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Rechnen mit Potenzen mit rationalem Exponenten

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Hier erfährst du, wie du mit Potenzen mit rationalen Exponenten und mit Wurzeln mit beliebigen ganzzahligen Wurzelexponenten rechnen kannst.

Die n-te Wurzel

Potenzieren und Radizieren sind Umkehroperationen.

Zum Quadrieren (Potenzieren mit 2) gehört die Quadratwurzel:

4 2 = 16

und

16 2 = 4

Der Wurzelexponent 2 wird meist weggelassen.
Zum Potenzieren mit 3 gehört die Kubikwurzel (dritte Wurzel).

2 3 = 8

und

8 3 = 2

Genauso gibt es auch die vierte, fünfte, sechste usw. Wurzel.

3 4 = 81

und

81 4 = 3

Allgemein gilt:

Für alle Zahlen

a

0 ist

a n

diejenige nichtnegative Zahl

b

, für die gilt:

b n = a

. Dabei ist

n

eine natürliche Zahl..

Sprich:

n

-te Wurzel aus

a

100000 = 10 5

, also

100000 5 = 10

Mit Hilfe der

n

-ten Wurzel kannst du Gleichungen mit Potenzen lösen.

Die Lösungsmenge für

x 3 = 125

ist L = {

125 3

} = {5}, denn

5 3 = 125

.

Die Lösungsmenge für

x 4 = 625

ist L = {

625 4

;

- 625 4

}= {

5

;

-5

}, denn

5 4 = 625

und

-5 4 = 625

.

Die Lösungsmenge für

x 3 = -27

ist L = {

- 27 3

}= {

-3

}, denn

-3 3 = -27

.

Es ist zwar

-3 3 = -27

, aber

-27 3

.gibt es nicht, da Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert werden.

Potenzen mit rationalen Exponenten

Die

n

-ten Wurzeln lassen sich auch als Potenz schreiben.

Für

a

0 und

n

∈ ℕ gilt:

a n = a 1 n

81 4 = 81 1 4

Das gilt auch für Wurzeln, deren Radikand selbst eine Potenz ist.
Für

a gt 0

und

m

,

n

∈ ℕ gilt:

a m n = a m n

und

1 a m n = a - m n

Diese Potenzen heißen Potenzen mit rationalen Exponenten. Für positive Exponenten darf auch

a = 0

sein:

0 m n = 0 m n = 0

.

Du kannst also jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten und jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel schreiben.
5 3 4 = 5 3 4

Je nachdem, wie du mit dem Wurzelterm weiter rechnen möchtest, kannst du die Potenz auch ausrechnen.

5 3 4 = 125 4

Bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten ist es egal, ob du erst die Wurzel ziehst und dann potenzierst oder umgekehrt.
8 2 3

ist die 3. Wurzel aus der 2. Potenz von 8.oder

8 2 3

ist die 2. Potenz der 3. Wurzel aus 8.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_1.jpg

oder

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_2.jpg

In manchen Fällen bietet sich eine bestimmte Reihenfolge aber an.
/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_3.jpg
Da 25 eine Quadratzahl ist, ziehst du erst die Wurzel und potenzierst dann mit 3.

Sind Wurzelexponent und Exponent des Radikanden nicht teilerfremd, kannst du den Radikanden als Potenz schreiben, bei der der Exponent gekürzt werden kann. Dadurch kann sich aber der Definitionsbereich ändern.
/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_4.jpg
Der Term

x 9 3

ist nur für

x

0 definiert,der Term

x 3

dagegen für alle

x

∈ ℝ.Die Gleichheit bzw. äquivalenz beider Terme ist also nur für alle

x

0 erfüllt.

Potenzgesetze

Für Potenzen mit rationalen Exponenten gelten die Potenzgesetze.
Potenzen mit gleicher BasisFür rationale Zahlen

r

und

s

und positive reelle Zahlen

a

gilt:

a r * a s = a r + s

und

a r / a s = a r - s

Für positive Exponenten darf beim Multiplizieren auch

a = 0

sein:

0 r * 0 s = 0 r + s = 0

. Die Division durch 0 ist jedoch nicht möglich.

Fasse

7 1 2 * 7 1 4

zusammen und schreibe als Wurzel.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_5.jpg

Du wendest das Potenzgesetz für Potenzen mit gleicher Basis an.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_6.jpg

Fasse

5 1 2 / 5 1 4

zusammen und schreibe als Wurzel.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_7.jpg

Du wendest das Potenzgesetz für Potenzen mit gleicher Basis an.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_8.jpg

Potenzen mit gleichem ExponentenFür rationale Zahlen

r

und positive reelle Zahlen

a

und

b

gilt:

a r * b r = a b r

und

a r / b r = a / b r

Fasse

5 3 4 * 7 3 4

zusammen und schreibe als Wurzel.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_9.jpg

Du wendest das Potenzgesetz für Potenzen mit gleichen Exponenten an.

5 3 4 * 7 3 4 = 5 * 7 3 4

Fasse

15 1 4 / 5 1 4

zusammen und schreibe als Wurzel.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_10.jpg

Du wendest das Potenzgesetz für Potenzen mit gleichen Exponenten an.

15 1 4 / 5 1 4 = 15 / 5 1 4

Potenzen von PotenzenFür rationale Zahlen

r

und

s

und positive reelle Zahlen

a

gilt:

a r s = a r s

Fasse

4 4 5 1 2

zusammen und schreibe als Wurzel.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_11.jpg

Du wendest das Potenzgesetz für Potenzen von Potenzen an und kürzt im Exponenten.

4 4 5 1 2 = 4 4 5 * 1 2

So, wie du eine Potenz potenzieren kannst, kannst du auch aus einer Wurzel eine Wurzel ziehen.
Schreibe

367 2 3

als eine Wurzel.

367 2 3 = 367 6

Du schreibst beide Wurzeln als Potenzen und wendest das Potenzgesetz für Potenzen von Potenzen an:

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRmREx_12.jpg


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