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Bruchgleichung

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Unter einer Bruchgleichung versteht man in der Schulmathematik eine Bestimmungsgleichung, die mindestens eine Unbekannte im Nenner erhält.

Beispiel:

\(\frac{x-4}{3x-4}-\frac{4x^{2}}{12x^{2}-16x}=4\)

1. Definitionsbereich:

Da der Nenner nie Null sein kann, muss der Definitionsbereich für die Werte eingeschränkt werden, für die der Nenner nicht null wird.
Im Beispiel gilt: \(3x - 4 = 0\) falls \(x = \frac 4 3\) und \(12x^2 - 16x = 4x(3x - 4) = 0\), falls \(x = \frac 4 3\) oder \(x=0\). Damit ist der maximale Definitionsbereich  \(\mathbb{R}\setminus \left \{ 0;\frac{4}{3} \right \}\).

2. Hauptnenner ist im Beispiel \(12x^2 - 16x\).

3. Umformung:

\(\frac{x-4}{3x-4}-\frac{4x^{2}}{12x^{2}-16x}=4\) oder \(\frac{4x^{2}-16x-4x^{2}}{12x^{2}-16x}=4\) oder

\(-16x = 48x^{2}-64x\)

\(48x^{2}}-48x=0\)

\(48x(x - 1)=0\)

\(x_{1}\)=\(0\)    \(x_{2}\)=\(1\)

Einzige Lösung ist \(x=1\), da \(x=0\) nicht Element der Definitionsmenge ist.


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