Da sich alle natürlichen Zahlen als
darstellen lassen, sind natürliche und ganze Zahlen auch rationale Zahlen.
,
,
,
… sind rationale Zahlen.
oder
,
,
und
sind rationale Zahlen.
Alle diese Dezimalzahlen kannst du also auch als Bruch oder als gemischte Zahl angeben.
Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma, die sich nicht periodisch wiederholen.
Hierzu gehören z.B. die Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind.
Auch die Kreiszahl
… ist eine irrationale Zahl - sie ist keine periodische Dezimalzahl.
Durch die irrationalen Zahlen wird der Zahlbereich ℚ der rationalen Zahlen erweitert zum Zahlbereich ℝ der reellen Zahlen.
ist eine irrationale Zahl.
≈
…
Die Anzahl der Stellen nach dem Komma von
ist weder endlich noch wiederholen sie sich periodisch.
ist keine irrationale Zahl.
ist eine natürliche Zahl, da 25 eine Quadratzahl ist.
ist keine irrationale Zahl.
kann also als Bruch dargestellt werden und ist daher eine rationale Zahl.
Der Bereich der reellen Zahlen schließt die anderen dir bekannten Zahlbereiche ein:
Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.
Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl.
Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl.
Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist irrational, wenn in deren Primfaktorzerlegung mindestens einer der Primfaktoren in ungerader Anzahl vorkommt.Insbesondere ist die Quadratwurzel einer Primzahl stets irrational. Der Beweis wird meist indirekt geführt, hier zum Beispiel für 2.
Es gibt also einen Widerspruch zu der Annahme, dass
nicht gekürzt werden kann! Die Annahme, dass
rational wäre, ist demnach falsch. Dann kann
nur irrational sein.
