

α

der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Radius 0P.

Betrachte den Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten

1 2 3 | 1 2

.

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_1.jpg

Der zugehörige Winkel

α

beträgt

30 ?

.

cos 30 ? = 1 2 3

sin 30 ? = 1 2

Betrachte den Punkt Q auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten

1 2 2 | - 1 2 2

.

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_2.jpg

Der zugehörige Winkel

α

beträgt

315 ?

.

cos 315 ? = 1 2 2

sin 315 ? = - 1 2 2

Betrachte die Punkte

A 1 | 0

,

B 0 | 1

,

C -1 | 0

und

D 0 | -1

auf dem Einheitskreis.

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_3.jpg

Hier gilt:

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_4.jpg

Symmetrien an der x-Achse

Symmetrien an der x-Achse:

Spiegelst du den Punkt

P x | y

an der x-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten

x | - y

.

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel

α

zwischen

0 ?

und

360 ?

, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel

360 ? - α

.

Wegen

x = cos α

und

y = sin α

gilt dann:

cos 360 ? - α = x

und

sin 360 ? - α = - y

.

Merksatz 1:

Für jeden Winkel

α

zwischen

0 ?

und

360 ?

gilt:

sin 360 ? - α = - sin α

und

cos 360 ? - α = cos α

Für einen Winkel

α = 28 ?

gilt:

360 ? - 28 ? = 332 ?

.

Also:

sin 332 ? = - sin 28 ?

und

cos 332 ? = cos 28 ?

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_5.jpg

Für einen Winkel

α = 213 ?

gilt:

360 ? - 213 ? = 147 ?

.

Also:

sin 147 ? = - sin 213 ?

und

cos 147 ? = cos 213 ?

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_6.jpg

Symmetrien an der y-Achse

Symmetrien an der y-Achse:

Spiegelst du den Punkt

P x | y

an der y-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten

- x | y

.

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel

α

zwischen

0 ?

und

180 ?

, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel

180 ? - α

.

Wegen

x = cos α

und

y = sin α

gilt dann:

cos 180 ? - α = - x

und

sin 180 ? - α = y

.

Merksatz 2:

Für jeden Winkel

α

zwischen

0 ?

und

180 ?

gilt:

sin 180 ? - α = sin α

und

cos 180 ? - α = - cos α

Für einen Winkel

α = 47 ?

gilt:

180 ? - 47 ? = 133 ?

.

Also:

sin 133 ? = sin 47 ?

und

cos 133 ? = - cos 47 ?

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_7.jpg

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel

α

zwischen

180 ?

und

360 ?

, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel

360 ? -

α - 180 ? .

Wegen

x = cos α

und

y = sin α

gilt dann:

cos 360 ? - α - 180 ? = - x

und

sin 360 ? - α - 180 ? = y

.

Für einen Winkel

α = 207 ?

gilt:

360 ? - 207 ? - 180 ? = 333 ?

.

Also:

sin 333 ? = sin 207 ?

und

cos 333 ? = - cos 207 ?

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_8.jpg

Symmetrien am Ursprung

Spiegelst du den Punkt

P x | y

am Ursprung, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten

- x | - y

. Diese Spiegelung entspricht einer Drehung um

180 ?

.

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel

α

zwischen

0 ?

und

180 ?

, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel

180 ? + α

.

Wegen

x = cos α

und

y = sin α

gilt dann:

cos 180 ? + α = - x

und

sin 180 ? + α = - y

.

Merksatz 3:

Für jeden Winkel

α

zwischen

0 ?

und

180 ?

gilt:

sin 180 ? + α = - sin α

und

cos 180 ? + α = - cos α

Für einen Winkel

α = 39 ?

gilt:

180 ? + 39 ? = 219 ?

.

Also:

sin 219 ? = - sin 39 ?

und

cos 219 ? = - cos 39 ?

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_9.jpg

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel

α

zwischen

180 ?

und

360 ?

, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel

α - 180 ?

.

Wegen

x = cos α

und

y = sin α

gilt dann:

cos α - 180 ? = - x

und

sin α - 180 ? = - y

.

Für einen Winkel

α = 330 ?

gilt:

330 ? - 180 ? = 150 ?

.

Also:

sin 150 ? = - sin 330 ?

und

cos 150 ? = - cos 330 ?

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_10.jpg

Negative Winkel

Zu jedem Punkt

P x | y

auf dem Einheitskreis gehört stets ein positiver Winkel

α

und ein negativer Winkel

β

, denn du erreichst jeden Punkt durch die Drehung des Punktes

1 | 0

um den Koordinatenursprung sowohl gegen als auch mit dem Uhrzeigersinn.

Bei Drehung gegen den Uhrzeigersinn erhälst du den positiven Winkel

α

.Bei Drehung im Uhrzeigersinn erhälst du den negativen Winkel

β

.

Es gilt dann

β = α - 360 ?

.

Aus diesem Grund gibt dir dein Taschenrechner einen negativen Winkel

β

aus, wenn du z.B. die Taste /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_11.jpg für eine negative Zahl b anwendest.

Den zugehörigen Winkel

α

erhälst du dann mit

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_12.jpg

Merksatz 4:

Für jeden Winkel

α

zwischen

180 ?

und

360 ?

gilt:

sin 360 ? + α = sin α

und

cos 360 ? + α = cos α

Für einen Winkel

α = 325 ?

gilt:

325 ? - 360 ? = -35 ?

.

Also:

sin -35 ? = sin 325 ?

und

cos -35 ? = cos 325 ?

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_13.jpg

Für einen Winkel

β = -115 ?

gilt:

360 ? + -115 ? = 245 ?

.

Also:

sin 245 ? = sin -115 ?

und

cos 245 ? = cos -115 ?

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_14.jpg

Lösen trigonometrischer Gleichungen

Da Sinus und Kosinus für verschiedene Winkel die gleichen Werte annehmen können, gibt es für Gleichungen der Form

cos x = a

oder

sin x = b

manchmal mehr als eine Lösung zwischen

0 ?

und

360 ?

.

Hast du eine Lösung gefunden, so kannst du die zweite Lösung mit den Symmetrien für Sinus und Kosinus leicht ausrechnen.
sin x = 0.34

Mit der Taste /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_15.jpg deines Taschenrechners erhältst du

x 1

20 ?

Wegen

sin 180 ? - x 1 = sin x 1

ist

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_16.jpg


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