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Zylinder

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Eigenschaften von Zylindern

Ein Kreiszylinder (kurz: Zylinder) ist ein geometrischer Körper mit kongruenten und parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche.
Beim geraden Zylinder ist die Mantelfläche ein Rechteck.
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schiefer Zylindergerader Zylinder
Im Weiteren wird der gerade Kreiszylinder kurz als Zylinder bezeichnet. Ist von einem schiefen Zylinder die Rede, so wird das ausdrücklich erwähnt.

Volumenberechnung

Volumen = Grundfläche · Höhe
kurz: V = G · h
Die Grundfläche des Zylinders ist ein Kreis mit Radius r, daher ergibt sich die spezielle Formel V = π r 2 · h .
Zylinder mit einer Höhe h von 8 cm und einem Radius r von 4 cm
/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe1Zyl_2.jpg
  Volumen V (in cm 3 ): /wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe1Zyl_3.jpg
Mit der Formel zur Berechnung des Volumens kannst du auch die anderen Größen eines Zylinders berechnen.
Du stellst die Formel mit Hilfe von äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe um:
  V = π r 2 · h /wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe1Zyl_4.jpg h = V π r 2 und r = V π h

Oberflächenberechnung

Oberfläche = 2 · Grundfläche + Mantelfläche
kurz: O = 2 G + M
Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich zusammen aus Grundfläche G, Deckfläche D und Mantelfläche M.
  O = G + D + M
Grund- und Deckfläche sind gleich groß, also gilt:
  O = 2 G + M
Die Grundfläche ist ein Kreis :
  G = π r 2
Der Mantel eines geraden Zylinders ist ein Rechteck mit der Seitenlänge U (Umfang des Kreises) und h (Höhe des Zylinders):
  M = U · h = 2 π r h
Für den Oberflächeninhalt des Zylinders gilt damit die spezifische Formel:
  O = 2 π r 2 + 2 π r h
/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe1Zyl_5.jpg
Zylinder mit einer Höhe h von 8 cm und einem Radius r von 4 cm
/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe1Zyl_6.jpg
  Oberflächeninhalt O (in cm 2 ): /wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe1Zyl_7.jpg

Hohlzylinder

Ein Hohlzylinder entsteht, wenn aus einem Zylinder ein kleinerer Zylinder herausgeschnitten wird.
/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe1Zyl_8.jpg
Im Weiteren werden Hohlzylinder betrachtet, bei denen beide Zylinder die gleiche Symmetrieachse haben.
Volumen des Hohlzylinders: V h = V a - V i
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Oberfläche des Hohlzylinders: O h = M a + M i + 2 · G r
• der Mantelfläche M a des äußeren Zylinders, • der Mantelfläche M i des inneren Zylinders, • der Fläche G r des Kreisrings .
/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe1Zyl_10.jpg

Funktionale Abhängigkeiten

Bei gleichbleibender Grundfläche G wächst das Volumen V proportional zur Höhe h.
D.h., wird die Höhe mit einem Faktor k verfielfacht, vervielfacht sich das Volumen mit demselben Faktor k.
/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe1Zyl_11.jpg
Bei gleichbleibender Höhe h wächst das Volumen V proportional zur Grundfläche G.
Bei gleichbleibender Höhe h wächst das Volumen V quadratisch mit dem Radius r der Grundfläche G.
D.h.: Wird der Radius mit einem Faktor k vervielfacht, vervielfacht sich das Volumen mit dem Quadrat dieses Faktors k 2 .
/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe1Zyl_12.jpg

Axialschnitt und Zylinder als Rotationskörper

Wird ein Zylinder entlang der Ebene, in der die Symmetrieachse liegt, geschnitten, so entsteht der Axialschnitt des Zylinders.
Rotiert ein Rechteck um eine seiner Seiten, so entsteht als Rotationskörper ein Zylinder.Rotiert ein Rechteck um eine zur Höhe parallele Achse, so entsteht als Rotationskörper ein Hohlzylinder.

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