Trigonometrie am Einheitskreis

Zu jedem Winkel $\alpha$ zwischen $0°$ und $360°$ gehört ein Punkt P auf dem $\text{Einheitskreis}$ mit den $\text{Koordinaten}$  $\left(x|y\right)$. Es wird definiert:   $\cos \left(\alpha \right)\text{= x}$  $\sin \left(\alpha \right)\text{= y}$ Dabei ist $\alpha$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Radius 0P.

Symmetrien an der x-Achse: Spiegelst du den Punkt $\text{P}\left(x|y\right)$ an der x-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten $\left(x|-y\right)$. Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel $\alpha$ zwischen $0°$ und $360°$, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel $360°$ $-$ $\alpha$. Wegen $x=\cos \left(\alpha \right)$ und $y=\sin \left(\alpha \right)$ gilt dann:   $\cos \left(360°-\alpha \right)=x$ und $\sin \left(360°-\alpha \right)=-y$.

Symmetrien an der y-Achse: Spiegelst du den Punkt $\text{P}\left(x|y\right)$ an der y-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten $\left(-x|y\right)$. Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel $\alpha$ zwischen $0°$ und $180°$, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel $180°$ $-$ $\alpha$. Wegen $x=\cos \left(\alpha \right)$ und $y=\sin \left(\alpha \right)$ gilt dann:   $\cos \left(180°-\alpha \right)=-x$ und $\sin \left(180°-\alpha \right)=y$.

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel $\alpha$ zwischen $180°$ und $360°$, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel $360°$ $-$ α - 180 ° . Wegen $x=\cos \left(\alpha \right)$ und $y=\sin \left(\alpha \right)$ gilt dann:   $\cos \left(360°-\left(\alpha -180°\right)\right)=-x$ und $\sin \left(360°-\left(\alpha -180°\right)\right)=y$.

Spiegelst du den Punkt $\text{P}\left(x|y\right)$ am Ursprung, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten $\left(-x|-y\right)$. Diese Spiegelung entspricht einer Drehung um $180°$. Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel $\alpha$ zwischen $0°$ und $180°$, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel $180°$ $+$ $\alpha$. Wegen $x=\cos \left(\alpha \right)$ und $y=\sin \left(\alpha \right)$ gilt dann:   $\cos \left(180°+\alpha \right)=-x$ und $\sin \left(180°+\alpha \right)=-y$.

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel $\alpha$ zwischen $180°$ und $360°$, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel $\alpha$ $-$ $180°$. Wegen $x=\cos \left(\alpha \right)$ und $y=\sin \left(\alpha \right)$ gilt dann:   $\cos \left(\alpha -180°\right)=-x$ und $\sin \left(\alpha -180°\right)=-y$.

Zu jedem Punkt $\text{P}\left(x|y\right)$ auf dem Einheitskreis gehört stets ein positiver Winkel $\alpha$ und ein negativer Winkel $\beta$, denn du erreichst jeden Punkt durch die Drehung des Punktes $\left(1|0\right)$ um den Koordinatenursprung sowohl gegen als auch mit dem Uhrzeigersinn.

Es gilt dann $\beta =\alpha -360°$. Aus diesem Grund gibt dir dein Taschenrechner einen negativen Winkel $\beta$ aus, wenn du z.B. die Taste für eine negative Zahl b anwendest. Den zugehörigen Winkel $\alpha$ erhältst du dann mit

Da Sinus und Kosinus für verschiedene Winkel die gleichen Werte annehmen können, gibt es für Gleichungen der Form   $\cos \left(x\right)=a$ oder $\sin \left(x\right)=b$ manchmal mehr als eine Lösung zwischen $0°$ und $360°$.