Körper
Würfel
Ein Würfel der Kantenlänge \(a\) besitzt das Volumen
\(V = a^3\)
und den Oberflächeninhalt
\(O = 6a^2\)
Die Raumdiagonale besitzt die Länge
\(d=a\sqrt{3}\)
Quader
Ein Quader der Breite \(a\), der Tiefe \(b\) und der Höhe \(c\) besitzt das Volumen
\(V=abc\)
und den Oberflächeninhalt
\(O=2(ab + bc + ac)\)
Mehrseitiges Prisma
Ein \(n\)-seitiges Prisma mit dem Grundflächeninhalt \(G\) und der Höhe \(h\) besitzt das Volumen
\(V = G \cdot h\)
Die \(n\) Seitenflächen sind Parallelogramme (Rechtecke beim geraden Prisma), deren Flächeninhalte \(S_k\) sich jeweils als Produkt der Grundseitenlänge mit der Seitenflächenhöhe berechnen lassen. Für den Oberflächeninhalt des Prismas ergibt das die Formel
\(O = 2G + S_1 + \cdots + S_n\)
Tetraeder
Ein Tetraeder wird von vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Mit der Kantenlänge \(a\) gilt für die Höhe \(h\) des Tetraeders
\(h = \frac{\sqrt{6}}{3}~a\)
Für das Volumen \(V\) des Tetraeders gilt die Formel
\(V = \frac{\sqrt{2}}{12} ~a^3\)
und für den Oberflächeninhalt \(O\) die Formel
\(O = \sqrt{3}\cdot a^2\)
\(n\)-seitige Pyramide
Eine Pyramide mit \(n\)-seitiger Grundfläche mit dem Flächeninhalt \(G\) und mit der Höhe \(h\) hat das Volumen
\(V = \frac{1}{3} A_G\cdot h\)
Die Seitenflächen sind Dreiecke und haben die Flächeninhalte \(A_k\), die sich sich aus der jeweiligen Grundseite und der Höhe der Seitenfläche berechnen lassen. Für den Oberflächeninhalt \(O\) ergibt dies die Formel
\(O = A_G + A_1 + \cdots + A_n\)
\(n\)-seitiger Pyramidenstumpf
Bei einem Pyramidenstumpf mit \(n\)-seitiger Grundfläche mit dem Flächeninhalt \(G\) und einer dazu ähnlichen Deckfläche mit dem Flächeninhalt \(D\) sowie der Höhe \(h\) gilt für das Volumen die Formel
\(V = \frac{1}{3}~h(G + D + \sqrt{G D})\)
Der Oberflächeninhalt \(O\) setzt sich zusammen aus den Inhalten der Grund- und Deckfläche und den trapezförmigen Seitenflächen.
Zylinder
Ein Zylinder der Höhe \(h\) und dem Durchmesser \(d = 2r\) hat das Volumen
\(V = \pi~ r^2\cdot h\)
den Mantelflächeninhalt
\(M = \pi d\cdot h\)
und den Oberflächeninhalt
\(O = \pi d\cdot h + 2\pi r^2\)
Kegel
Ein kreisförmiger Kegel (Kreiskegel) der Höhe \(h\) mit dem Grundkreisdurchmesser \(d = 2r\) und der Mantelinie der Länge \(s =\sqrt{r^2 + h^2}\) hat das Volumen
\(V = \frac{1}{3}~\pi r^2~\cdot h\)
den Mantelflächeninhalt
\(M = \pi r\cdot s\)
und den Oberflächeninhalt
\(O = \pi r (r + s)\)
Kegelstumpf
Für einen Kegelstumpf der Höhe \(h\), dem Grundkreisdurchmesser \(d_1 = 2r_1\) und dem Deckkreisdurchmesser \(d_2 = 2r_2\) beträgt die Länge \(s\) der Mantellinie
\(s = \sqrt{(r_1-r_2)^2 + h^2}\)
Für das Volumen \(V\) gilt die Formel
\(V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)\)
und für den Oberflächeninhalt \(O\) die Formel
\(O = \pi (r_1^2 +s(r_1+r_2) + r_2^2)\)
Kugel
Eine Kugel vom Radius \(r\) hat das Volumen
\(V = \frac{4}{3}~\pi r^3\)
und den Oberflächeninhalt
\(O = 4\pi r^2\)
d.i. das Vierfache der Äquatorschnittfläche.
Cavalierisches Prinzip
Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleich hoch sind und wenn die Schnittflächen in gleicher Höhe parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt
besitzen.
