Diese Umformungen heißen Rationalmachen des Nenners, wobei zwei Fälle unterschieden werden:
Es kann vorkommen, dass der umgeformte Term einen anderen Definitionsbereich hat als der ursprüngliche Term. Die Umformungen sind immer nur für den kleineren Definitionsbereich äquivalenzumformungen.
gilt:
.Du kannst also den Zähler in ein Produkt umwandeln und dann den Bruch kürzen:
Steht im Nenner nur eine Wurzel und ist Kürzen nicht möglich, dann erweiterst du den Bruch mit genau dieser Wurzel.Die Wurzel wird dabei mit sich selbst multipliziert (quadriert).
und fasst jeweils den Zähler und den Nenner so weit wie möglich zusammen:
, wendest die Multiplikationsregel an und fasst jeweils den Zähler und den Nenner so weit wie möglich zusammen:
, wendest die Multiplikationsregel an und fasst jeweils den Zähler und den Nenner so weit wie möglich zusammen:
Manchmal bietet es sich an, vor dem Erweitern mit „einem Teil“ der Wurzel im Nenner zu kürzen.
Jetzt kannst du durch Erweitern mit
den Nenner rational machen:
Oft kannst du vor dem Erweitern den Wurzelterm im Nenner noch vereinfachen, indem du teilweise die Wurzel ziehst.
für
0
und
Jetzt kannst du durch Erweitern mit
den Nenner rational machen:
Bei anderen Termen kann es hilfreich sein, eine Summe oder Differenz aus zwei Brüchen zu einem Bruch zusammenzufassen.
für
0
entfallen die Wurzeln im Nenner.
Erweiterst du den Bruch mit
, kannst du die dritte binomische Formel anwenden, denn
und erhältst durch Kürzen sogar einen Term ohne Bruch.
für
∈ ℝ mit
0 und
≠ 1
die Wurzeln definiert sind und wählst als Voraussetzung
0.Damit ist auch die Bedingung, dass der Nenner nicht null werden darf, erfüllt.Nach der Umformung ist der Nenner eine Differenz.Der Definitionsbereich ist also kleiner geworden, weil
von 1 verschieden sein muss, denn für
ist
.
