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Berechnen und Umformen von Termen

Berechnen von Termwerten Ausklammern in Termen mit Potenzen Die erste binomische Formel Die zweite binomische Formel Die dritte binomische Formel Terme aufstellen Terme zu geometrischen Formen und Figuren Multiplikation von Klammerausdrücken Ausklammern Berechnen von Termwerten Viele Alltagssituationen (z. B. die monatliche Handyrechnung) oder geometrische Sachverhalte (Flächeninhalt eines Rechtecks) lassen sich durch Terme mit Variablen beschreiben. Um einen Termwert bestimmen zu können, musst du die Variablen durch Zahlenwerte ersetzen, die entweder durch die Alltagssituation vorgegeben sind oder die in einer Aufgabenstellung genannt werden. Nachdem du die Zahlenwerte für die Variablen eingesetzt hast, rechnest du den Term Schritt für Schritt aus.Wenn aber…

Brüche und Dezimalzahlen

Umwandeln von Brüchen mit den Nennern 10, 100, 1000, ... in Dezimalzahlen Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen durch Erweitern des Nenners auf 10, 100, 1000, ... Vergleich von gleichnamigen Brüchen Vergleich von zählergleichen Brüchen Vergleich von ungleichnamigen Brüchen Prozente aus einer Grafik ablesen Umwandeln von Brüchen mit den Nennern 10, 100, 1000, ... in Dezimalzahlen Brüche mit einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000, …) im Nenner lassen sich sehr einfach in eine Dezimalzahl umwandeln. 10 = 0 5 Es kann vorkommen, dass der Zähler weniger Stellen hat, als der Nenner Nullen. Dann müssen für die fehlenden Stellen entsprechend Nullen zwischen dem…

Diagramme interpretieren

Verwendung von Diagrammen Säulen- und Balkendiagramm Weitere Diagrammtypen Verwendung von Diagrammen Um verschiedene Daten übersichtlicher als in einem Text oder in einer Tabelle darstellen zu können, kannst du diese in Diagrammen veranschaulichen.Anhand der Diagramme kannst du beispielsweise einen bestimmten Verlauf von Daten erkennen, Größen miteinander vergleichen, einen Trend ablesen und Daten interpretieren.Es gibt unterschiedliche Formen von Diagrammen. Je nachdem welche Daten vorliegen, wird ein für die Daten geeignetes Diagramm zur grafischen Darstellung gewählt. Diagramm aus einer Strichliste erstellen Die Schulcafeteria möchte von Schülern einer fünften Klasse wissen, welche Snacks in der Pause verkauft werden sollen. Die Antworten werden in einer…

Dreiecke, Vierecke und Kreise

Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen Flächeninhalt eines Quadrats berechnen Flächeninhalt einer rechtwinkligen Figur berechnen Umfang eines Rechtecks berechnen Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen Allgemeines Dreieck und die Winkelsumme Haus der Vierecke Dreiecksarten und ihre Eigenschaften Flächeninhalt eines Kreises berechnen Kreisfläche in Sachzusammenhängen Umfang eines Kreises berechnen Kreisumfang in Sachzusammenhängen Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, kannst du es mit Einheitsquadraten auslegen. Allgemein erhältst du den Flächeninhalt (oder kurz die Fläche) A eines Rechtecks, wenn du die Länge a mit der Breite b multiplizierst: A = a * b Flächeninhalt eines Quadrats berechnen Das Quadrat ist ein besonderes…

Einfache Trigonometrie

Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Berechnung von Winkeln und Seitenlängen Benutzung des Taschenrechners Lösen von Anwendungsaufgaben Winkelfunktionen und Seitenverhältnisse Da rechtwinklige Dreiecke mit gleich großen Winkeln ähnlich zueinander sind, sind die Seitenverhältnisse eindeutig durch einen der beiden spitzen Winkel festgelegt. Je nach Wahl des Winkels bekommen die Seiten im rechtwinkligen Dreieck „neue Namen“.Die Zuordnungen „Winkel“ -> „Seitenverhältnis“ sind eindeutig und definieren die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für jeden der beiden spitzen Winkel α und ß. Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse: Sinus = Gegenkathete Hypotenuse Der Kosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:…

Körperberechnung

Volumen eines Quaders berechnen Volumen eines Würfels berechnen Oberflächeninhalt eines Quaders berechnen Volumen eines Prismas berechnen Volumen eines Kegels berechnen Oberfläche eines Kegels berechnen Volumen eines Zylinders berechnen Oberfläche eines Zylinders berechnen Volumen einer Pyramide berechnen Oberfläche einer Pyramide berechnen Volumen eines Quaders berechnen Das Volumen V eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c berechnest du, indem du diese miteinander multiplizierst: V = a * b * c Volumen eines Würfels berechnen Der Würfel ist ein besonderer Quader . Bei ihm sind alle zwölf Kanten gleich lang. Für die Breite a, die Tiefe b und die Höhe c…

Lineare Funktionen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion Einfluss der Parameter m und b und Spezialfälle Graphen zeichnen, wenn zwei Punkte gegeben sind Graphen zeichnen, wenn ein Punkt und die Steigung gegeben sind Graphen zeichnen, wenn die Geradengleichung gegeben ist Funktionsgleichungen aufstellen durch Ablesen am Graphen Funktionsgleichungen aufstellen zur Berechnung besonderer Punkte Funktionsgleichungen mit der Punkt-Steigungs-Formel bestimmen Funktionsgleichungen mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen Von der graphischen Darstellung zur Wertetabelle Berechnen der Nullstelle Berechnen des y-Achsenabschnitts Bedeutung der Achsenabschnitte in Sachsituationen Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen Parallele Geraden Lagebeziehungen zweier Geraden ermitteln Gerade mit vorgegebener Steigung zeichnen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen…

Lineare Gleichungen lösen

Altersrätsel Bewegungsaufgaben Altersrätsel Altersrätsel sind eine beliebte Form von Knobelaufgaben. Hier ist besonders zu beachten, dass die Grundmenge die natürlichen Zahlen sind, denn das Alter eines Menschen wird selten als Bruch angegeben und kann nie negativ sein. Herr Meier ist heute fünfmal so alt wie sein Sohn Lukas. Vor drei Jahren war er noch achtmal so alt wie sein Sohn. Wie alt sind beide heute? Variable festlegen Da das Alter von Herrn Meier durch das Alter von Lukas beschrieben wird, ist es sinnvoll, die Variable so zu wählen. x ist das Alter von Lukas heute. Terme aufstellen x ist das…

Maßstab

Der Maßstab Die Maßstabsleiste Der Maßstab Bilder, Zeichnungen oder Karten stellen oft die Wirklichkeit verkleinert oder vergrößert dar. Der Maßstab beschreibt, wie stark verkleinert oder vergrößert wurde. Landkarten oder Grundrisse sind Verkleinerungen bestimmter Aspekte der Wirklichkeit. Technische Zeichnungen oder auch Zeichnungen von Insekten, sind häufig Vergrößerungen der Wirklichkeit. Ein Maßstab wird über das Verhältnis zweier Zahlen angegeben. - 1 : 10 bedeutet, dass cm auf der Karte cm in der Wirklichkeit sind. - 1 : 100 bedeutet, dass cm auf der Karte cm in der Wirklichkeit sind. Also entspricht cm auf der Karte m in der Wirklichkeit. - 1 :…

Mittelwert berechnen

Der Mittelwert von Zahlen Der Mittelwert von Zahlen Den Mittelwert von zwei oder mehreren Zahlen berechnest du, indem du alle Zahlen addierst und die Summe durch die Anzahl der Zahlen dividierst. Der Mittelwert wird auch Durchschnittswert oder arithmetisches Mittel genannt. Mittelwert von Zahlen Der Trainer einer Basketball-Mannschaft misst die Körpergrößen seiner Spieler. Berechne die durchschnittliche Körpergröße aller Basketball-Spieler. Mittelwert berechnen Den Mittelwert berechnest du, indem du die Körpergrößen aller Spieler addierst und die Summe dann durch die Anzahl der Spieler dividierst: 179 + 171 + 177 + 183 + 180 = 890 890 : 5 = 178 Die durchschnittliche Körpergröße…

Prozentrechnung

Anteile, Bruchteile, Prozente und ihre Darstellung Prozentangaben schätzen Prozentrechnung mit Diagrammen Anteile, Bruchteile, Prozente und ihre Darstellung Teile von Ganzen kannst du auf verschiedene Weisen angeben: Prozente kannst du auch mit Hilfe von Diagrammen darstellen, zum Beispiel mit einem Kreis oder einem Rechteck. Der ganze Kreis oder das ganze Rechteck entsprechen dabei % . Prozentualen Anteil bestimmen Färbe % des Kreises ein. Anteil in Prozent umrechnen Der ganze Kreis entspricht % . = % und % sollen eingefärbt werden: % = = Färbe % des Rechtecks ein. Anteil in Prozent umrechnen Der ganze Rechteck entspricht % . = % und…

Quadratische Funktionen

Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion Besondere Punkte von quadratischen Funktionen Verschiebung entlang der y-Achse Verschiebung entlang der x-Achse Scheitelpunktform Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion Funktionen, die sich mit Termen der Form f x = a x + b x + c mit a ≠ darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen. Ihre Graphen heißen Parabeln. Die Gleichung y = a x + b x + c heißt Parabelgleichung. Alle Punkte x | y , deren Koordinaten x und y diese Gleichung erfüllen, liegen somit auf der Parabel. Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung y = f x = x…

Quadratische Gleichungen lösen

Lösen quadratischer Gleichungen Lösung einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Lösen durch Ausklammern Lösen quadratischer Gleichungen Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform x + p x + q = pq-Formel: x 1/2 = - p ? p - q x . + x - = Du setzt p = und q = in die pq-Formel ein: x = + = und x = - = L = ; Lösung einer quadratischen Gleichung Eine quadratische Gleichung der Form x = a mit a gt hat immer 2 Lösungen. Eine Zahl x ist dann Lösung einer Gleichung, wenn durch Einsetzen der…

Rechnen mit Größen

Aufgabe verstehen und herausfinden, was gegeben und gesucht ist Zwischenergebnisse berechnen, wenn man diese benötigt Endergebnis berechnen Berechnen von Anteilen Zeitspannen in unterschiedlichen Einheiten angeben: s, min, h Mehrere Zeitspannen der Größe nach ordnen Addition von Längenangaben Subtraktion von Längenangaben Aufgabe verstehen und herausfinden, was gegeben und gesucht ist Lies dir die Aufgabe zunächst in Ruhe durch. Lies sie ruhig zwei- oder dreimal, so oft bis du den Aufgabentext verstanden hast. Mach dir klar, was du eigentlich berechnen sollst. Welcher Wert wird hier gesucht" Die Frage am Ende der Aufgabe verrät es dir. Gesucht wird in diesem Beispiel der günstigste…

Rechnen mit Potenzen und Wurzeln

Zehnerpotenzen Wissenschaftliche Schreibweise Potenzen mit rationalen Exponenten Die n-te Potenz Potenzen mit negativer Basis Potenzgesetze Zehnerpotenzen Potenzen mit der Basis 10 heißen Zehnerpotenzen . Der Exponent gibt die Anzahl der Nullen an, die du benötigst, um die Potenz als natürliche Zahl bzw. als Dezimalzahl zu schreiben. n = 0 . . . 0 ⏟ n Nullen - n = 0,0 . . . 0 ⏟ n Nullen = . = . Wissenschaftliche Schreibweise Um sehr große und sehr kleine positive Zahlen übersichtlich aufschreiben zu können, trennst du Zehnerpotenzen ab. Bei jeder endlichen Dezimalzahl kannst du das Komma so verschieben, dass…

Relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten

Erweiterung von Baumdiagrammen zu Wahrscheinlichkeitsbäumen Ereigniswahrscheinlichkeiten mit Wahrscheinlichkeitsbäumen berechnen Laplace-Wahrscheinlichkeiten und daraus resultierende Regeln Relative Häufigkeiten Sichere und unmögliche Ereignisse sowie Gegenereignisse Erweiterung von Baumdiagrammen zu Wahrscheinlichkeitsbäumen Baumdiagramme können durch eine kleine Erweiterung sehr geschickt zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen mehrstufiger Zufallsexperimente benutzt werden. Dazu trägst du an den Zweigen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ein, mit denen das zum Zweig gehörige Ergebnis des Teilexperimentes eintritt. Diese Wahrscheinlichkeiten nennt man kurz Zweigwahrscheinlichkeiten. Ein Baumdiagramm, das Zweigwahrscheinlichkeiten enthält, nennt man auch kurz Wahrscheinlichkeitsbaum. üblicherweise gibt man alle Zweigwahrscheinlichkeiten entweder komplett als Brüche oder Dezimalzahlen an. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen…

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck berechnen Der Satz des Pythagoras Fast jeder hat den Satz schon einmal gehört: a + b = c . Du kannst die Aussage des Satzes nachvollziehen, wenn du über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat zeichnest. Dann erhältst du diese Figur: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel im Punkt C sind a und b die Längen der Katheten und c die der Hypotenuse . Es ist a der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete der Länge a , b der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete der…

Sinussatz

Seitenlängen berechnen Seitenlängen berechnen Mit dem Sinussatz kannst du aus zwei Winkeln und der Länge einer der beiden gegenüberliegenden Seiten (sww) die Länge der anderen gegenüberliegenden Seite berechnen. Dreieck ABC mit der Länge der Seite b und den Winkeln α und β

Wachstum und Zerfall

Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich Berechnungen zum exponentiellen Wachstum Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent Lineares und exponentielles Wachstum im Vergleich Beim Wachstum einer Größe ist oft von Interesse, welche Werte diese Größe nach einer bestimmten Anzahl von gleichbleibenden Schritten - oft Zeitschritten - annimmt.Ein Zeitschritt kann je nach Sachzusammenhang (z. B. Bakterienwachstum oder radioaktiver Zerfall) wenige Sekunden oder viele Jahre dauern. Lineares Wachstum Die Größe y ändert sich in jedem Schritt um den Betrag a Betrag der Differenz zweier aufeinander folgender y-Werte. Exponentielles Wachstum Die Größe y ändert sich in jedem Schritt mit dem Wachstumsfaktor b…


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