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Trigonometrie am Einheitskreis

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Hier erfährst du, wie du Sinus und Kosinus auch für Winkel, die größer sind als 90 ° , berechnen kannst.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Zu jedem Winkel α zwischen 0 ° und 360 ° gehört ein Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten   x | y .
Es wird definiert:
  cos α = x   sin α = y
Dabei ist α der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Radius 0P.
Betrachte den Punkt P auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten 1 2 3 | 1 2 .
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_1.jpg
Der zugehörige Winkel α beträgt 30 ° .
  cos 30 ° = 1 2 3   sin 30 ° = 1 2
Betrachte den Punkt Q auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten 1 2 2 | - 1 2 2 .
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_2.jpg
Der zugehörige Winkel α beträgt 315 ° .
  cos 315 ° = 1 2 2   sin 315 ° = - 1 2 2
Betrachte die Punkte A 1 | 0 , B 0 | 1 , C -1 | 0 und D 0 | -1 auf dem Einheitskreis.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_3.jpg
Hier gilt:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_4.jpg

Symmetrien an der x-Achse

Symmetrien an der x-Achse:
Spiegelst du den Punkt P x | y an der x-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten x | - y .
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel α zwischen 0 ° und 360 ° , dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel 360 ° - α .
Wegen x = cos α und y = sin α gilt dann:
  cos 360 ° - α = x und sin 360 ° - α = - y .
Merksatz 1:
Für jeden Winkel α zwischen 0 ° und 360 ° gilt:
  sin 360 ° - α = - sin α und cos 360 ° - α = cos α
Für einen Winkel α = 28 ° gilt: 360 ° - 28 ° = 332 ° .
Also:
  sin 332 ° = - sin 28 ° und cos 332 ° = cos 28 °
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_5.jpg
Für einen Winkel α = 213 ° gilt: 360 ° - 213 ° = 147 ° .
Also:
  sin 147 ° = - sin 213 ° und cos 147 ° = cos 213 °
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_6.jpg

Symmetrien an der y-Achse

Symmetrien an der y-Achse:
Spiegelst du den Punkt P x | y an der y-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten - x | y .
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel α zwischen 0 ° und 180 ° , dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel 180 ° - α .
Wegen x = cos α und y = sin α gilt dann:
  cos 180 ° - α = - x und sin 180 ° - α = y .
Merksatz 2:
Für jeden Winkel α zwischen 0 ° und 180 ° gilt:
  sin 180 ° - α = sin α und cos 180 ° - α = - cos α
Für einen Winkel α = 47 ° gilt: 180 ° - 47 ° = 133 ° .
Also:
  sin 133 ° = sin 47 ° und cos 133 ° = - cos 47 °
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_7.jpg
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel α zwischen 180 ° und 360 ° , dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel 360 ° - α - 180 ° .
Wegen x = cos α und y = sin α gilt dann:
  cos 360 ° - α - 180 ° = - x und sin 360 ° - α - 180 ° = y .
Für einen Winkel α = 207 ° gilt: 360 ° - 207 ° - 180 ° = 333 ° .
Also:
  sin 333 ° = sin 207 ° und cos 333 ° = - cos 207 °
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_8.jpg

Symmetrien am Ursprung

Spiegelst du den Punkt P x | y am Ursprung, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten - x | - y . Diese Spiegelung entspricht einer Drehung um 180 ° .
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel α zwischen 0 ° und 180 ° , dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel 180 ° + α .
Wegen x = cos α und y = sin α gilt dann:
  cos 180 ° + α = - x und sin 180 ° + α = - y .
Merksatz 3:
Für jeden Winkel α zwischen 0 ° und 180 ° gilt:
  sin 180 ° + α = - sin α und cos 180 ° + α = - cos α
Für einen Winkel α = 39 ° gilt: 180 ° + 39 ° = 219 ° .
Also:
  sin 219 ° = - sin 39 ° und cos 219 ° = - cos 39 °
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_9.jpg
Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel α zwischen 180 ° und 360 ° , dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel α - 180 ° .
Wegen x = cos α und y = sin α gilt dann:
  cos α - 180 ° = - x und sin α - 180 ° = - y .
Für einen Winkel α = 330 ° gilt: 330 ° - 180 ° = 150 ° .
Also:
  sin 150 ° = - sin 330 ° und cos 150 ° = - cos 330 °
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_10.jpg

Negative Winkel

Zu jedem Punkt P x | y auf dem Einheitskreis gehört stets ein positiver Winkel α und ein negativer Winkel β , denn du erreichst jeden Punkt durch die Drehung des Punktes 1 | 0 um den Koordinatenursprung sowohl gegen als auch mit dem Uhrzeigersinn.
Bei Drehung gegen den Uhrzeigersinn erhälst du den positiven Winkel α . Bei Drehung im Uhrzeigersinn erhälst du den negativen Winkel β .
Es gilt dann β = α - 360 ° .
Aus diesem Grund gibt dir dein Taschenrechner einen negativen Winkel β aus, wenn du z.B. die Taste /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_11.jpg für eine negative Zahl b anwendest.
Den zugehörigen Winkel α erhältst du dann mit
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_12.jpg
Merksatz 4:
Für jeden Winkel α zwischen 180 ° und 360 ° gilt:
  sin 360 ° + α = sin α und cos 360 ° + α = cos α
Für einen Winkel α = 325 ° gilt: 325 ° - 360 ° = -35 ° .
Also:
  sin -35 ° = sin 325 ° und cos -35 ° = cos 325 °
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_13.jpg
Für einen Winkel β = -115 ° gilt: 360 ° + -115 ° = 245 ° .
Also:
  sin 245 ° = sin -115 ° und cos 245 ° = cos -115 °
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_14.jpg

Lösen trigonometrischer Gleichungen

Da Sinus und Kosinus für verschiedene Winkel die gleichen Werte annehmen können, gibt es für Gleichungen der Form
  cos x = a oder sin x = b
manchmal mehr als eine Lösung zwischen 0 ° und 360 ° .
Hast du eine Lösung gefunden, so kannst du die zweite Lösung mit den Symmetrien für Sinus und Kosinus leicht ausrechnen.
sin x = 0.34
Mit der Taste /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBabDEK_15.jpg deines Taschenrechners erhältst du
  x 1 20 °
Wegen sin 180 ° - x 1 = sin x 1 ist
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