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Ebene Figuren

Allgemeines Dreieck Für den Umfang U eines allgemeinen Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c gilt U = a + b + c Für den Flächeninhalt A eines allgemeinen Dreiecks mit einer Grundseite der Länge g und mit der Höhe h gilt A = \frac{1}{2}~g\cdot h Speziell für die Seitenlängen a, b und c und den zugehörigen Höhen h_a, h_b bzw. h_c gilt A = \frac{1}{2}~a\cdot h_a= \frac{1}{2}~b\cdot h_b= \frac{1}{2}~c\cdot h_c Mit s =\frac{U}{2} gilt A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad\mbox{(Formel von Heron)} Für die Summe S der Innenwinkel \alpha, \beta und \gamma eines allgemeinen Dreiecks gilt S =\alpha+\beta+\gamma = 180^\circ Rechtwinkliges…

Funktionen und Gleichungen

Lineare Funktionen und Gleichungen Eine lineare Funktion f wird durch die Funktionsgleichung y = f(x) = m\cdot x + n definiert. Dabei ist m die Steigung des Graphen. n gibt den y-Achsenabschnitt an, die Stelle, an der der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Sind P(x_p|y_P) und Q(x_Q|y_Q) zwei verschiedene Punkte auf dem Graphen, so gilt für die Steigung m = \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P} Im Fall m > 0 ist die Funktion monoton steigend, im Fall m0, und nach unten, falls a

Körper

Würfel Ein Würfel der Kantenlänge a besitzt das Volumen V = a^3 und den Oberflächeninhalt O = 6a^2 Die Raumdiagonale besitzt die Länge d=a\sqrt{3}     Quader Ein Quader der Breite a, der Tiefe b und der Höhe c besitzt das Volumen V=abc und den Oberflächeninhalt O=2(ab + bc + ac)     Mehrseitiges Prisma Ein n-seitiges Prisma mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h besitzt das Volumen V = G \cdot h Die n Seitenflächen sind Parallelogramme (Rechtecke beim geraden Prisma), deren Flächeninhalte S_k sich jeweils als Produkt der Grundseitenlänge mit der Seitenflächenhöhe berechnen lassen. Für den Oberflächeninhalt…

Potenzgesetze

Für  a\in \mathbb{Q} (oder \in \mathbb{R}) und n\in \mathbb{N} wird die n. Potenz von a definiert als \underbrace{a^n = a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{n ~Faktoren}~, ~~ a^1 = a~, ~~a^0 = 1   Potenzgesetze für Potenzen mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten Für a, b\in \mathbb{R} und n, m\in \mathbb{Z} gilt a^n\cdot a^m = a^{n + m} a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n (a^n)^m = a^{nm} \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\quad\mbox{falls}~b\ne 0 Beachte hierbei, dass im Fall negativer Exponenten die Basis \ne 0 sein muss. Potenzgesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten Für k = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} (mit…

Rechenregeln

Für das Rechnen mit Zahlen oder Variablen gelten die folgenden Rechenregeln: Assoziativgesetz der Addition Für alle n, m \in \mathbb{N} gilt Assoziativgesetz der Multiplikation Für alle gilt (n \cdot m) \cdot k = n \cdot (m \cdot k) Kommutativgesetz der Addition Für alle gilt n + m = m + n Kommutativgesetz der Multiplikation Für alle gilt n \cdot m = m \cdot n Distributivgesetze Für alle gilt (n + m) \cdot k = n \cdot k + m \cdot k  k \cdot (n + m) = k \cdot n + k \cdot m Die gleichen Rechengesetze gelten auch in \mathbb{Z},\mathbb{Q}…

Rechenregeln für Wurzelausdrücke

Für a \in\mathbb{R}, a \ge 0 und n\in\mathbb{N}, n\ge 2 wird definiert \sqrt{a} = x, \quad\mbox{wobei}\quad x\ge 0~,~~ x^n = a   Für a, b \in\mathbb{R}, a,b \ge 0 und n, m\in\mathbb{N}, n,m\ge 2 gilt \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\quad(\mbox{falls}~ b\ne 0) \sqrt{\sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt{a}} = \sqrt{a} \sqrt{a^m} = \left(\sqrt{a}\right)^m

Statistik: Lagemaße

Arithmetisches Mittel (Mittelwert) Das arithmetische Mittel \bar x = A(x_1,\dots, x_n) endlich vieler Zahlen x_1, \dots , x_n wird nach der Formel A(x_1,\dots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k berechnet. Geometrisches Mittel Das geometische Mittel G(x_1,\dots, x_n) endlich vieler positiver Zahlen x_1, \dots , x_n wird nach der Formel G(x_1,\dots, x_n) = \sqrt{x_1 \cdot \cdots \cdot x_n} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k} berechnet. Harmonisches Mittel Das harmonische Mittel H(x_1,\dots, x_n) endlich vieler positiver Zahlen x_1, \dots , x_n wird nach der Formel H(x_1,\dots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots +\frac{1}{x_n}} berechnet. Median oder Zentralwert Der Median \hat x einer…

Statistik: Streumaße

Spannweite Die Spannweite d einer der Größe nach geordneten Datenreihe x_1, \dots, x_n$ ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der Reihe d = x_{\rm max} - x_{\rm min}$ Mittlere absolute Abweichung Die mittlere absolute Abweichung e einer Datenreihe x_1, \dots, x_n ist gegeben durch e=A(|x_1-\bar x|,\dots,|x_n-\bar x|) =\frac{1}{n}(|x_1-\bar x|+ \cdots + |x_n-\bar x|) =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n|x_k-\bar x| Varianz und Standardabweichung Wird aus einer Datenreihe eine Stichprobe von n Werten x_1, \dots, x_n genommen, so liefert die Varianz s^2 ein Maß für die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert \bar x. Sie wird mit der Formel s^2=\frac{1}{n-1}\left((x_1-\bar x)^2 + \cdots…

Teilbarkeit

Für n,m \in \mathbb{N} wird definiert: n|m\quad\mbox{falls es ein}~k\in\mathbb{N}~\mbox{gibt mit}\quad m = k\cdot n n heißt dann Teiler von m. Ist kein Teiler von , so schreibt man n\not{|}~m. Bei der Division von durch bleibt dann ein Rest. Der größte gemeinsame Teiler von und ist definiert durch ggT(n;m) = \max\{k\in\mathbb{N}~ |~ k|n ~\mbox{und}~ k|m\} Das ist die größte natürliche Zahl, die sowohl als auch teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache von und ist definiert durch kgV(n;m) = \min\{k\in\mathbb{N}~ |~ n|k ~\mbox{und}~ m|k\} Das ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl von als auch von geteilt wird. Für die Überprüfung der Teilbarkeit durch…

Terme

Binomische Formeln Für Variable x und y gilt (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \quad\mbox{(erste binomische Formel)} (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \quad\mbox{(zweite binomische Formel)} (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \quad\mbox{(dritte binomische Formel)} Prozentrechnung Für den Grundwert G, den Prozentsatz p~ \symbol{37} = \frac{p}{100} und den Prozentwert P gelten die Formeln P = \frac{G\cdot p}{100}\quad\mbox{Prozentwert aus Grundwert und Prozentsatz}   p~\symbol{37} = \frac{P\cdot 100~\symbol{37}}{G}= \frac{P}{G} \quad\mbox{Prozentsatz aus Grundwert und Prozentwert} G = \frac{W\cdot 100}{p}\quad\mbox{Grundwert aus Prozentsatz und Prozentwert}

Umwandlung von Größeneinheiten

Abbildung 1: Umwandlung von Längeneinheiten Abbildung 2: Umwandlung von Flächeneinheiten Abbildung 3: Umwandlung von Raumeinheiten Abbildung 4: Umwandlung von Hohlmaßen Abbildung 5: Umwandlung von Masseneinheiten Abbildung 6: Umwandlung von Zeiteinheiten  

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sind die zufälligen Ergebnisse eines Zufallsexeriments alle gleich wahrscheinlich, so spricht man von einem Laplace-Experiment. Für die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E gilt dann P(E) = \frac{\mbox{Anzahl der f"ur $E$ g"unstigen Ergebnisse}}{\mbox{Anzahl aller m"oglichen Ergebnisse}} Für das Ereignis \Omega, das aus allen möglichen Ergebnissen besteht, gilt P(\Omega) = 1 Es ist das sichere Ereignis, denn es tritt auf jeden Fall ein. Ein unmögliches Ereignis wird durch die leere Menge beschrieben und dafür gilt P(\emptyset) = 0  


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