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Irrationale Zahlen kennenlernen

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In diesen Erklärungen erfährst du, welche Beziehungen zwischen den Mengen der rationalen, der irrationalen und der reellen Zahlen bestehen.

Die rationalen Zahlen
Die irrationalen Zahlen
Die reellen Zahlen
Beweis der Irrationalität

Die rationalen Zahlen

Die Menge der Rationalen Zahlen (ℚ) besteht aus allen Zahlen, die als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRuIIZKl_1.jpg

Da sich alle natürlichen Zahlen als

unechte Brüche

darstellen lassen, sind natürliche und ganze Zahlen auch rationale Zahlen.

Die Zahlen

2

,

-3

,

151

,

-234

… sind rationale Zahlen.

Du kannst sie als unechten Bruch darstellen. Zum Beispiel:

2 = \frac{2}{1}

oder

2 = \frac{8}{4}

-3 = - \frac{3}{1}

151 = \frac{151}{1}

-234 = - \frac{234}{1}

Eine Dezimalzahl ist eine rationale Zahl, wenn sie …

1.125

,

-245.8

,

4. \overset{OverBar}{3}

und

0.4 \overset{OverBar}{6}

sind rationale Zahlen.

1.125 = \frac{9}{8}

-245.8 = -245 \frac{4}{5}

4. \overset{OverBar}{3} = 4 \frac{1}{3}

0.4 \overset{OverBar}{6} = \frac{7}{15}

Alle diese Dezimalzahlen kannst du also auch als Bruch oder als gemischte Zahl angeben.

Die irrationalen Zahlen

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht als Quotient ganzer Zahlen dargestellt werden können.

Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma, die sich nicht periodisch wiederholen.

Hierzu gehören z.B. die Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind.

Auch die Kreiszahl

π = 3.14159

… ist eine irrationale Zahl - sie ist keine periodische Dezimalzahl.

Durch die irrationalen Zahlen wird der Zahlbereich ℚ der rationalen Zahlen erweitert zum Zahlbereich ℝ der reellen Zahlen.

\sqrt{6}

ist eine irrationale Zahl.

\sqrt{6}

≈

2.449,489,74

…

Die Anzahl der Stellen nach dem Komma von

\sqrt{6}

ist weder endlich noch wiederholen sie sich periodisch.

Nicht alle Wurzeln sind irrational.

\sqrt{25}

ist keine irrationale Zahl.

\sqrt{25} = 5

\sqrt{25}

ist eine natürliche Zahl, da 25 eine Quadratzahl ist.

\sqrt{0.0016}

ist keine irrationale Zahl.

\sqrt{0.0016}

kann also als Bruch dargestellt werden und ist daher eine rationale Zahl.

Die reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen ℝ besteht aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen.

Der Bereich der reellen Zahlen schließt die anderen dir bekannten Zahlbereiche ein:

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRuIIZKl_4.jpg

Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.

Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl.

Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl.

Beweis der Irrationalität

Ob das Ergebnis einer Rechnung eine irrationale Zahl ist, kannst du nicht mit dem Taschenrechner entscheiden, da er nur eine begrenzte Anzahl an Stellen nach dem Komma anzeigen kann. Das Ergebnis wird gerundet.

Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist irrational, wenn in deren Primfaktorzerlegung mindestens einer der Primfaktoren in ungerader Anzahl vorkommt.Insbesondere ist die Quadratwurzel einer Primzahl stets irrational. Der Beweis wird meist indirekt geführt, hier zum Beispiel für 2.

/wp-content/uploads/media/kem_ReZ_ReZRuIIZKl_5.jpg

Es gibt also einen Widerspruch zu der Annahme, dass

\frac{a}{b}

nicht gekürzt werden kann! Die Annahme, dass

\sqrt{2}

rational wäre, ist demnach falsch. Dann kann

\sqrt{2}

nur irrational sein.

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