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Irrationale Zahlen kennenlernen

In diesen Erklärungen erfährst du, welche Beziehungen zwischen den Mengen der rationalen, der irrationalen und der reellen Zahlen bestehen. Die rationalen Zahlen Die irrationalen Zahlen Die reellen Zahlen Beweis der Irrationalität Die rationalen Zahlen Die Menge der Rationalen Zahlen (ℚ) besteht aus allen Zahlen, die als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können. Da sich alle natürlichen Zahlen als unechte Brüche darstellen lassen, sind natürliche und ganze Zahlen auch rationale Zahlen. Die Zahlen , , , … sind rationale Zahlen. Du kannst sie als unechten Bruch darstellen. Zum Beispiel: = oder = = - = = - Eine Dezimalzahl ist…

Quadratwurzel kennenlernen

Hier lernst du die Quadratwurzel von Zahlen und Termen kennen und erfährst, wie du den Definitionsbereich eines Terms mit Wurzeln bestimmen kannst. Außerdem erfährst du, wie du Gleichungen der Form x = r lösen kannst. Quadratwurzel einer Zahl Quadratwurzel eines Terms Definitionsbereich bestimmen Gleichungen lösen Quadratwurzel einer Zahl Die Quadratwurzel (oder kurz Wurzel) einer positiven Zahl a ist die positive Zahl b mit b = a . Sie wird mit a bezeichnet. Die Quadratwurzel von 0 ist 0. Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt auch Radikand, die Quadratwurzel b auch Radix. Beide sind immer größer oder gleich null.Es gilt…

Rationalmachen des Nenners

Hier erfährst du, wie du einen Bruchterm so umformst, dass der Nenner keine Wurzelterme mehr enthält. Diese Umformungen heißen Rationalmachen des Nenners, wobei zwei Fälle unterschieden werden: Es kann vorkommen, dass der umgeformte Term einen anderen Definitionsbereich hat als der ursprüngliche Term. Die Umformungen sind immer nur für den kleineren Definitionsbereich äquivalenzumformungen. Bruchterme mit einfachem Wurzelterm im Nenner Bruchterme mit Binom im Nenner änderung des Definitionsbereichs Bruchterme mit einfachem Wurzelterm im Nenner Sind der Zähler und der Radikand der Wurzel im Nenner nicht teilerfremd, kannst du mit der Wurzel des größten gemeinsamen Teilers kürzen. = Für jede nicht negative reelle…

Rechengesetze für Wurzeln

Hier erfährst du, wie du mit Wurzeln rechnest und welche Regeln du dabei beachten musst.Wurzeln, die irrationale Zahlen sind, können nur als Näherungswert berechnet werden. Deshalb ist das Ziel beim Umformen von Wurzeltermen, als Radikanden die kleinstmögliche natürliche Zahl zu erhalten und möglichst viele Wurzeln ganz zu entfernen. Multiplizieren und dividieren Addieren und subtrahieren Teilweise Wurzelziehen Brüche mit Wurzeltermen im Nenner Multiplizieren und dividieren Mit Wurzeln kannst du rechnen wie mit anderen Zahlen auch. Multiplikation einer Zahl mit einer WurzelWenn eine ganze Zahl und eine Wurzel miteinander multipliziert werden, wird üblicherweise das Multiplikationszeichen nicht geschrieben. * = Multiplikation und Division…

Rechnen mit Potenzen mit rationalem Exponenten

Hier erfährst du, wie du mit Potenzen mit rationalen Exponenten und mit Wurzeln mit beliebigen ganzzahligen Wurzelexponenten rechnen kannst. Die n-te Wurzel Potenzen mit rationalen Exponenten Potenzgesetze Die n-te Wurzel Potenzieren und Radizieren sind Umkehroperationen. Zum Quadrieren (Potenzieren mit 2) gehört die Quadratwurzel: = und = Der Wurzelexponent 2 wird meist weggelassen. Zum Potenzieren mit 3 gehört die Kubikwurzel (dritte Wurzel). = und = Genauso gibt es auch die vierte, fünfte, sechste usw. Wurzel. = und = Allgemein gilt: Für alle Zahlen a ≥ 0 ist a n diejenige nichtnegative Zahl b , für die gilt: b n = a…

Rechnen mit Wurzeltermen

Hier erfährst du, wie du mit Wurzeltermen rechnest und welche Regeln du dabei beachten musst. Definitionsbereich bestimmen Multiplizieren und Dividieren Addieren und Subtrahieren Teilweise Wurzelziehen Brüche kürzen Definitionsbereich bestimmen Der Radikand einer Wurzel ist nie negativ. Der maximale Definitionsbereich D von x besteht also aus allen positiven Zahlen und der Null. Kurz: x ist definiert für alle x ≥ 0 Bestimme den Definitionsbereich D von x + . Definitionsbereich bestimmen x + ist definiert für alle x, für die der Radikand positiv oder null ist. Also x + ≥ 0. Du kannst die Ungleichung umstellen: D = {x ∈ ℝ…


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