Bruchgleichung
Unter einer Bruchgleichung versteht man in der Schulmathematik eine Bestimmungsgleichung, die mindestens eine Unbekannte im Nenner erhält.
Beispiel:
\(frac{x-4}{3x-4}-frac{4x^{2}}{12x^{2}-16x}=4\)
1. Definitionsbereich:
Da der Nenner nie Null sein kann, muss der Definitionsbereich für die Werte eingeschränkt werden, für die der Nenner nicht null wird.
Im Beispiel gilt: \(3x - 4 = 0\) falls \(x = frac 4 3\) und \(12x^2 - 16x = 4x(3x - 4) = 0\), falls \(x = frac 4 3\) oder \(x=0\). Damit ist der maximale Definitionsbereich \(mathbb{R}setminus left { 0;frac{4}{3} right }\).
2. Hauptnenner ist im Beispiel \(12x^2 - 16x\).
3. Umformung:
\(frac{x-4}{3x-4}-frac{4x^{2}}{12x^{2}-16x}=4\) oder \(frac{4x^{2}-16x-4x^{2}}{12x^{2}-16x}=4\) oder
\(-16x = 48x^{2}-64x\)
\(48x^{2}}-48x=0\)
\(48x(x - 1)=0\)
\(x_{1}\)=\(0\) \(x_{2}\)=\(1\)
Einzige Lösung ist \(x=1\), da \(x=0\) nicht Element der Definitionsmenge ist.