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Dreiecke, Vierecke und Kreise

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Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen

Um den

Flächeninhalt

eines

Rechtecks

zu bestimmen, kannst du es mit

Einheitsquadraten

auslegen.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_1.jpg

Allgemein erhältst du den Flächeninhalt (oder kurz die Fläche) A eines Rechtecks, wenn du die Länge a mit der Breite b multiplizierst:

A = a * b

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_2.jpg

Flächeninhalt eines Quadrats berechnen

Das

Quadrat

ist ein besonderes

Rechteck

.

Hier sind nicht nur die gegenüberliegenden Seiten gleich lang, sondern alle vier Seiten.

Für den Flächeninhalt A gilt dann:

A = a * a

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_3.jpg

Flächeninhalt einer rechtwinkligen Figur berechnen

Im Alltag kommen häufig Flächen vor, die aus mehreren Rechtecken zusammengesetzt sind (zum Beispiel Wohnungsgrundrisse).

Auch für diese kannst du den Flächeninhalt berechnen.

Du überlegst zunächst, wie die Figur aus Rechtecken zusammengesetzt ist.

Dann berechnest du die Flächeninhalte dieser Rechtecke und addierst die Ergebnisse.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_4.jpg

Umfang eines Rechtecks berechnen

Den

Umfang

eines

Vielecks

berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_5.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_6.jpg

Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen

Den Flächeninhalt eines Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Länge der Grundseite g mit der zugehörigen Höhe h multiplizierst und das Produkt durch 2 dividierst:

A = 1 2 g * h

Da es drei verschiedene Grundseiten und die jeweiligen zugehörigen Höhen im Dreieck gibt, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten den Flächeninhalt zu berechnen:Mit der Grundseite a:

A = 1 2 a * h a

, wobei a die Länge der Seite a und

h a

die zugehörige Höhe bezeichnet.Mit der Grundseite b:

A = 1 2 b * h b

, wobei b die Länge der Seite b und

h b

die zugehörige Höhe bezeichnet.Mit der Grundseite c:

A = 1 2 c * h c

, wobei c die Länge der Seite c und

h c

die zugehörige Höhe bezeichnet.

Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (A) berechnest du, indem du die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, multiplizierst:

A = 1 2 a * b

, wobei a und b die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, bezeichnen.

Flächeninhalt eines Dreiecks:

A = 1 2 a * h a = 1 2 b * h b = 1 2 c * h c

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieck:

A = 1 2 a * b

Woher kommt die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines Dreiecks?/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_7.jpg
Wenn du zwei identische Dreiecke wie im Bild anlegst, erhältst du ein Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt eines Dreiecks gleich der Hälfte des Flächeninhalts des erhaltenen Parallelogramms.
Woher kommt die Formel zur Flächeninhaltsberechnung eines rechtwinkligen Dreiecks?/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_8.jpg
Wenn du zwei identische rechtwinklige Dreiecke wie im Bild anlegst, erhältst du ein Rechteck mit Länge a und Breite b. Daher ist der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks.
Flächeninhalt eines Dreiecks

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks./wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_9.jpg

Flächeninhalt berechnen
Die Längen haben dieselbe Einheit. Du setzt die Werte in die Formel ein und erhältst so den Flächeninhalt des Dreiecks: /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_10.jpg
A = 3026 cm 2

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks./wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_11.jpg

Flächeninhalt berechnen
Die Längen haben dieselbe Einheit. Du setzt die Werte in die Formel ein und erhältst so den Flächeninhalt des Dreiecks: /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_12.jpgDer Flächeninhalt beträgt

403 cm 2

.

A = 403 cm 2

Allgemeines Dreieck und die Winkelsumme

Ein Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel.Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B und C). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn.

Die Seiten werden entsprechend mit kleinen Buchstaben (zum Beispiel a, b und c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber und verbindet die Punkte B und C.

Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β und γ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ am Eckpunkt C. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt

180 ?

./wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_13.jpg

Winkelsumme: α + β + γ =

180 ?

Haus der Vierecke

Das „Haus der Vierecke“ stellt die Beziehungen zwischen speziellen Vierecken dar.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_14.jpg

Dreiecksarten und ihre Eigenschaften

Es gibt verschiedene Dreiecksarten. Du kannst diese nach der Größe ihrer Winkel und den Beziehungen ihrer Seitenlängen einteilen:

Winkelgröße: /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_15.jpg

Seitenlänge: /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_16.jpg

Die Begriffe Winkelgröße und Seitenlänge lässt sich auch kombinieren (zum Beispiel „gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck“).

Spitzwinkliges Dreieck

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_17.jpg

In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel kleiner als

90 ?

.

Rechtwinkliges Dreieck

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_18.jpg

In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel rechtwinklig, also genau

90 ?

groß.

Rechte Winkel werden allgemein mit dem Symbol /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_19.jpg bezeichnet.

Stumpfwinkliges Dreieck

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_20.jpg

In einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel stumpf, also größer als

90 ?

.

Gleichschenkliges Dreieck

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_21.jpg

In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten (die beiden Schenkel) gleich lang. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel heißt Spitze. Die dritte Seite wird Basis genannt und die beiden an der Basis anliegenden Winkel sind die Basiswinkel.

Spezielle gleichschenklige Dreiecke

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_22.jpg

Gleichschenklig-spitzwinkliges Dreieck: zwei gleich lange Seiten und drei spitze Winkel (<

90 ?

).Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck: zwei gleich lange Seiten und ein rechter Winkel (

90 ?

).Gleichschenklig-stumpfwinkliges Dreieck: zwei gleich lange Seiten und ein stumpfer Winkel (>

90 ?

).

Gleichseitiges Dreieck

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_23.jpg

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleichgroß (

60 ?

).

Flächeninhalt eines Kreises berechnen

Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises kannst du unterschiedlich nutzen.

Wenn du zu gegebenem Radius

r

den

Flächeninhalt A berechnen

möchtest, setzt du den Wert für den Radius in die Formel ein und berechnest den Flächeninhalt.

Wenn du zu gegebenem Flächeninhalt

A

den

Radius r berechnen

möchtest, stellst du die Formel nach

r

um und setzt den Wert für

A

in die umgestellte Formel ein:

A = pi r 2

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_24.jpg

r 2 = A pi

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_25.jpg

r = A pi

Berechne den Flächeninhalt des Kreises.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_26.jpg

Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma genau an.

Flächeninhalt berechnen
Du setzt den Radius

r = 4.8 cm

in die Formel für die Kreisfläche ein:

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_27.jpg

Das Endergebnis rundest du auf die geforderte Anzahl an Stellen nach dem Komma:

A

≈ 72,38

Achtung:In dieser Rechnung wurde für

pi

der

pi

-Wert des Taschenrechners genutzt. Rechnest du mit dem Näherungswert

3.14

für

pi

, dann weicht dein Ergebnis etwas ab:

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_28.jpg

Der Kreis hat einen Flächeninhalt von etwa

72.38 cm 2

.

Berechne den Radius des Kreises. Der Kreis hat einen Flächeninhalt von

102 m 2

.

Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma genau an.

Radius berechnen
Du stellst die Formel für den Flächeninhalt nach r um:

A = pi r 2

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_29.jpg

r 2 = A pi

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_30.jpg

r = A pi

Dann setzt du 102 für

A

in die umgestellte Formel ein:

r = 102 pi

Führe die Division durch

pi

und das Wurzelziehen durch, ohne zwischendurch zu runden:

r = 5.6980 ...

Das Ergebnis rundest du auf die geforderte Anzahl an Stellen nach dem Komma:

r

5.70

Der Kreis hat einen Radius von etwa

5.70 m

.

Kreisfläche in Sachzusammenhängen

Eine kreisförmige Fläche entsteht oft durch ein rotierendes Objekt, zum Beispiel einen Wassersprenger. Hier ist es interessant zu wissen, wie groß die Fläche ist, die bewässert wird.

Um das Volumen bestimmter Körper (zum Beispiel Zylinder und Kegel) mit kreisförmiger Grundfläche berechnen zu können, benötigst du den Flächeninhalt dieser Grundfläche. Statt des Radius ist in diesen Fällen meist der Durchmesser gegeben, da sich dieser leichter messen lässt.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_31.jpg

Der Meistergrill

5000

hat einen runden Grillrost mit einem Durchmesser von

60

cm. Ein Würstchen benötigt etwa

42

cm? Platz.

Wie viele Würstchen passen nebeneinander auf den Grillrost, wenn man die Fläche optimal ausnutzt?

Flächeninhalt des Grillrostes in cm" berechnen:

Der Radius (in cm) ist halb so groß wie der Durchmesser:

r = d 2 = 60 2 = 30

Du setzt den Radius

r

=

30 cm

in die Formel für den Flächeninhalt ein:

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_32.jpg

Das Ergebnis rundest du auf ganze Quadratzentimeter:

A

2827

Anzahl der Würstchen berechnen:

Du dividierst den Flächeninhalt des Grillrosts A = 2827 cm? durch den Platzbedarf pro Würstchen 42 cm? :

2827 42

≈ 67,3

Auf den Grillrost passen bis zu 67 Würstchen.

Umfang eines Kreises berechnen

Aus dem Verhältnis des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser

U d = π

ergibt sich die Formel für die Berechnung des Umfangs eines Kreises bei gegebenem Durchmesser d:

U = π d

Hast du den Radius r des Kreises gegeben, verwendest du

U = π 2 r

, denn

d = 2 r

Für den Umfang U eines Kreises mit dem Durchmesser d gilt:

U = π d

Für den Umfang U eines Kreises mit dem Radius r gilt:

U = 2 π r

Berechne den Umfang U des Kreises mit dem Radius r =

3.8 cm

. Runde das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

Umfang berechnen
Den Umfang U berechnest du, indem du für den Radius in der Formel für den Kreisumfang den Wert 3,8 einsetzt: /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_33.jpgDa du das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma runden sollst, reicht es, vom genauen Ergebnis die ersten beiden Stellen nach dem Komma zu kennen. Oft reicht dafür schon der Näherungswert 3,14 für

π

.

Der Kreis hat einen Umfang von etwa

23.9 cm

.

Berechne den Radius r eines Kreises mit dem Umfang

U = 35.706 m

.Gib das Ergebnis auf Zentimeter genau an.

Radius berechnen
Du stellst die Formel für die Berechnung des Umfangs U nach r um und setzt 35,706 für U ein:/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_34.jpgFür eine zentimetergenaue Angabe rundest du auf zwei Stellen nach dem Komma.Das sind

568

cm.

Der Kreis hat hat einen Radius von etwa

5.68 m

.

Kreisumfang in Sachzusammenhängen

Im Alltag hast du öfter mit kreisrunden Gegenständen zu tun, bei denen der Umfang von Interesse ist. Du kannst z.B. den Umfang eines Fahrradreifens berechnen und damit den zurückgelegten Weg bei einer bestimmten Anzahl von Radumdrehungen und daraus die Geschwindigkeit ermitteln.
Beim Longieren benutzt Emma eine Longierleine, die

8 m

lang ist. Welche Strecke hat das Pferd nach 25 Runden zurückgelegt" Gib das Ergebnis auf ganze Meter gerundet an.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_35.jpg

Umfang berechnen
Zunächst berechnest du die Länge der Laufbahn, also den Umfang U des Longierkreises.Du setzt den Wert 8 für r in die Umfangsformel ein:/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_36.jpg

Das Pferd läuft 25 Runden:/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_37.jpgDas sind

1.257 km

.

Die Laufstrecke des Pferdes beträgt etwa

1257 m

.

Philipp besitzt ein 24-Zoll-Fahrrad. Wenn Philipp damit fährt, dreht sich der Reifen durchschnittlich 105 Mal pro Minute. Mit welcher Geschwindigkeit ist Philipp unterwegs?Gib das Ergebnis auf Kilometer pro Stunde gerundet an.

Geschwindigkeit berechnen
Um die Geschwindigkeit v bestimmen zu können, benötigst du die Strecke s, die Philipp in t Minuten zurücklegt, denn

v = s t

.Die in einer Minute (

t = 1

) zurückgelegte Strecke s ist das 105-fache des Reifenumfanges U, den du mit der Umfangsformel berechnen kannst.Die Angabe „24 Zoll“ ist das Maß für den Durchmesser des Reifens (1 Zoll =

2.54 cm

).

Durchmesser des Reifens (in cm): /wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_38.jpgUmfang des Reifens (in cm):/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_39.jpg

Da sich der Reifen pro Minute 105 Mal dreht, legt Philipp in einer Minute eine Strecke (in cm) zurück, die dem 105-fachen des Umfangs entspricht:

105 * 191.51 = 20108.55

Eine Stunde hat 60 Minuten, also schafft es Philipp in einer Stunde 60-mal so weit:

20108.55 * 60 = 1206,513

Du gibst das Ergebnis mit der geforderten Genauigkeit in km an:/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBGeoDuV_40.jpg

Philipp erreicht eine Geschwindigkeit von etwa

12 km/h

.


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