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Addition und Subtraktion bis 100

Addition Subtraktion Addition Wenn du zwei Zahlen addierst , kannst du den zweiten Summanden zerlegen und nacheinander addieren. Wenn beim Addieren der Einer keine Zehnerüberschreitung auftritt, zerlegst du den zweiten Summanden am besten in seinen Zehner und seinen Einer . Wenn beim Addieren der Einer eine Zehnerüberschreitung auftritt, kannst du zum Beispiel geschickt so rechnen: Du zerlegst den zweiten Summanden so, dass der erste Summand zum vollen Zehner ergänzt wird.Dann addierst du den Rest. Wenn du einen fehlenden Summanden bestimmen möchtest, kannst du zum Beispiel geschickt mit Hilfe der Umkehraufgabe rechnen: Subtraktion Wenn du zwei Zahlen subtrahierst , kannst du…

Addition und Subtraktion bis 1000

Addition Subtraktion Addition Wenn du zwei Zahlen addierst , kannst du den zweiten Summanden zerlegen und nacheinander addieren. Wenn beim Addieren keine überschreitung des Zehners oder des Hunderters auftritt, zerlegst du den zweiten Summanden am besten in seinen Hunderter, seinen Zehner und seinen Einer . Du rechnest + : Wenn eine Hunderterüberschreitung auftritt, kannst du zum Beispiel geschickt so rechnen: Du zerlegst den zweiten Summanden so, dass der erste Summand zum vollen Hunderter ergänzt wird.Dann addierst du den Rest. Wenn du einen fehlenden Summanden bestimmen möchtest, kannst du zum Beispiel geschickt mit Hilfe der Umkehraufgabe rechnen. ? + = Subtraktion…

Addition und Subtraktion von rationalen Zahlen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du rationale Zahlen addierst und subtrahierst. Vorzeichen und Rechenzeichen Rationale Zahlen addieren Rationale Zahlen subtrahieren Rechenausdrücke mit rationalen Zahlen vereinfachen Rationale Zahlen geschickt addieren Vorzeichen und Rechenzeichen Eine rationale Zahl kann auch negativ sein. Um in Rechnungen Vor- und Rechenzeichen unterscheiden zu können, setzt man um die Zahl mit dem zugehörigen Vorzeichen eine Klammer: Um die Schreibweise zu vereinfachen, verwendet man die Klammern oft nur, wenn Rechenzeichen und Vorzeichen aufeinandertreffen. Statt (+7) + (-13) wird also +7 + (-13) geschrieben. Das Vorzeichen bei positiven Zahlen (+) wird ebenfalls häufig weggelassen, um die Schreibweise noch…

Addition und Subtraktion von Termen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Terme durch Addition und Subtraktion zusammenfassen kannst. Gleichartige Terme Gleichartige Terme zusammenfassen Gleichartige Terme Terme, die die gleichen Variablen und die gleichen Potenzen der Variablen enthalten, sind gleichartige Terme. Solche Terme kann man addieren und subtrahieren, bzw. zusammenfassen. Die Terme a , a , a und a sind gleichartig, weil sie alle die gleiche Variable a enthalten. Die Terme a b sowie a b und a b sind ebenfalls gleichartig, weil sie alle den gleichen Term a b enthalten. Alle konstanten Terme (wie 2; 25; 0,7 ...) sind gleichartig. Konstante Terme enthalten KEINE…

Addition und Subtraktion von Termen mit Klammern

Gleichartige Terme zusammenfassen Klammerausdrücke addieren Klammerausdrücke subtrahieren Vervollständigen von Gleichungen Gleichartige Terme zusammenfassen Gleichartige Terme sind Terme mit der gleichen Variable und der gleichen Potenz . Gleichartige Terme fasst du zusammen, indem du ihre Koeffizienten addierst oder subtrahierst. Vereinfache. a + a Beide Terme haben die gleiche Variable. Du addierst die Koeffizienten beider Terme. a + a = a Vereinfache. x + x - + x + x Du fasst zusammen, indem du die Koeffizienten der gleichartigen Terme addierst. x + x - + x + x = x + x - Klammerausdrücke addieren Du addierst Ausdrücke in Klammern, indem…

Addition von Brüchen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Brüche addierst. Einige Brüche musst du vor dem Addieren umwandeln oder kürzen, oft musst du auch deren Hauptnenner bilden. Addition gleichnamiger Brüche Addition gleichnamiger Brüche mit Umwandeln Addition ungleichnamiger Brüche Addition einer ganzen Zahl und eines Bruchs Addition einer gemischten Zahl und eines Bruchs Addition zweier gemischter Zahlen Addition gleichnamiger Brüche Bei gleichnamigen Brüchen werden nur die Zähler addiert. Die Nenner bleiben unverändert. Rechne aus: + Zusammenfassen Bei gleichnamigen Brüchen schreibst du die beiden Zähler als Summe auf den Bruchstrich. + = + Addieren Rechne nur im Zähler: 3 + 1 = 4.…

Addition von Dezimalzahlen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Dezimalzahlen im Kopf addieren kannst. Addition von Dezimalzahlen im Kopf Addition einer Dezimalzahl und einer natürlichen Zahl Addition von Dezimalzahlen als Ergänzungsaufgabe (Stellenwert für Stellenwert ergänzen) Addition von Dezimalzahlen als Ergänzungsaufgabe (über Umkehraufgabe) Addition von Dezimalzahlen im Kopf Du addierst eine Dezimalzahl zu einer anderen Dezimalzahl, indem du die Zahl in ihre Stellenwerte zerlegst und dann schrittweise addierst. Rechne aus: + Addieren Du addierst die Dezimalzahlen Stellenwert für StellenwertErst die Einer, dann die Zehntel, ... Es kann vorkommen, dass du einen übertrag machen musst, weil die Summe zweier Ziffern größer als 9 ist.…

Additionsverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Hier erfährst du, wie du mit dem Additionsverfahren lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen kannst. Lösen von linearen Gleichungssystemen Anzahl der Lösungen Lösen von linearen Gleichungssystemen Du kannst zum Lösen von Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen das Additionsverfahren nutzen. Die beiden Gleichungen kannst du jeweils im Waagemodell betrachten. Beide Waagen befinden sich im Gleichgewicht. Wenn du die Inhalte der linken Seiten und die Inhalte der rechten Seiten gemeinsam auf die entsprechenden Seiten einer Waage legst, erhältst du wieder ein Gleichgewicht. Die Summe der Terme der linken Seiten der Gleichungen ist also genauso groß wie die Summe der Terme der rechten…

Ähnlichkeit von Dreiecken

In dieser Erklärung erfährst du, wie du zwei Dreiecke auf ähnlichkeit überprüfen kannst. Die ähnlichkeitssätze Dreiecke auf ähnlichkeit überprüfen unbekannte Streckenlängen bestimmen Die ähnlichkeitssätze Dreiecke spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Bestimmt hast du schon einmal einen Film gesehen, in dem Dinosaurier wie selbstverständlich durch die Szenen stampfen. Hinter solchen Spezialeffekten steckt jede Menge Mathematik. Hier kommen Dreiecke ins Spiel: Für den Dinosaurier wird ein Dreiecksnetz berechnet, das den Dino möglichst genau darstellt. Erst mit Hilfe eines solchen Modells lässt sich der Dino im Film zum Leben erwecken. In der Abbildung erkennst du, dass das Dreiecksnetz aus verschiedenen Dreiecken…

Ähnlichkeit von Figuren

In dieser Erklärung erfährst du, wie du zwei Figuren auf ähnlichkeit überprüfen kannst. ähnlichkeit von Figuren ähnlichkeit von Figuren Den Begriff ähnlich kennst du aus der Alltagssprache: Zwillinge sehen sich oft zum Verwechseln ähnlich, Mutter und Tochter sehen sich manchmal ähnlich und sogar Hund und Herrchen können sich verblüffend ähnlich sehen. Auch in der Mathematik wird der Begriff verwendet, um die ähnlichkeit von Figuren auszudrücken. ähnliche Figuren haben die gleiche Form, unterscheiden sich jedoch in ihrer Größe und Lage. Aus einer Figur F erhältst du eine ähnliche Figur F‘, wenn du die Figur F mit einer zentrischen Streckung vergrößerst oder…

Anschauliche Addition und Subtraktion von Brüchen

Hier erfährst du, wie du Brüche addieren und subtrahieren kannst. Addition gleichnamiger Brüche Subtraktion gleichnamiger Brüche Addition ungleichnamiger Brüche Subtraktion ungleichnamiger Brüche Addition gleichnamiger Brüche Gleichnamige Brüche addierst du, indem du nur die Zähler addierst. Der Nenner bleibt unverändert. Rechne aus: + Addieren Du addierst nur die Zähler: + = . Der Nenner 5 bleibt unverändert. Subtraktion gleichnamiger Brüche Gleichnamige Brüche subtrahierst du, indem du nur im Zähler subtrahierst. Der Nenner bleibt unverändert. Rechne aus: - Subtrahieren Du subtrahierst nur die Zähler: - = . Der Nenner 5 bleibt unverändert. Addition ungleichnamiger Brüche Ungleichnamige Brüche müssen vor dem Addieren gleichnamig…

Anteile von Größen

Berechnen von Anteilen Berechnen von Anteilen Den Bruchteil eines Ganzen kannst du berechnen, indem du in eine kleinere Einheit umrechnest. km = m km = m Also ist km der fünfte Teil von m und : = . h = min h = min Also ist h der dritte Teil von min und h ist davon das Doppelte: * : = * = kg = g kg = kg + kg Da kg = g , sind kg = g und kg = von g = g .Du addierst: + = von l = ml von l = von ml…

Antiproportionale Zuordnungen

In diesen Erklärungen erfährst du, was antiproportionale Zuordnungen sind und wie du sie erkennen, konstruieren und graphisch darstellen kannst. Antiproportionale Zuordnungen und ihre Wertetabellen Graphen antiproportionaler Zuordnungen Antiproportionales Rechnen Antiproportionale Zuordnungen und ihre Wertetabellen Zuordnungen werden als antiproportional bezeichnet, wenn das Produkt einander zugeordneter Werte immer gleich ist.Das Produkt nennt man dann Antiproportionalitätsfaktor. Für eine antiproportionale Zuordnung gilt die Aussage „je mehr, desto weniger“.Wenn diese verletzt ist, ist die Zuordnung nicht antiproportional.Wenn sie gilt, ist sie möglicherweise antiproportional. Der Antiproportionalitätsfaktor ist immer das Produkt von zwei Werten aus einer Spalte. Die untere Zeile berechnest du aus der oberen durch Division…

Anwendungen

Hier erfährst du, wie du Textaufgaben mit Hilfe der Strahlensätze lösen und wie du konstruktiv eine Strecke in gleich lange Teilstrecken zerlegen kannst. Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Strecken teilen Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Textaufgaben lassen sich leichter lösen, wenn du Schritt für Schritt vorgehst. Höhenbestimmung mit Hilfe der Schattenlänge Die Laterne vor Lauras Fenster wirft einen m langen Schatten. Zur gleichen Zeit ist Lauras Schatten m lang. Laura selbst ist m groß.Wie hoch ist die Laterne? Skizze zum Sachverhalt Wenn sich Laura direkt neben die Laterne stellt, entsteht aus Laterne, Laura und deren Schatten die Strahlensatzfigur…

Anwendungen von Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen mit prozentualer Zu- oder Abnahme Von der Verdopplungszeit zur Exponentialfunktion Von der Halbwertszeit zur Exponentialfunktion Exponentialfunktion aus Wertepaaren modellieren Exponentialfunktionen mit prozentualer Zu- oder Abnahme Nimmt eine Größe G ausgehend vom Anfangswert G pro Schritt um p % zu bzw. ab, so kann ihr Wert in Abhängigkeit von der Anzahl x der Schritte mit einer allgemeinen Exponentialfunktion beschrieben werden: y = G x = G * + p x bzw. y = G x = G * - p x In einem Land wächst die Bevölkerung jährlich um % . Derzeit leben Mio. Menschen in diesem Land. Das Bevölkerungswachstum…

Anwendungen von Zuordnungen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du proportionale von antiproportionalen Zuordnungen an Wertetabellen, Grafiken und in Alltagssituationen unterscheiden kannst. Wertetabellen und Graphen Zuordnungen in Textaufgaben Wertetabellen und Graphen Ist eine Wertetabelle oder ein Graph einer Zuordnung gegeben, so kannst du daran erkennen, ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist. Bei einer gegeben Wertetabelle überprüfst du durch spaltenweises Dividieren oder Multiplizieren, ob ein Proportionalitätsfaktor oder Antiproportionalitätsfaktor existiert. Bei einem gegebenen Graphen überprüfst du, ob die Punkte zusammen auf einer Geraden durch den Ursprung oder einer Hyperbel liegen. Wenn du eine proportionale Zuordnung graphisch darstellst, liegen die Punkte zusammen auf einer Ursprungsgeraden.…

Anwendungen zu Gleichungen

Hier erfährst du anhand verschiedener Beispiele, wie man mathematische Fragestellungen mit Hilfe von Gleichungen lösen kann. Wie löst man Anwendungsaufgaben? Zahlenrätsel Altersrätsel Bewegungsaufgaben Historische Aufgaben /Märchenhaftes Wie löst man Anwendungsaufgaben? Anwendungsaufgaben, Rätsel und viele Probleme aus dem Alltag kannst du lösen, indem du für die beschriebene Situation eine Gleichung aufstellst und diese anschließend löst. Es ist hilfreich, wenn du dich dabei an folgende Arbeitsschritte hältst: 1.Variable festlegen2.Terme aufstellen3.Bestimmungsgleichung aufstellen4.Bestimmungsgleichung lösen5.Inhaltliche Probe der Lösung 6.Antwort formulieren Zahlenrätsel Zahlenrätsel sind die einfachste Form der Textaufgaben, denn bei Zahlenrätseln werden die Rechenvorschriften direkt formuliert, du musst sie nur in Terme „übersetzen“. Die Summe…

Anwendungen zu linearen Gleichungssystemen

Hier erfährst du, wie du Textaufgaben mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen lösen kannst. Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Bei Textaufgaben ist es hilfreich, Schritt für Schritt vorzugehen. 1. Variablen einführenDu überlegst, was mit Hilfe der Variablen beschrieben werden soll. 2. Gleichungen aufstellenDu überlegst, wie die Größen, für die du die Variablen gewählt hast, miteinander in Beziehung stehen und wie du diese Beziehungen durch Gleichungen formulieren kannst. 3. Gleichungssystem lösenDu löst das dabei entstehende lineare Gleichungssystem. 4.Ergebnis am Sachverhalt überprüfenDu überprüfst, ob die Lösung des Gleichungssystems auch eine Lösung für die konkrete Fragestellung ist.…

Anwendungen zu Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden

Eigenschaften von Mittelsenkrechte, Lot und Winkelhablierender Eigenschaften von Mittelsenkrechte, Lot und Winkelhablierender Brauchst du zur Lösung geometrischer Aufgaben Hilfslinien oder Winkel mit bestimmten Eigenschaften, helfen dir Mittelsenkrechte, Lot und Winkelhalbierende häufig weiter. Häufig kannst du Konstruktionsaufgaben auf verschiedenen Wegen lösen.

Anwendungen zu Ungleichungen

Hier erfährst du anhand verschiedener Beispiele, wie du mathematische Fragestellungen mit Hilfe von Ungleichungen lösen kannst. Wie löst man Textaufgaben? Zahlenrätsel Mischungsaufgaben Wie löst man Textaufgaben? Die Anwendungen, Rätsel und Probleme aus dem Alltag, die in den Beispielen aufgeführt sind, lassen sich lösen, indem du Ungleichungen aufstellst und diese löst. Es ist hilfreich, wenn du dich dabei an folgende Arbeitsschritte hältst. In einigen Fällen kannst du einzelne Lösungsschritte auch überspringen oder weglassen. Zahlenrätsel Zahlenrätsel sind eine Form von Textaufgaben, bei denen Rechenvorschriften direkt formuliert sind. Du kannst sie in Terme „übersetzen“ und wie in den Beispielen als Ungleichung formulieren, die…

Anwendungen zum Lösen von Exponentialgleichungen

Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Logarithmische Einteilung Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Wird zu einem Wachstumsprozess danach gefragt, nach wie vielen Schritten (nach welcher Zeit) ein bestimmter Wert oder Anteil erreicht wird, kannst du die gesuchte Größe ermitteln, indem du eine Exponentialgleichung der Form G x = G * b x aufstellst und diese löst. Dabei gehst du Schritt für Schritt vor: Ermittle aus dem Text den Wachstumsfaktor b , den Anfangswert G und den gewünschten Zielwert (Funktionswert an der gesuchten Stelle x ). Durch Logarithmieren oder Exponentenvergleich kannst du die Exponentialgleichung in eine lineare oder quadratische Gleichung…

Anwendungen zum Satz des Pythagoras

Hier erfährst du, wie du den Satz des Pythagoras auf mathematische Probleme aus dem Alltag anwenden kannst. Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Rechtwinkligkeit prüfen Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Der Satz des Pythagoras hat eine Vielzahl von Anwendungen: mit Hilfe des Satzes lassen sich zum Beispiel die Bildschirmdiagonale eines Fernsehers, die Höhe einer Leiter, Entfernungen in Luftlinie und vieles mehr berechnen. In diesen Anwendungen ist immer rechtwinkliges Dreieck im Spiel, doch dies ist nicht immer so offensichtlich. Deshalb ist es wichtig, dass du beim Lösen solcher Aufgaben Schritt für Schritt vorgehst. Üblicherweise gibt man bei einem Bildschirm die…

Anwendungen zur Addition und Subtraktion von Brüchen

Textaufgaben lösen mit System Textaufgaben lösen mit System Textaufgaben lassen sich leichter lösen, wenn du Schritt für Schritt vorgehst und einem festen Plan folgst. So könntest du vorgehen: Du liest die Aufgabe und fragst dich anschließend: Ben geht für seinen Großvater einkaufen. Er kauft kg äpfel, kg Birnen und g Weintrauben. Wie viel Kilogramm Obst kauft Ben insgesamt ein? 1. Gefragt ist nach der Gesamtmenge an Obst in Kilogramm. Der Aufgabenstellung entnimmst du die einzelnen Mengen: 2. Da das Ergebnis in Kilogramm angegeben werden soll, wandelst du die Gramm in Kilogramm um: 3. Du addierst die gemischten Zahlen, indem du…

Anwendungen zur Multiplikation und Division von Brüchen

Textaufgaben lösen mit System Textaufgaben lösen mit System Textaufgaben lassen sich leichter lösen, wenn du Schritt für Schritt vorgehst und einem festen Plan folgst. So könntest du vorgehen. Du liest die Aufgabe und fragst dich anschließend: Eine Kelterei presst Apfelsaft. Von insgesamt l Apfelsaft werden 46 Flaschen zu je l abgefüllt. Der Rest des Saftes soll in kleinere Flaschen zu je l abgefüllt werden. Wie viele kleine Flaschen können gefüllt werden" 1. Gefragt ist nach der Anzahl kleiner Flaschen. Der Aufgabenstellung entnimmst du: 2. Du benötigst die Menge Apfelsaft, die nach Abfüllen in die großen Flaschen übrig bleibt.Also berechnest du…

Anwendungen zur Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Hier erfährst du, wie du mit den Winkelfunktionen mathematische Probleme aus dem Alltag lösen kannst. Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Vermessungen mit dem Theodolit Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“. Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel α und ß. Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse: Sinus = Gegenkathete Hypotenuse Der Kosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse: Kosinus = Ankathete Hypotenuse Der Tangens…

Aufstellen von Termen

In diesen Erklärungen erfährst du, was ein Term ist, wie du Terme aufstellen kannst, und wie du mit Hilfe von Termen verschiedene Situationen mathematisch beschreiben kannst. Was ist ein Term? Terme aufstellen Terme zu geometrischen Formen und Figuren Terme bei Sachaufgaben Was ist ein Term? Ein Term ist ein Rechenausdruck, in dem Zahlen, Variablen und Rechenzeichen vorkommen können. Mit einem Term lassen sich Sachverhalte oder Rechenanweisungen beschreiben. Für die unbekannten Zahlen oder Größen setzt du einen Platzhalter ein. Meistens werden als Platzhalter (auch Variable genannt) Buchstaben verwendet. Terme aufstellen Rechenanweisungen können mit Hilfe von Termen formuliert werden.Diese übersetzungshilfen können dir…

Ausklammern und ausmultiplizieren

Ausmultiplizieren Ausklammern Einfacher rechnen durch Ausklammern Einfacher rechnen durch Zerlegen eines Faktors Divisionsaufgaben Ausmultiplizieren Bei einem Produkt, in dem einer der Faktoren eine Summe oder eine Differenz ist, kannst du ausmultiplizieren. In beiden Beispielen hast du die Klammer aufgelöst. Deswegen wird das „ Ausmultiplizieren “ auch oft „ Klammern auflösen “ genannt. Ausklammern Addierst oder subtrahierst du Produkte , kannst du gemeinsame Faktoren ausklammern. Einfacher rechnen durch Ausklammern In vielen Fällen kannst du dir das Rechnen durch Ausklammern vereinfachen. Einfacher rechnen durch Zerlegen eines Faktors Willst du zwei Zahlen multiplizieren, ist es oft eine gute Idee, wenn du einen der…

Ausmultiplizieren und Ausklammern

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du eine Summe oder Differenz von Termen mit Zahlen oder Variablen multiplizieren (Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken) und wie du Summen oder Differenzen von Termen in Produkte umwandeln kannst (Ausklammern). Multiplikation von Klammerausdrücken Ausklammern Multiplikation von Klammerausdrücken Du kannst Summen — z.B. x + — bzw. Differenzen — z.B. a - a b — mit einem Term multiplizieren, indem du jedes einzelne Glied der Summe bzw. der Differenz mit diesem Term multiplizierst. Du wendest dabei das Distributivgesetz an.Terme können dabei Zahlen sein, aber auch Ausdrücke, die Variablen enthalten. Multiplikation einer Summe / Differenz mit einer Zahl.…

Bearbeiten von Wertetabellen

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Wertetabellen zur Termwertberechnung verwenden kannst und unter welchen Bedingungen zwei Terme äquivalent sind. Wertetabellen aufstellen Wertetabelle bearbeiten äquivalente Terme Wertetabellen aufstellen Wenn du mehrere Termwerte für verschiedene Werte einer Variablen bestimmen sollst, ist eine Wertetabelle hilfreich. Die Wertetabelle enthält für jede im Term verwendete Variable eine Zeile und eine Zeile für die zugehörigen Termwerte. Beispiele für Wertetabellen Der Term 2x + 4 enthält nur die Variable x. In die freien Felder werden die Termwerte für x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 und x = 5 eingetragen. Der…

Begründen und Beweisen

Hier erfährst du, wie du den Satz des Pythagoras beweisen kannst.Der Satz ist nach Pythagoras von Samos (* um 570 v. Chr.; † nach 510 v. Chr.) benannt. Er war aber schon lange vor Pythagoras bekannt.Die Babylonier und ägypter haben bereits um 1600 v. Chr. die Zusammenhänge am rechtwinkligen Dreieck erkannt und sie als selbstverständlich hingenommen. Begründen und beweisen Begründen und beweisen Ein Beweis ist eine logische Begründung mit Allgemeingültigkeit. Möchtest du zum Beispiel den Satz des Pythagoras beweisen, so genügt es nicht, die Gleichung a + b = c an einigen rechtwinkligen Dreiecken exemplarisch nachzuprüfen. Auch die Begründung „Es…

Beispiele für Funktionen

Hier kannst du wichtige Beispiele für Funktionen kennenlernen. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen als Funktionen Lineare Funktionen kennenlernen Lineare, antiproportionale und quadratische Funktionen im Vergleich Definitionslücken bei Funktionstermen Nullstellen bestimmen Proportionale und antiproportionale Zuordnungen als Funktionen Proportionale Zuordnungen sind spezielle Funktionen. Die Zuordnungsvorschrift jeder proportionalen Zuordnung lässt sich immer in der Form x m x schreiben, wobei m der Proportionalitätsfaktor ist. Eine Funktion mit solch einer Zuordnungsvorschrift heißt proportionale Funktion. In der Wertetabelle ist eine proportionale Zuordnung gegeben. Eine proportionale Zuordnung erkennst du daran, dass für jedes Wertepaar der Quotient aus y-Wert und x-Wert gleich ist: Für jedes Wertepaar (x;y) der…

Berechnen und Umformen von Termen

Berechnen von Termwerten Ausklammern in Termen mit Potenzen Die erste binomische Formel Die zweite binomische Formel Die dritte binomische Formel Terme aufstellen Terme zu geometrischen Formen und Figuren Multiplikation von Klammerausdrücken Ausklammern Berechnen von Termwerten Viele Alltagssituationen (z. B. die monatliche Handyrechnung) oder geometrische Sachverhalte (Flächeninhalt eines Rechtecks) lassen sich durch Terme mit Variablen beschreiben. Um einen Termwert bestimmen zu können, musst du die Variablen durch Zahlenwerte ersetzen, die entweder durch die Alltagssituation vorgegeben sind oder die in einer Aufgabenstellung genannt werden. Nachdem du die Zahlenwerte für die Variablen eingesetzt hast, rechnest du den Term Schritt für Schritt aus.Wenn aber…

Berechnen von Termwerten

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du in einem Term Variablen durch Zahlenwerte ersetzen und wie du den Wert eines Terms berechnen kannst. Berechnen von Termwerten Berechnen von Termwerten Viele Alltagssituationen (z. B. die monatliche Handyrechnung) oder geometrische Sachverhalte (Flächeninhalt eines Rechtecks) lassen sich durch Terme mit Variablen beschreiben. Um einen Termwert bestimmen zu können, musst du die Variablen durch Zahlenwerte ersetzen, die entweder durch die Alltagssituation vorgegeben sind oder die in einer Aufgabenstellung genannt werden. Nachdem du die Zahlenwerte für die Variablen eingesetzt hast, rechnest du den Term Schritt für Schritt aus.Wenn aber der Term z. B. verschiedene Rechenoperationen…

Berechnungen an Figuren und Körpern

Hier erfährst du, wie du mit dem Satz des Pythagoras Streckenlängen in Figuren und Körpern berechnen kannst. Höhe im gleichseitigen Dreieck Diagonale im Quadrat Raumdiagonale im Quader Höhe einer Pyramide Höhe im gleichseitigen Dreieck In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a und der Höhe h gilt: h = a Durch die Höhe wird das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt.Die Kathetenlängen sind h und a , die Hypotenusenlänge ist a . Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a = h + a Du stellst nach h um, ziehst die Wurzel und vereinfachst so weit wie möglich: Also:…

Berechnungen an Figuren und Körpern

Hier erfährst du, wie du mit den Winkelfunktionen unzugängliche Streckenlängen und Winkel in Figuren und Körpern berechnen kannst. Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“. Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel α und ß. Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse: Sinus = Gegenkathete Hypotenuse Der Kosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse: Kosinus = Ankathete Hypotenuse Der Tangens eines…

Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken

Hier erfährst du, wie du mit Hilfe der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens Seitenlängen und Winkelgrößen am rechtwinkligen Dreieck berechnen kannst und wie du dabei den Taschenrechner richtig benutzt. Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Benutzung des Taschenrechners Berechnung von Winkeln und Seitenlängen Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Da rechtwinklige Dreiecke mit gleich großen Winkeln ähnlich zueinander sind, sind die Seitenverhältnisse eindeutig durch einen der beiden spitzen Winkel festgelegt. Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“.Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel α und ß.…

Besondere Linien im Dreieck

Hier erfährst du, welche besonderen Linien (Transversalen) du in Dreiecke einzeichnen kannst, welche Eigenschaften diese Linien haben und wie du diese Linien für weiterführende Betrachtungen zu Dreiecken nutzen kannst.Der Begriff „Transversale“ kommt aus dem Lateinischen und heißt „Durchgehende“ oder „Querende“.Es gibt die Mittelsenkrechten, die Höhen, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden.Wie du die Transversalen konstruieren kannst, lernst du im Thema „Winkel, Grundkonstruktionen und Symmetrie“, denn notwendig ist dazu nur das Konstruieren einer Senkrechten, eines Mittelpunktes oder einer Winkelhalbierenden. Die Mittelsenkrechten Die Winkelhalbierenden Die Höhen Die Seitenhalbierenden Die Mittelsenkrechten Die Mittelsenkrechten sind Geraden. Sie stehen senkrecht auf den Dreiecksseiten und verlaufen durch…

Besondere Punkte linearer Funktionen

Hier erfährst du, welche besonderen Punkte eine lineare Funktion hat, wie du sie bestimmst und welche Bedeutung diese Punkte in Sachsituationen haben. Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen Berechnen der Nullstelle Bestimmen des y-Achsenabschnitts Berechnen des y-Achsenabschnitts Bedeutung der Achsenabschnitte in Sachsituationen Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen Jeder Funktionsgraph, der nicht parallel zur x-Achse verläuft, schneidet beide Koordinatenachsen. Der Schnittpunkt mit der x-Achse hat 0 als y-Koordinate: ( x | ) Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat 0 als x-Koordinate: ( | y ) Die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet, heißt Nullstelle (oder…

Beziehungen zwischen Winkeln

Neben- und Scheitelwinkel an Geradenkreuzungen identifizieren Eigenschaften von Neben- und Scheitelwinkel an Geradenkreuzungen Neben- und Scheitelwinkel an Geradenkreuzungen berechnen Stufen- und Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen identifizieren Eigenschaften von Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkeln an geschnittenen Parallelen Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen berechnen Nebenwinkel mit Hilfe von Gleichungen berechnen Winkel an Doppelparallelen berechnen Winkel an komplexen Geradenkreuzungen berechnen Mehrere Winkel an komplexen Geradenkreuzungen berechnen Neben- und Scheitelwinkel an Geradenkreuzungen identifizieren Scheitelwinkel liegen einander gegenüber. Nebenwinkel haben einen gemeinsamen Schenkel . Eigenschaften von Neben- und Scheitelwinkel an Geradenkreuzungen Scheitelwinkelsatz: Scheitelwinkel sind gleich groß. Nebenwinkelsatz: Nebenwinkel ergänzen sie sich zu…

Binomische Formeln

Hier erfährst du, was binomische Formeln sind und wie du sie geschickt zum Lösen von Aufgaben verwenden kannst.Die binomischen Formeln beschreiben einen Spezialfall der Multiplikation von zwei Klammertermen.Das Wort „binomisch“ kommt aus dem Lateinischen von „bi“ + „nomen“ und bedeutet so viel wie „zwei Namen“, d. h. die Klammern enthalten genau zwei Summanden oder eine Differenz.Es gibt drei binomische Formeln: Die erste binomische Formel Die zweite binomische Formel Die dritte binomische Formel Die erste binomische Formel a + b = a + b * a + b = a + a b + b Die erste binomische Formel lässt sich…

Brüche am Zahlenstrahl

Hier erfährst du, wie du Brüche am Zahlenstrahl darstellen und vergleichen kannst. Brüche am Zahlenstrahl Echte Brüche am Zahlenstrahl eintragen Gemischte Zahlen am Zahlenstrahl eintragen Brüche am Zahlenstrahl vergleichen Brüche am Zahlenstrahl Du kannst jeden Bruch einem Punkt auf dem Zahlenstrahl zuordnen. Verschiedene Brüche, die denselben Wert haben, stellen denselben Punkt auf dem Zahlenstrahl dar. oder Echte Brüche am Zahlenstrahl eintragen Du kannst echte Brüche am Zahlenstrahl eintragen, indem du den Bereich zwischen 0 und 1 in so viele gleich große Abschnitte teilst, wie der Nenner es dir anzeigt. Nach so vielen Abschnitten, wie der Zähler es dir anzeigt, kannst…

Brüche und Dezimalzahlen

Umwandeln von Brüchen mit den Nennern 10, 100, 1000, ... in Dezimalzahlen Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen durch Erweitern des Nenners auf 10, 100, 1000, ... Vergleich von gleichnamigen Brüchen Vergleich von zählergleichen Brüchen Vergleich von ungleichnamigen Brüchen Prozente aus einer Grafik ablesen Umwandeln von Brüchen mit den Nennern 10, 100, 1000, ... in Dezimalzahlen Brüche mit einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000, …) im Nenner lassen sich sehr einfach in eine Dezimalzahl umwandeln. 10 = 0 5 Es kann vorkommen, dass der Zähler weniger Stellen hat, als der Nenner Nullen. Dann müssen für die fehlenden Stellen entsprechend Nullen zwischen dem…

Brüche und Prozente

Hier erfährst du, wie du Brüche in Prozente und Prozente in Brüche umwandeln kannst. Brüche und Prozente Prozente aus einer Grafik ablesen Prozentangaben in Brüche umwandeln Brüche in Prozentangaben umwandeln Prozentangaben schätzen Brüche und Prozente Prozent bedeutet „von 100“ und wird mit dem Zeichen % ausgedrückt. Prozente sind eine andere Schreibweise für Brüche mit dem Nenner 100.Prozente kommen häufig im Alltag vor, z.B. bei Rabatten im Verkauf oder bei Umfragen. % ist einer von 100 das entspricht % sind 7 von 100 das entspricht % sind 21 von 100 das entspricht % sind 97 von 100 das entspricht Wichtige Prozentwerte,…

Brüche von Ganzen subtrahieren

Hier erfährst du, wie du natürliche Zahlen in Brüche zerlegen kannst. Zerlegen einer natürlichen Zahl Zerlegen einer natürlichen Zahl in der Subtraktion Zerlegen einer natürlichen Zahl Das Zerlegen einer natürlichen Zahl in Bruchteile benötigst du, wenn ein Bruch von einer natürlichen Zahl subtrahiert werden soll. Ein Ganzes lässt sich in und zerlegen: Ein Ganzes lässt sich in und zerlegen: Zerlegen einer natürlichen Zahl in der Subtraktion Wenn du einen Bruch von einer natürlichen Zahl subtrahieren willst, dann musst du nur eines der Ganzen in so viele Teile einteilen,wie es der Nenner des Bruchs angibt, der subtrahiert werden soll. Anschließend subtrahierst…

Bruchgleichungen lösen und darstellen

Hier erfährst du, wie du Bruchgleichungen durch Probieren, graphisch oder durch Umformungen lösen kannst.Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung die Bruchterme enthält. Da Bruchgleichungen nicht für alle Zahlen definiert sein müssen, bestimmst du den maximalen Definitionsbereich aller Bruchterme und versicherst dich, dass jeder berechnete Wert für die unbekannte Variable im Definitionsbereich jedes Bruchterms enthalten ist. Lösen durch Probieren Graphisch lösen Lösen durch Umformen Gleichungen mit Potenzrechnung lösen Lösen durch Probieren Einfache Bruchgleichungen kannst du durch Probieren lösen.Wenn du einen Wert für die Variable x gewählt hast, überprüfst du, ob die Bruchterme auf beiden Seiten denselben Wert für x ergeben.Außerdem überprüfst du,…

Bruchrechnung mit Klammern

Hier erfährst du, wie du eine Rechnung mit Brüchen und Klammern durchführen kannst. Bruchrechnen mit Klammern Bruchrechnen mit Klammern In der Bruchrechnung gelten die gleichen Rechenregeln wie bei natürlichen Zahlen. 1) Aufgaben in Klammern berechnest du zuerst. 2) Punkt- vor Strichrechnung. 3) Du rechnest von links nach rechts. Rechne aus: + * Addieren Als erstes addierst du die Brüche in der Klammer. + = + * = * Multiplizieren Zähler: * = Nenner: * = * = Rechne aus: * + / Addieren Zuerst die Klammer + = + = * + / = * / Multiplizieren Rechne von links…

Darstellung von Brüchen

Was ist ein Bruch? Darstellung von Brüchen als Anteile von Figuren Was ist ein Bruch? Ein Bruch gibt einen Bruchteil von einem Ganzen an. Jeder Bruch besteht aus Zähler und Nenner , die durch einen Bruchstrich voneinander getrennt werden. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wurde. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile ausgewählt wurden. Darstellung von Brüchen als Anteile von Figuren Du kannst einen Bruch mit Hilfe von Figuren darstellen. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile die Figur zerlegt wurde. Der Zähler gibt an, wie viele dieser…

Der Kosinussatz

Hier erfährst du, wie du mit dem Kosinussatz Seitenlängen und Winkel an beliebigen Dreiecken berechnen kannst Der Kosinussatz Seitenlänge berechnen Winkel berechnen Der Kosinussatz Seitenlänge berechnen Mit dem Kosinussatz kannst du aus den Längen zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws) die Länge der dritten Seite berechnen. Winkel berechnen Mit dem Kosinussatz kannst du aus den Längen der drei Seiten (sss) jeden der drei Winkel berechnen.

Der Sinussatz

Hier erfährst du, wie du mit dem Sinussatz Seitenlängen und Winkel in beliebigen Dreiecken berechnen kannst. Der Sinussatz Seitenlängen berechnen Winkel berechnen Der Sinussatz Das Verhältnis der Längen zweier Seiten ist gleich dem Verhältnis der Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel. Seitenlängen berechnen Mit dem Sinussatz kannst du aus zwei Winkeln und der Länge einer der beiden gegenüberliegenden Seiten (sww) die Länge der anderen gegenüberliegenden Seite berechnen. Dreieck ABC mit der Länge der Seite b und den Winkeln α und β Winkel berechnen Mit dem Sinussatz kannst du aus den Längen zweier Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel (Ssw) den…

Dezimalzahlen am Zahlenstrahl

In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Dezimalzahlen am Zahlenstrahl darstellen und vergleichen kannst. Dezimalzahlen am Zahlenstrahl darstellen Dezimalzahlen am Zahlenstrahl vergleichen Dezimalzahlen am Zahlenstrahl darstellen Dezimalzahlen lassen sich genauso wie natürliche Zahlen und Brüche am Zahlenstrahl darstellen. Je nach Unterteilung des Zahlenstrahls trägst du Dezimalzahlen mit einer Nachkommastelle (Zehntel), mit zwei Nachkommastellen (Hundertstel), drei Nachkommastellen (Tausendstel), usw. ein. Zehnteleinteilung Hundertsteleinteilung Dezimalzahlen am Zahlenstrahl vergleichen Dezimalzahlen lassen sich genauso wie natürliche Zahlen und Brüche am Zahlenstrahl vergleichen. Die kleinere Zahl steht links von der größeren Zahl am Zahlenstrahl. Dezimalzahlen am Zahlenstrahl vergleichen ist kleiner als ,denn liegt links von .…
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