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Potenzgesetze

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Für  \(a\in \mathbb{Q}\) (oder \(\in \mathbb{R}\)) und \(n\in \mathbb{N}\) wird die \(n\). Potenz von \(a\) definiert als

\(\underbrace{a^n = a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{n ~Faktoren}~, ~~ a^1 = a~, ~~a^0 = 1\)


 

Potenzgesetze für Potenzen mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten
Für \(a, b\in \mathbb{R}\) und \(n, m\in \mathbb{Z}\) gilt

\(a^n\cdot a^m = a^{n + m}\)

\(a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n\)

\((a^n)^m = a^{nm}\)

\(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)

\(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\quad\mbox{falls}~b\ne 0\)

Beachte hierbei, dass im Fall negativer Exponenten die Basis \(\ne 0\) sein muss.

Potenzgesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten
Für \(k = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}\) (mit \(p \in \mathbb{Z}\) und \(q \in \mathbb{N}\) ) und \(a \in \mathbb{R}, a \ge 0\) , gilt

\(a^{\frac{p}{q}} = (a^p)^{\frac{1}{q}} = \sqrt[q]{a^p}\)
 

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