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Elementare Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens und besondere Winkel

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Hier erfährst du, welche Zusammenhänge zwischen den Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck bestehen und wie du diese ausnutzen kannst um andere Größen des Dreiecks zu berechnen.

Elementare Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel im Punkt C gilt:
Merksatz 1:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_1.jpg
Merksatz 2:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_2.jpg
Die Gegenkathete des Winkels α ist die Ankathete des Winkels β.
Aus der Innenwinkelsumme im Dreieck ( α + β + γ = 180 °) folgt für ein rechtwinkliges Dreieck mit γ = 90 °:
α + β = 90 °
Also:
β = 90 ° - α
und damit:
sin 90 ° - α = cos α
und
cos 90 ° - α = sin α
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_4.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_5.jpg
Das gilt auch, wenn du α und β vertauschst.Natürlich kannst du auch den Taschenrechner verwenden.Du berechnest den Sinus von 24 ° und verwendest dann die Taste cos -1 : β = cos -1 sin 24 °

sin²(α) + cos²(α) = 1

Es gibt einen weiteren wichtigen Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus eines Winkels:
Merksatz 3:
Für jeden spitzen Winkel α gilt:
sin 2 α + cos 2 α = 1
(dabei ist sin 2 α = sin α 2 und cos 2 α = cos α 2 )
Das lässt sich an einem rechtwinkligen Dreieck schnell herleiten:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_6.jpg
Satz des Pythagoras:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_7.jpg
Wähle einen beliebigen Winkel α und überprüfe die Gleichheit mit deinem Taschenrechner.
Mit Hilfe dieser Beziehung kannst du ohne Taschenrechner zu jedem Winkel den Sinus aus dem Kosinus oder den Kosinus aus dem Sinus bestimmen.
Wenn sin α = 0.6 , dann cos α = 0.8 .
Du stellst
sin 2 α + cos 2 α = 1
nach cos α um:
cos 2 α = 1 - sin 2 α
Also:
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_8.jpg

Der Tangens als Quotient aus Sinus und Kosinus

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_9.jpg
Merksatz 4:
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90 " gilt:
tan α = sin α cos α
Wenn sin α = 0.6 , dann tan α = 0.75 .
Du ersetzt in
tan α = sin α cos α
cos α durch 1 - sin 2 α
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_11.jpg

Der Tangens, Sinus und Kosinus von 45°, 30° und 60°

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_12.jpg
Zu einigen Winkeln ergeben sich Werte für Sinus, Kosinus und Tangens, die du dir leicht merken kannst.
/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBez_13.jpg

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