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Rechnen mit Wurzeltermen

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Hier erfährst du, wie du mit Wurzeltermen rechnest und welche Regeln du dabei beachten musst.

Definitionsbereich bestimmen

Der Radikand einer Wurzel ist nie negativ. Der maximale Definitionsbereich D von

x

besteht also aus allen positiven Zahlen und der Null.

Kurz:

x

ist definiert für alle x ≥ 0

Bestimme den Definitionsbereich D von

x + 8

.

Definitionsbereich bestimmen

x + 8

ist definiert für alle x, für die der Radikand positiv oder null ist.

Also

x + 8

≥ 0.

Du kannst die Ungleichung umstellen:

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_1.jpg

D = {x ∈ ℝ | x ≥ -8}

Bestimme den Definitionsbereich D von

x - 3 + 5 - x

.

Definitionsbereich bestimmen
Der Term

x - 3 + 5 - x

ist definiert für alle x, für die die Radikanden beider Wurzeln positiv oder null sind.

Also

x - 3

≥ 0 und

5 - x

≥ 0.

Du kannst beide Ungleichungen umstellen:

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_2.jpg

Der Definitionsbereich enthält alle Zahlen, die beide Ungleichungen erfüllen. Diese kannst du in einer Ungleichungskette zusammenfassen.

D = {x ∈ ℝ | 3 le x le 5}

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_3.jpg

D = {x ∈ ℝ | 3 le x le 5}

Bestimme den Definitionsbereich D von

x 2 x + 5

.

Definitionsbereich bestimmen
Der Term

x 2 x + 5

ist definiert für alle x, für die die Radikanden beider Wurzeln positiv oder null sind und zusätzlich der Nenner ungleich null ist.

Also: x ≥ 0 und

2 x + 5 gt 0

Du kannst die Ungleichung umstellen:

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_4.jpg

Für x ≥ 0 gilt immer auch

x gt - 5 2

. Also reicht die Einschränkung x ≥ 0 aus.

D = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}

Multiplizieren und Dividieren

Multiplikation und Division zweier Wurzeln

Die Wurzel eines Produkts kannst du in das Produkt zweier Wurzeln umwandeln.

Multiplikationsregel:

x * y = x * y

für x, y ge 0

Ebenso kannst du die Wurzel eines Quotienten in den Quotienten zweier Wurzeln umwandeln.
Divisionsregel:

x y = x y

für x ge 0, y > 0

Für x ≥ 0 gilt:

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_5.jpg

Für x > 0 gilt:

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_6.jpg

Vereinfache

x x 3 + 8 x

für alle x ≥ 0.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_7.jpg

Da x ≥ 0, kannst du die Betragsstriche weglassen.

x x 3 + 8 x = x x 2 + 8

Addieren und Subtrahieren

Für das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln mit verschiedenen Radikanden gibt es keine Vereinfachungsregel.

x + y

x + y

für x, y > 0 und

x - y

x - y

für x > y > 0.

Du kannst auf eine Summe oder eine Differenz von Termen das Distributivgesetz anwenden und gleiche Wurzeln ausklammern.

a b + c b = a + c b

a b - c b = a - c b

für a, b, c ∈ ℝ und b > 0.

8 x + 7 x = 15 x

für x ≥ 0.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_8.jpg

Teilweise Wurzelziehen

Mit Hilfe der Rechengesetze kannst du teilweise Wurzeln ziehen. Das bedeutet, den Radikanden in ein Produkt aus Quadraten und Termen, die keine Quadrate enthalten, zu zerlegen, um dann die Wurzel aus dem Produkt mit der Multiplikationsregel in ein Produkt aus Wurzeln zu zerlegen. Aus den Quadraten kannst du dann die Wurzel ziehen.

x 2 * y = x y

für y, x ≥ 0

Teilweise Wurzelziehen

4 x = 2 x

für x ge 0

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_9.jpg

Vereinfache

2 x y 18 x

für alle x, y ≥ 0.

Rechengesetze anwenden
/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_10.jpg
2 x y 18 x = 36 x 2 y

Wurzel teilweise ziehen
/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_11.jpg

Da im Definitionsbereich x ≥ 0 angegeben ist, kannst du die Betragsstriche weglassen.

36 x 2 y = 6 x y

Umgekehrt kannst du auch einen Faktor vor der Wurzel in den Radikanden multiplizieren, wenn du ihn dabei quadrierst.

x y = x * y = x 2 * y = x 2 * y

für x, y ≥ 0.

x 37 = 37 x 2

für x ≥ 0

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_12.jpg

Brüche kürzen

Wie bei Zahlen kürzt du Brüche mit Wurzeln, indem du Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor dividierst.

Durch Kürzen kann sich der Definitionsbereich des Terms ändern. Die angegebene Umformung gilt aber immer nur für den „kleineren“ der beiden Definitionsbereiche.

Kürze den Term

7 - x 2 7 - x

für x ≠

7

.

Du verwendest die dritte binomische Formel:

a + b a - b = a 2 - b 2

mit

a = 7

und

b = x

:

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmRgT_13.jpg

Der Definitionsbereich hat sich durch die Umformung geändert:

Der Term auf der linken Seite ist auf

D =

{

7

} definiert, der Term auf der rechten Seite für alle reellen Zahlen.

Die äquivalenz gilt also nur für x ∈ D.

7 - x 2 7 - x = 7 + x


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