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Hier erfährst du, wie du mit den Winkelfunktionen unzugängliche Streckenlängen und Winkel in Figuren und Körpern berechnen kannst.

Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse

Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“.

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBFK_1.jpg

Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel

α

und ß.

Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse:

Sinus = Gegenkathete Hypotenuse

Der Kosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:

Kosinus = Ankathete Hypotenuse

Der Tangens eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:

Tangens = Gegenkathete Ankathete

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBFK_2.jpg

Also:

sin α = cos β

und

sin β = cos α

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBFK_3.jpg

Die Winkelfunktionen werden auch trigonometrische Funktionen genannt (griechisch „Trigonon“ = „ Dreieck“ und „Metron“=“Maß“). Sinus und Kosinus eines Winkels sind immer kleiner als 1, denn die Hypotenuse (im Nenner) ist die längste Seite im Dreieck.Ist der Tangens von α kleiner als 1, dann ist der Tangens von β größer als 1 und umgekehrt.

Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt

Gegeben ist der Quader mit den Kantenlängen a =

7.0 cm

, b =

4.5 cm

und c =

3.0 cm

.Berechne die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks ABH.

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBFK_4.jpg

1. Lösungsplan/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBFK_5.jpgBerechnet werden die Strecken

AH ?

und

BH ?

und die Winkel

β

und

γ

.

AB ? = a = 7.0 cm

Winkel

BAH = 90 ?

Nutzen kannst du den Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen.

d = AH ?

ist die Diagonale im Rechteck ADHE.

e = BH ?

ist die Raumdiagonale des Quaders.

2. Gleichung aufstellen

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBFK_6.jpg

3. Gleichung lösen

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBFK_7.jpg


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