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Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken

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Hier erfährst du, wie du mit Hilfe der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens Seitenlängen und Winkelgrößen am rechtwinkligen Dreieck berechnen kannst und wie du dabei den Taschenrechner richtig benutzt.

Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse
Benutzung des Taschenrechners
Berechnung von Winkeln und Seitenlängen

Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse

Da rechtwinklige Dreiecke mit gleich großen Winkeln ähnlich zueinander sind, sind die Seitenverhältnisse eindeutig durch einen der beiden spitzen Winkel festgelegt. /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBarD_1.jpg

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Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“. /wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBarD_2.jpg

Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel

α

und ß.

Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse:

Sinus = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

Der Kosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:

Kosinus = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

Der Tangens eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:

Tangens = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBarD_3.jpg

Also:

\sin (α) = \cos (β)

und

\sin (β) = \cos (α)

Die Winkelfunktionen werden auch trigonometrische Funktionen genannt (griechisch „Trigonon“ = „ Dreieck“ und „Metron“=“Maß“). Sinus und Kosinus eines Winkels sind immer kleiner als 1, denn die Hypotenuse (im Nenner) ist die längste Seite im Dreieck.Ist der Tangens von α kleiner als 1, dann ist der Tangens von β größer als 1 und umgekehrt.

Benutzung des Taschenrechners

Für die Winkelfunktionen gibt es auf den meisten Taschenrechnern entsprechende Tasten.

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Je nach Fabrikat wählst du erst die Funktion und dann das Argument (den Winkel) oder umgekehrt.

\sin (30 ?) = 0.5

Du wählst die Taste

, danach gibst du 30 ein und drückst auf

.

oder:

Du gibst 30 ein und wählst dann die Taste

. Das Betätigen von

ist dann nicht erforderlich.Probiere an deinem Taschenrechner aus, wie es geht.

Hast du den Funktionswert (das Längenverhältnis) gegeben, dann verwendest du für die Berechnung des Arguments(des Winkels) die „Umkehrfunktion“. In den meisten Fällen steht die Umkehrfunktion über den Tasten der zugehörigen Funktion.

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Um diese Umkehrfunktionen anwählen zu können, benutzt du die Umschalt-Taste. Oft ist sie in einer anderen Farbe und beschriftet mit „Shift“ oder „INV“.

/wp-content/uploads/media/kem_Tri_TriBaDBarD_11.jpg

\cos (α) = 0.5

Zur Berechnung von

α

tippst du entweder diese Tastenfolge:

0,5

oder diese:

0,5

Du erhältst als Ergebnis

α = 60 ?

.

Achte beim Rechnen mit dem Taschenrechner darauf, dass du im Modus Grad (DEG oder D) arbeitest, nicht im Modus Radiant (Bogenmaß, RAD) oder Neugrad (GRAD).An älteren Taschenrechner stellst du das mit einem Schiebeschalter ein, bei den modernen Geräten ist es abhängig vom Fabrikat, mit welchen Tasten du den Modus verändern kannst. Informiere dich dazu in der Bedienungsanleitung.

Berechnung von Winkeln und Seitenlängen

Mit Hilfe der Winkelfunktionen kannst du Winkel und Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck berechnen.Aus der Angabe nur eines Winkels (nicht dem rechten) und einer Seitenlänge kannst du die beiden anderen Seitenlängen und den dritten Winkel (durch Ergänzen auf

90 ?

) berechnen.

Berechne c auf Millimeter genau. (Maße in cm)

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Seite c ist die Hypotenuse und Seite a die Gegenkathete zum Winkel

40 ?

.Also verwendest du zur Berechnung der Seite c den Sinus:

\sin (40 ?) = \frac{5}{c}

Du stellst nach c um, rechnest mit dem Taschenrechner und rundest das Ergebnis auf die geforderte Genauigkeit:

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