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Anwendungen zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

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Hier erfährst du, wie du mit den Winkelfunktionen mathematische Probleme aus dem Alltag lösen kannst.

Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse

Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“.

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDAnw_1.jpg

Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel

α

und ß.

Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse:

Sinus = Gegenkathete Hypotenuse

Der Kosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:

Kosinus = Ankathete Hypotenuse

Der Tangens eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:

Tangens = Gegenkathete Ankathete

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDAnw_2.jpg

Also:

sin α = cos β

und

sin β = cos α

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDAnw_3.jpg

Die Winkelfunktionen werden auch trigonometrische Funktionen genannt (griechisch „Trigonon“ = „ Dreieck“ und „Metron“=“Maß“). Sinus und Kosinus eines Winkels sind immer kleiner als 1, denn die Hypotenuse (im Nenner) ist die längste Seite im Dreieck.Ist der Tangens von α kleiner als 1, dann ist der Tangens von β größer als 1 und umgekehrt.

Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt

Ein Haus ist

8.5 m

breit und das Dach hat eine Neigung von

50 ?

. Wie hoch ist der Dachgiebel (in m)?

1. Lösungsplan/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDAnw_4.jpg

2. Gleichung aufstellenDie Höhe h teilt das gleichschenklige Giebeldreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, von denen ein Winkel (

α

) und die Länge der Ankathete

b 2

bekannt sind./wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDAnw_5.jpg

3. Gleichung lösen/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDAnw_6.jpg

Vermessungen mit dem Theodolit

Im Vermessungswesen (Straßenbau, Landvermessung) wird ein Theodolit verwendet.

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDAnw_7.jpg

Vermessungstechniker arbeiten zu zweit. Einer steht im Gelände an einem vorher festgelegten Punkt und der andere peilt mit dem Theodolit seinen Kollegen an.Danach peilt er einen anderen festen Punkt im Gelände (einen Baum, ein Gebäude o.ä.) an und der Theodolit misst nun den Winkel zwischen den beiden angepeilten Punkten.Aus diesem Winkel und den Entfernungen des Kollegen und des Baum vom Theodolit lassen sich die Längen evtl. unzugänglicher Seiten des entstandenen Dreiecks berechnen.

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDAnw_8.jpg


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