Berechnen und Umformen von Termen

Viele Alltagssituationen (z. B. die monatliche Handyrechnung) oder geometrische Sachverhalte (Flächeninhalt eines Rechtecks) lassen sich durch Terme mit Variablen beschreiben. Um einen Termwert bestimmen zu können, musst du die Variablen durch Zahlenwerte ersetzen, die entweder durch die Alltagssituation vorgegeben sind oder die in einer Aufgabenstellung genannt werden. Nachdem du die Zahlenwerte für die Variablen eingesetzt hast, rechnest du den Term Schritt für Schritt aus.Wenn aber der Term z. B. verschiedene Rechenoperationen oder Klammern enthält, musst du die Rechenregel „Klammer- vor Punkt- vor Strichrechnung“ beachten.

Du kannst Koeffizienten (Zahlen) ausklammern, einzelne Variablen oder sogar ganze Terme, die als gemeinsame Faktoren in den Summanden vorkommen. Um einen Koeffizienten ausklammern zu können, muss dieser als Faktor (d.h. als Teiler) unter allen Koeffizienten im Term vorkommen. Du kannst also stets den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aller Koeffizienten ausklammern.

Du kannst Koeffizienten und Variablen zusammen ausklammern, wenn der ausgeklammerte Term ein Teiler aller Summanden des ursprünglichen Terms ist.

${\left(a+b\right)}^2=\left(a+b\right)·\left(a+b\right)=a^2+2ab+b^2$Die erste binomische Formel lässt sich durch ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ $+$ $b$darstellen. Die Gesamtfläche $A$des Quadrats mit der Seitenlänge $a$ $+$ $b$setzt sich aus den Teilflächen $a$?, $a$  $b$, $b$  $a$und $b$" zusammen.   $A={\left(a+b\right)}^2$  $A=\left(a+b\right)\left(a+b\right)$  $A=a^2+ab+ba+b^2$  $A=a^2+ab+ab+b^2$  $A=a^2+2ab+b^2$

${\left(a-b\right)}^2=\left(a-b\right)·\left(a-b\right)=a^2-2ab+b^2$Die zweite binomische Formel lässt sich über ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$darstellen, die anschließend um $b$verkürzt wird.   $A={\left(a-b\right)}^2$  $A=\left(a-b\right)\left(a-b\right)$  $A=a^2-ab-ba+b^2$  $A=a^2-ab-ab+b^2$  $A=a^2-2ab+b^2$

$\left(a+b\right)·\left(a-b\right)=a^2-b^2$Die dritte binomische Formel lässt sich über ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$darstellen, das anschließend an der einen Seite um $b$verlängert und an der anderen Seite um $b$verkürzt wird .   $A=\left(a+b\right)·\left(a-b\right)$  $A=a^2+ab-ba-b^2$  $A=a^2+ab-ab-b^2$  $A=a^2-b^2$

Rechenanweisungen können mit Hilfe von Termen formuliert werden.Diese übersetzungshilfen können dir die Umwandlung erleichtern:

Bei ebenen Figuren lassen sich Umfang und Flächeninhalt mit Hilfe von Termen beschreiben.Ebenso bei Körpern das Volumen, der Oberflächeninhalt oder die Gesamtkantenlänge.

Du kannst Summen — z.B. 3 x + 5 — bzw. Differenzen — z.B. 7 a - 2 a b — mit einem Term multiplizieren, indem du jedes einzelne Glied der Summe bzw. der Differenz mit diesem Term multiplizierst. Du wendest dabei das Distributivgesetz an.Terme können dabei Zahlen sein, aber auch Ausdrücke, die Variablen enthalten.

Beim Ausklammern wird das Distributivgesetz „rückwärts“ angewendet.Wenn die Glieder einer Summe bzw. Differenz gleiche Faktoren enthalten, kannst du diese Summe bzw. Differenz in ein Produkt umwandeln. Du dividierst die einzelnen Glieder durch den gemeinsamen Faktor, klammerst die Summe bzw. Differenz der Ergebnisse ein und schreibst den gemeinsamen Faktor vor die Klammer.