Da Bruchgleichungen nicht für alle Zahlen definiert sein müssen, bestimmst du den maximalen Definitionsbereich aller Bruchterme und versicherst dich, dass jeder berechnete Wert für die unbekannte Variable im Definitionsbereich jedes Bruchterms enthalten ist.
gewählt hast, überprüfst du, ob die Bruchterme auf beiden Seiten denselben Wert für
ergeben.Außerdem überprüfst du, ob die Bruchterme für den gefundenen Wert
definiert sind.
und
ist eine Lösung der Bruchgleichung
?
in die Bruchterme
und
ein und prüfst, ob die Termwerte gleich sind.Hier ergibt nur
eine wahre Aussage.Du setzt
in den Term
ein:
Du setzt
in den Term
ein:
Die Ergebnisse sind gleich und die Bruchterme
und
sind für
definiert.
ist eine Lösung der Bruchgleichung.
ist Lösung der Bruchgleichung
.
?
in beide Bruchterme ein und überprüfst, ob die Ergebnisse gleich sind.Linke Seite:
Rechte Seite:
Die beiden Werte sind verschieden, also ist 1 keine Lösung der Bruchgleichung.
?
Die Bruchterme sind für
nicht definiert, da in beiden Fällen der Nenner null wird.Also kann 3 keine Lösung der Bruchgleichung sein.
Beide Bruchterme sind für
definiert.
Du setzt 2 für
in beide Bruchterme ein und überprüfst, ob die Termwerte gleich sind.
Linke Seite:
Rechte Seite:
=-6
Die beiden Werte stimmen überein, also ist 2 eine Lösung der Bruchgleichung.
Bruchgleichungen können auch mehrere Lösungen haben.Bei diesem Beispiel ist 1 eine weitere Lösung.
-Koordinate des Schnittpunktes beider Graphen ist die Lösung der Bruchgleichung.
und
.
Lies die Lösung der Gleichung
im Koordinatensystem ab.
-Koordinate ablesen
.
Beachte, dass die Bruchgleichung und die umgeformte Gleichung verschiedene Definitionsbereiche haben können.Du bestimmst also zuerst den maximalen Definitionsbereich der Bruchterme.
Enthält die Bruchgleichung nur einen Bruchterm, dann multiplizierst du die gesamte Gleichung mit dem Nenner dieses Bruchterms.
der Bruchgleichung
in der Grundmenge ℚ und löse sie.
ist für
nicht definiert, denn
für
.
und erhältst eine nennerfreie Gleichung:
Diese Gleichung löst du nach
auf:
Also:
und
Da -2 aber nicht im Definitionsbereich enthalten ist, ist -2 keine Lösung der Bruchgleichung.
Lösen durch Multiplizieren mit dem HauptnennerEnthält die Bruchgleichung mehrere Bruchterme, dann multiplizierst du beide Seiten der Bruchgleichung mit dem Hauptnenner.
der Bruchgleichung
in der Grundmenge ℚ und löse sie.
nicht definiert, denn
für
.Der Bruchterm
ist außerdem auch für
nicht definiert, denn der Nenner enthält
als Faktor.
.
Du multiplizierst beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner und erhältst eine nennerfreie Gleichung:
Diese Gleichung löst du nach
auf.
Lösen durch Multiplizieren über KreuzEnthält die Bruchgleichung auf jeder Seite nur einen Bruchterm, so multiplizierst du über Kreuz.
.
Vergiss die Klammern nicht.
gilt nur für
und für
Die Bruchterme sind für
und für
definiert.
oder der Form
entsteht, von der du weißt, dass
eine Quadratzahl und
ein Kubikzahl ist.Sind
und
keine zweiten oder dritten Potenzen von ganzen Zahlen, so löst du die Gleichung näherungsweise mit Hilfe eines Funktionsgraphen.
an.
Also
und
.
;
}
an.
Also
.
}
an. Schaue dir dazu den Graphen der Funktion f mit
an:
und liest die
-Koordinaten an der
-Achse ab.
