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Kegel

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Eigenschaften von Kegeln

Ein Kreiskegel (kurz: Kegel) ist ein geometrischer Körper mit einem Kreis als Grundfläche.

Beim geraden Kegel sind alle Mantellinien gleich lang und der Mantel ist ein

Kreisausschnitt

. Alle anderen Kegel werden als schiefe Kegel bezeichnet.

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_1.jpg

schiefer Kegelgerader Kegel

Im Weiteren wird der gerade Kreiskegel kurz als Kegel bezeichnet. Ist von einem schiefen Kegel die Rede, so wird das ausdrücklich erwähnt.

Begriffe zum Kegel:/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_2.jpg

Volumenberechnung

Volumen = 1 3 * Grundfläche * Höhe

kurz:

V = 1 3 G * h

Die Grundfläche des Kegels ist ein

Kreis

mit dem

Radius

r, daher ergibt sich die spezielle Formel

V = 1 3 π r 2 * h

Kegel mit einer Höhe

h

von

6 cm

und einem Radius

r

der Grundfläche von

4 cm

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_3.jpg

Volumen V (in cm 3 ):

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_4.jpg

Mit der Formel zur Berechnung des Volumens kannst du auch die anderen Größen eines Kegels berechnen.Du stellst die Formel mit Hilfe von äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe um:

V = 1 3 π r 2 * h

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_5.jpg

h = 3 V π r 2

und

r = 3 V π h

Oberflächenberechnung

Oberfläche = Grundfläche + Mantelfläche

kurz:

O = G + M

Die Oberfläche eines Kegels besteht aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M.Die Grundfläche ist ein Kreis:

G = π r 2

Der Mantel ist ein

Kreisausschnitt

mit der Bogenlänge

U

(

Umfang

des Kreises) und dem Radius

s

(Mantellinie des Kegels):

U = b α

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_6.jpg

Kegel mit einer Mantellinie s von

7 cm

und einem Radius r von

4 cm

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_7.jpg

Oberfläche des Kegels (in cm 2 ):

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_8.jpg

Funktionale Abhängigkeiten

Bei gleichbleibender Grundfläche G, wächst das Volumen V

proportional

zur Höhe h. D. h., wird die Höhe mit einem

Faktor

(k) vervielfacht, vervielfacht sich das Volumen mit demselben Faktor (k).

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_9.jpg

Bei gleichbleibender Höhe h, ändert sich das Volumen V auch zur Grundfläche G proportional.

Bei einem Kegel besteht auch zwischen dem Radius und dem Volumen ein

funktionaler Zusammenhang

. Bei gleichbleibender Höhe

h

, wächst das Volumen

V

quadratisch

mit dem Radius

r

.D. h., wird der Radius mit einem Faktor (

k

) vervielfacht, vervielfacht sich das Volumen mit dem Quadrat dieses Faktors (

k 2

).

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_10.jpg

Hohlkegel

Ein Hohlkegel entsteht, wenn aus einem Kegel ein kleinerer Kegel herausgeschnitten wird.
Im Weiteren werden Hohlkegel betrachtet, bei denen beide Kegel die gleiche

Symmetrieachse

haben./wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_11.jpg

Das Volumen des Hohlkegels erhältst du, indem du das Volumen des kleineren Kegels vom Volumen des größeren Kegels subtrahierst.

V H = V groß - V klein

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_12.jpg/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_13.jpg/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_14.jpg

Die Oberfläche des Hohlkegels setzt sich zusammen aus drei Teilflächen: • dem

Mantel

des großen Kegels • dem Mantel des kleinen Kegels • der Fläche des

Kreisrings

O H = M groß + M klein + A Ring

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_15.jpg

Axialschnitt und Kegel als Rotationskörper

Wird ein Kegel entlang der Ebene, in der die

Symmetrieachse

liegt, geschnitten, so entsteht der Axialschnitt des Kegels.

Rotiert ein rechtwinkliges Dreieck um eine

Kathete

, so entsteht als Rotationskörper ein Kegel. Rotiert ein geeignetes

Trapez

um eine Seite, so entsteht als Rotationskörper ein Hohlkegel.

Berechnungen zum Kegelstumpf

Ein Kegelstumpf entsteht, wenn ein Kegel

Parallel

zur Grundfläche geschnitten wird.

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_16.jpg

Das Volumen

V ST

des Kegelstumpfs ist also die

Differenz

aus dem Volumen

V K

des Kegels und dem Volumen

V S

des abgetrennten Kegels.

V ST = V K - V S

Kennst du ein Längenverhältnis am Kegel, dann kannst du auf ein anderes Längenverhältnis mit Hilfe des zweiten

Strahlensatzes

schließen:

/wp-content/uploads/media/kem_FuV3_FuV3Koe2Keg_17.jpg

h S h K = a S a K = s S s K

Mit diesen Verhältnisgleichungen lassen sich alle Maße berechnen.


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