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Anwendungen zum Satz des Pythagoras

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Hier erfährst du, wie du den Satz des Pythagoras auf mathematische Probleme aus dem Alltag anwenden kannst.

Lösen von Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt

Der Satz des Pythagoras hat eine Vielzahl von Anwendungen: mit Hilfe des Satzes lassen sich zum Beispiel die Bildschirmdiagonale eines Fernsehers, die Höhe einer Leiter, Entfernungen in Luftlinie und vieles mehr berechnen. In diesen Anwendungen ist immer rechtwinkliges Dreieck im Spiel, doch dies ist nicht immer so offensichtlich. Deshalb ist es wichtig, dass du beim Lösen solcher Aufgaben Schritt für Schritt vorgehst.
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_1.jpg
Üblicherweise gibt man bei einem Bildschirm die Länge der Diagonalen in Zoll (1" = 2.54 cm ) an. Berechne dieses Maß für das abgebildete Modell. Gib die Länge der Diagonalen (in Zoll) auf halbe Zoll genau an.
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_2.jpg
Diagonale berechnen
Um die Länge d der Diagonalen zu berechnen, betrachtest du das rechtwinklige Dreieck.
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_3.jpg
Die Diagonale d des Bildschirms ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, die Breite und die Höhe des Bildschirms sind die beiden Katheten. Gegeben sind die Längen der beiden Katheten (Breite 36.1 cm und Höhe 20.3 cm des Bildschirms), gesucht ist die Länge der Hypotenuse (Länge der Bildschirmdiagonalen d). Die Diagonale in Zentimetern berechnest du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_4.jpg
Du ziehst die Wurzel:
d 41.4
Du rechnest in Zoll um und rundest:
41.4 / 2.54 16.299 ...
Also:
d 16.3
Die Diagonale ist 16.3 Zoll lang.
Wie hoch reicht die Leiter?
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Höhe berechnen
Um die Höhe h der Leiter zu berechnen, betrachtest du das rechtwinklige Dreieck. /wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_6.jpg
Die Leiter ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, die Breite des Wassergrabens und die Höhe der Leiter sind die beiden Katheten. Gegeben sind die Länge der Hypotenuse (Länge der Leiter 7.4 m ) und die Länge einer Kathete (Breite des Wassergrabens 2.8 m ). Gesucht ist die Länge h der anderen Kathete (Leiterhöhe in m ).Nach dem Satz des Pythagoras gilt:/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_7.jpg
Die Höhe beträgt 6.85 m .
Um den Baum zu fällen, befestigt der Holzfäller ein Seil an der Spitze des Baumes und zieht daran. Wie lang muss das Seil mindestens sein, damit der Holzfäller den Baum nicht auf den Kopf bekommt?
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Länge berechnen
Um einen Unfall zu vermeiden, muss der Holzfäller außer Reichweite des kippenden Baumes stehen. Diese ist gleich der Höhe des Baumes von der Kerbe bis zur Spitze: 12 m - 1 m = 11 m Um zu überprüfen, ob der Holzfäller in sicherem Abstand d zum fallenden Baum steht, betrachtest du das rechtwinklige Dreieck.
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_9.jpg
Das gespannte Seil ist die Hypotenuse, der Baum (ohne Stumpf) ist eine Kathete und die Entfernung zwischen dem Baum und dem Holzfäller ist die andere Kathete.Gegeben sind die Längen der Katheten (beide gleich 11 m ).Gesucht ist die Länge x der Hypotenuse (Seillänge in m ).
Du stellst die Gleichung für den Satz des Pythagoras auf und löst diese nach x auf:/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_10.jpg
Das Seil muss mindestens 15.56 m lang sein.
Die Leiter des Feuerwehrfahrzeugs kann bis zu einer Länge von 22 m ausgefahren werden. Reicht die Leiter bis zum Fenster?
/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_11.jpg
Höhe berechnen
Um die Gesamthöhe h der Leiter zu berechnen, betrachtest du das rechtwinklige Dreieck./wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_12.jpg
Die Leiter ist die Hypotenuse, das Fahrzeug bildet die eine Kathete und die Strecke an der Hauswand, soweit die Leiter vom Fahrzeug aus reicht, die andere Kathete.Gegeben sind die Länge der Hypotenuse (Leiterlänge 22 m ) und die Länge der einen Kathete (Fahrzeuglänge 9 m ). Gesucht ist die Länge a der anderen Kathete (Reichweite in m ). Die Gesamthöhe der Leiter berechnest du zum Schluss, indem du zu a die Fahrzeughöhe 2.8 m addierst. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:/wp-content/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPAnw_13.jpg
Die Leiter reicht also maximal 20.1 + 2.8 m = 22.9 m hoch und erreicht daher das Fenster nicht.
Die Leiter reicht maximal 22.9 m hoch und reicht daher nicht bis zum Fenster.

Rechtwinkligkeit prüfen

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras und seiner Umkehrung kannst du prüfen, ob ein Winkel rechtwinklig ist, indem du diese Schritte befolgst :
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Mit Hilfe eines Maßbandes möchte Lukas prüfen, ob die Ecke seines Klassenzimmers wirklich rechtwinklig sind.
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Rechtwinkligkeit prüfen
Ein Dreieck mit den Seiten a, b und c ist rechtwinklig mit der Hypotenuse c, wenn a 2 + b 2 = c 2 gilt. Du berechnest beide Seiten der Formel mit den Werten 0.8 für a, 0.8 für b und 1.1 für c.
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Die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 ist nicht erfüllt, also ist die Ecke kein rechter Winkel.
Die Ecke ist nicht rechtwinklig.

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