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Rechnen mit Bruchtermen

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Hier erfährst du, wie du Bruchterme kürzen, erweitern, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kannst. Mit Bruchtermen rechnest du genauso wie mit Brüchen, nur dass hier auch Variablen vorkommen.
Außerdem wird dir gezeigt, wie du einen Definitionsbereich bestimmen kannst, auf dem die Bruchterme vor und nach der Umformung äquivalent sind, denn beim Umformen eines Bruchterms kann sich der Definitionsbereich ändern.

Kürzen

Einen Bruchterm kannst du kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben.
Der Definitionsbereich eines Bruchterms kann sich durch das Kürzen ändern.Der Definitionsbereich, in dem beide Bruchterme äquivalent sind, besteht aus allen Zahlen, für die beide Bruchterme definiert sind.
x 2 x 3 + x 2 = 1 x + 1
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_1.jpg
Die Bruchterme x 2 x 3 + x 2 und 1 x + 1 sind jeweils für x = -1 nicht definiert. x 2 x 3 + x 2 ist aber auch für x = 0 nicht definiert, 1 x + 1 hingegen schon.
Die beiden Bruchterme sind also für alle x ∈ ℚ {-1; 0} definiert und äquivalent.
2 x - 6 3 - x = -2
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_2.jpg
Der Bruchterm 2 x - 6 3 - x ist für x = 3 nicht definiert.Der Term -2 ist auf ganz ℚ definiert.
Die beiden Bruchterme sind also für alle x ∈ ℚ {3} definiert und äquivalent.
Kürze den Bruchterm -27 x 2 -3 x 2 - 9 x so weit wie möglich und gib anschließend an, für welchen Definitionsbereich D beide Bruchterme (vor und nach der Umformung) äquivalent sind.
Bruchterm kürzen
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_3.jpg
9 x x + 3
Definitionsbereich bestimmen
-27 x 2 -3 x 2 - 9 x = -3 x · 9 x -3 x x + 3
Da -3 x x + 3 = 0 für x = 0 und x = -3 , ist der Bruchterm -27 x 2 -3 x 2 - 9 x für alle x ∈ ℚ {-3; 0} definiert.Da x + 3 = 0 für x = -3 , ist der Bruchterm 9 x 2 x + 3 für alle x ∈ ℚ {-3} definiert.Beide Bruchterme sind also für x ≠ -3 und x ≠ 0 äquivalent.
D = ℚ {-3; 0}
Dividierst du Zähler und Nenner nur durch eine Zahl, ändert sich der Definitionsbereich nicht.
Gegeben ist der Bruchterm 6 x 3 x + 12 .Kürze so weit wie möglich und bestimme den Definitionsbereich.
Bruchterm kürzen
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_4.jpg
6 x 3 x + 12 = 2 x x + 4
Definitionsbereich D bestimmen
3 x + 12 = 0 für x = -4 /wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_5.jpg Der Bruchterm 6 x 3 x + 12 ist nur für x = -4 nicht definiert.
  x + 4 = 0 für x = -4 /wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_6.jpg Der Bruchterm 2 x x + 4 ist nur für x = -4 nicht definiert.
Der Definitionsbereich beider Bruchterme ist gleich (ℚ { -4 }), also sind beide Bruchterme in diesem Definitionsbereich äquivalent.
D = ℚ { -4 }

Erweitern

Einen Bruchterm erweiterst du, indem du Zähler und Nenner mit dem gleichen Term multiplizierst.Achte darauf, dass du manchmal Klammern verwenden musst.
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_7.jpg
Erweitere den Term 7 x + 1 x auf den Nenner x x + 2 und gib anschließend den Definitionsbereich an, für den beide Terme (vor und nach der Umformung) äquivalent sind.
Erweitern
Um den Bruchterm auf den Nenner x x + 2 zu erweitern, multiplizierst du Nenner und Zähler mit x + 2 .Achte auf die Klammern.
7 x + 1 x = 7 x 2 + 15 x + 2 x x + 2
Definitionsbereich D bestimmen
Der Bruchterm 7 x + 1 x ist für alle x ∈ ℚ {0} definiert.
Der Bruchterm 7 x 2 + 15 x + 2 x x + 2 ist für alle x ∈ ℚ { -2 ; 0 } definiert.
Beide Bruchterme sind also für x ≠ -2 und x ≠ 0 äquivalent.
D = ℚ { -2 ,0}
Erweitere den Term 2 x x 2 + x auf den Nenner x 2 x + 1 und gib anschließend den Definitionsbereich an, für den beide Terme (vor und nach der Umformung) äquivalent sind.
Erweitern
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_8.jpg
Da x 2 x + 1 = x · x x + 1 , multiplizierst du Zähler und Nenner nur mit x .
2 x 2 x 2 x + 1
Definitionsbereich D bestimmen
Beide Bruchterme sind für alle x ∈ ℚ { 0 ; -1 } definiert.
D = ℚ { 0 , -1 }

Hauptnenner bilden

Der Hauptnenner zweier Bruchterme ist das kleinste gemeinsame Vielfache der vorhandenen Nenner.
Um den Hauptnenner zu bilden, zerlegst du alle Nenner in Faktoren und multiplizierst die höchsten vorkommenden Potenzen jedes Faktors miteinander.
Bestimme den Hauptnenner der Bruchterme 1 x x + 1 und 1 x + 1 .
Hauptnenner bestimmen
x x + 1 enthält die Faktoren x und x + 1 , der Nenner des zweiten Bruchterms ist also im Nenner des ersten Bruchterms als Faktor enthalten.Also ist x x + 1 kleinstes gemeinsames Vielfaches beider Nenner und damit Hauptnenner.
Der Hauptnenner ist x x + 1 .
Bestimme den Hauptnenner der Bruchterme 1 x 2 + x und 1 2 x .
Hauptnenner bestimmen
Du zerlegst die Nenner in Faktoren.
  x 2 + x = x · x + 1 und 2 x = 2 · x
Du bildest das Produkt der Faktoren mit den jeweils höchsten Exponenten.
  2 · x · x + 1
Der Hauptnenner ist 2 x x + 1 .
Bestimme den Hauptnenner der Bruchterme 1 x 2 + 1 und 1 x + 3 .
Hauptnenner bestimmen
Beide Nenner sind nicht weiter zerlegbar: Sie entsprechen selbst jeweils einem Faktor.
Du bildest daher das Produkt beider Nenner.
x 2 + 1 · x + 3
Der Hauptnenner ist x 2 + 1 x + 3 .

Addieren und subtrahieren

Du addierst bzw. subtrahierst zwei oder mehrere Bruchterme, indem du:
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_9.jpg
Achte darauf, dass du in manchen Fällen Klammern verwenden musst.
Der Definitionsbereich, in dem die Bruchterme äquivalent sind, kann durch die Umformung verändert werden.
Addiere die Bruchterme 8 x 3 x 2 + 5 und 2 x + 4 3 x 2 + 5 .
Addieren
Beide Bruchterme sind gleichnamig, sie haben denselben Nenner. Also addierst du die Zähler und lässt den Nenner unverändert.
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_10.jpg
10 x + 4 3 x 2 + 5
Addiere die Bruchterme 9 x + 2 und 5 x x + 1 .
Addieren
Die Bruchterme sind nicht gleichnamig, du erweiterst sie auf den Hauptnenner x + 2 x + 1 .
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_11.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_12.jpg
Jetzt addierst du die Zähler.
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_13.jpg
5 x 2 + 19 x + 9 x + 2 x + 1
Subtrahiere 1 x - 1 von 5 x x - 1 2 .
Subtrahieren
Die Bruchterme sind nicht gleichnamig, du erweiterst sie auf den Hauptnenner x - 1 2 .
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_14.jpg
  5 x x - 1 2 bleibt unverändert.
Jetzt subtrahierst du die Zähler.
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_15.jpg
5 x x - 1 2 - 1 x - 1 = 4 x + 1 x - 1 2
Vereinfache 2 x - 2 - 3 .
Zusammenfassen
Du erweiterst 3 mit x - 2 .
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_16.jpg
Die Bruchterme sind jetzt gleichnamig.
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_17.jpg
2 x - 2 - 3 = -3 x + 8 x - 2

Multiplizieren und dividieren

Du multiplizierst Bruchterme, indem du jeweils die Zähler und die Nenner multiplizierst.
Du dividierst Bruchterme, indem du den ersten Bruchterm mit dem Kehrwert des zweiten Bruchterms multiplizierst.
Achte darauf, dass in manchen Fällen Klammern gesetzt werden müssen.
Der Definitionsbereich kann durch die Umformung verändert werden.
Fasse 1 x · 2 x + 3 x 2 - 1 zusammen und gib anschließend an, für welche Zahlen die Terme äquivalent sind.
Multiplizieren
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_18.jpg
2 x + 3 x 3 - x
äquivalenz bestimmen
1 x ist für alle x ∈ ℚ bis auf x = 0 definiert.
  2 x + 3 x 2 - 1 ist für alle x ∈ ℚ bis auf x = 1 und x = -1 definiert.
Der Definitionsbereich D des Terms 2 x + 3 x 3 - x ist also D = ℚ {-1; 0; 1}.
Beide Terme sind also für alle x ∈ ℚ {-1; 0; 1} definiert und äquivalent.
Die Terme sind für alle x ∈ ℚ {-1; 0; 1} definiert und äquivalent.
Berechne 1 x : 2 x + 3 x 2 - 1 . Gib dafür zunächst den Definitionsbereich D des Terms an.
Definitionsbereich angeben
Der Term 1 x : 2 x + 3 x 2 - 1 besteht aus zwei Termen, dem Term 1 x und dem Term 2 x + 3 x 2 - 1 .
  1 x ist für alle x ∈ ℚ bis auf x = 0 definiert.
  2 x + 3 x 2 - 1 ist für alle x ∈ ℚ bis auf x = -1 und x = 1 definiert.
Da durch 2 x + 3 x 2 - 1 dividiert wird, darf 2 x + 3 x 2 - 1 nicht null sein.
  2 x + 3 x 2 - 1 = 0 für x = - 3 2 .
Also ist der Term 1 x : 2 x + 3 x 2 - 1 für alle x ∈ ℚ {-1, - 3 2 , 0, 1} definiert.
D = ℚ {-1, - 3 2 , 0, 1}
Kehrwert bilden
Der Kehrwert von 2 x + 3 x 2 - 1 ist x 2 - 1 2 x + 3 .
Multiplizieren
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_19.jpg
x 2 - 1 2 x 2 + 3 x
Multipliziere
  3 8 x · x 2 9 .
Multiplizieren
Hier kannst du vor dem Multiplizieren kürzen.
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_20.jpg
3 8 x · x 2 9 = x 24

Potenzrechnung

Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit betragsgleichem positiven Exponenten und gleicher Basis, d.h. man schreibt
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_21.jpg
Die Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit positiven Exponenten gelten auch für Potenzen mit negativen Exponenten:
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_22.jpg
Vereinfache x -3 : x 8 .
Dividieren
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_23.jpg
x -3 : x 8 = x -11
Vereinfache 7 x -2 - 4 x -12 · x 10 .
Zusammenfassen
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_24.jpg
7 x -2 - 4 x -12 · x 10 = 3 x -2
Vereinfache 2 x -7 x -3 .
Dividieren
/wp-content/uploads/media/kem_FuD_FuDEgrFRmBrT_25.jpg
2 x -7 x -3 = 2 x -4