Telefon: (030) 300 2440 00 
– Mo bis Fr von 8:30 - 17 Uhr
Über unsNewsKontakt
LernenLehrenPreiseHilfeAppEinloggen

Mathematische Fachgebiete

Wir stellen euch die wichtigsten Fach- und Teilgebiete der Mathematik vor. Charakteristisch für die Mathematik ist, dass die einzelnen mathematischen Gebiete teilweise sehr eng zueinander stehen und oftmals fließend ineinander übergehen.

Online Mathe üben

  • Interaktive Aufgaben, Lösungswege und Tipps
  • Automatische Auswertungen und Korrektur
  • Erkennung von Wissenslücken

Ich bin Schüler

Ich bin Elternteil

Ich bin Lehrer

Algebra

Der Begriff "Algebra" ist abgeleitet vom Titel des Buchs Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa'l-muqabala, in dem der persische Mathematiker Mohammed ibn Musa al-Chwarizmi um 830 n. Chr. das systematische Lösen quadratischer Gleichungen beschrieben hat. Die heutige Algebra umfasst aber weit mehr als das Lösen von Gleichungen. Aus den Bemühungen darum sind in den letzten beiden Jahrhunderten verschiedene Teildisziplinen entstanden, von denen nur die ersten Grundbegriffe zum Schulstoff gehören. Grob kann man die Algebra wie folgt unterteilen: Elementare Algebra: Sie beinhaltet die in der Schule vermittelten Regeln zum Rechnen mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen (oder auch mit komplexen) Zahlen,…

Analysis

Unter Analysis versteht man das Studium reeller Funktionen mit Hilfe der Differenzial- und Integralrechnung. Die Grundlagen hierzu wurden um 1670 von Isaak Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz geschaffen. Die Analysis hat sich seither weit verzweigt. Sie wurde auf Funktionen komplexer Variablen (Funktionentheorie) und auf Funktionen, deren Argumente selbst wieder Funktionen sind (Funktionalanalysis)so genannte Funktionaleerweitert. Darüber hinaus findet sie Anwendung in der Geometrie (Differentialgeometrie) bzw. mit einem erweiterten Integralbegriff in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Maßtheorie). Außerhalb der Mathematik wird die Analysis in allen Bereichen angewandt, in denen kontinuierliche Prozesse eine Rolle spielen, wobei sie vor allem engste Beziehungen zur Physik aufweist. Der Grundbegriff…

Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie wurde um 1630 von Pierre de Fermat und René Descartes begründet. Sie erlaubt es geometrische Fragen mit algebraischen Mitteln zu behandeln und zu beantworten. Mit Hilfe eines zwei- oder drei-dimensionalen Koordinatensystems werden geometrische Objekte (Punkte, Geraden, Flächen, Körper) und deren Beziehungen untereinander in algebraische Ausdrücke der zugehörigen (Koordinaten-)Werte übersetzt, die dann umgeformt werden können. Die Ergebnisse können schließlich wieder in die geometrische Sprache zurückübersetzt werden. Hierzu gehört vor allem die Diskussion ebener Kurven. Mitte des 19. Jahrhunderts entstand er Begriff des Vektors, eine geometrische Größe, die eine Länge und eine Richtung besitzt. Die Darstellung von Vektoren als…

Arithmetik - Zahlentheorie

Arithmetik oder Zahlentheorie ist die Lehre von den Eigenschaften der Zahlen. Sie umfasst nicht nur den alltäglichen Umgang mit Zahlen, d.h. die Grundrechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, sondern vor allem das Studium der Teilbarkeitseigenschaften natürlichen Zahlen. Die Grundbausteine der Zahlen, so zu sagen die Atome, sind die Primzahlen, d.h. die natürlichen Zahlen mit nur zwei natürlichen Teilern, der Zahl 1 und der Zahl selbst. Die ersten Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ". Außer der 2 sind alle Primzahlen ungerade. Jede natürliche Zahl größer als 2 ist entweder eine Primzahl oder…

Differenzialgeometrie

In der Differenzialgeometrie werden die Methoden der ->Analysis auf die -> Geometrie angewandt. In der klassischen Differenzialgeometrie werden ebene Kurven, Raumkurven und Flächen hinsichtlich ihrer Krümmungseigenschaften untersucht. Dazu wird teilweise die Sprache der -> Vektoranalysis (Gradient, Divergenz, Rotation) benutzt, vor allem bei der Anwendung der Differenzialgeometrie in der mathematischen Physik. Die moderne Differenzialgeometrie, die in ihren Anfängen auf Carl Friedrich Gauß und Bernhard Riemann zurückgeht, abstrahiert vom dreidimensionalen Raum unserer Anschauung und betrachtet „n-dimensionale Mannigfaltigkeiten“, die lokal wie ein n-dimensionaler euklidischer Raum aussehen und somit eine übertragung der Begriffe der Differenzialrechnung erlauben. Auch hier gibt es bedeutende Anwendungen in der…

Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts mit dem Ziel entwickelt, allgemeine Methoden für das Lösen linearer Gleichungen zu finden. Dabei wurden die Näherungsmethoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit endlich vielen Variablen (Iterationsverfahren von Jacobi) auf solche mit unendlich vielen Variablen erweitert, sowie auf Gleichungen, in denen die gesuchte Größe eine Funktion ist und mit Hilfe einer Differenzial- oder Integralgleichung (Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf) ausgedrückt wird. Die Untersuchung von Schwingungen (eingespannte Saite oder Membran) führte zu ähnlichen Fragestellungen, wie sie bei Eigenwertproblemen endlicher Gleichungssystem auftraten. Da die Lösungsmenge bzw. die Eigenräume lineare Räume (Vektorräume) sind, lag es nahe, unendlich dimensionale…

Funktionentheorie

Die Funktionentheorie befasst sich mit Funktionen komplexer Variablen, die im komplexen Sinn differenzierbar, man sagt holomorph, sind. Die Funktionentheorie wird auch als komplexe Analysis bezeichnet.Dabei heißt eine auf einer offenen Menge G \subset \mathbb{C} definierte komplexwertige Funktion f differenzierbar (oder holomorph) in einem Punkt z_0 \in G, wenn der Grenzwertf'(z_o)=\lim_{z \to z_0, z\neq z_0 } \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}existiert.Eine komplexe Funktion f lässt sich auch als Funktion auf \mathbb{R}^2 auffassen, indem man das Argument z und den Funktionswert f(z) in Real- und Imaginärteil zerlegt:z = x + iy \to f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y).Dadurch werden zwei unterschiedliche Begriffe der Differenzierbarkeit festgelegt:…

Geometrie

Unter Geometrie (griechisch: Erdmessung) versteht man zunächst die klassische oder euklidische Geometrie (auch Elementargeometrie), die in den "Elementen" von Euklid ausführlich dargelegt wird. Aus mehr oder weniger einsichtigen Definitionen und Grundsätzen (den Postulaten) werden die geometrischen Sätze über Dreiecke und Kreise durch logische Schlüsse auf der Grundlage von Axiomen hergeleitet. Euklid beginnt mit der Definition des Punktes (?Ein Punkt ist, was keine Teile hat.?) und schließt daran Definitionen für Linie, Strecke und Fläche sowie fünf Postulate an, wobei er fordert dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern…

Graphentheorie

Die Graphen der Graphentheorie haben nichts zu tun mit den Funktionsgraphen der Analysis. Hier handelt es sich hier um Konfigurationen, die aus Punkten, den Knoten, und Kurven, den Kanten, bestehen. Eine Kante verbindet immer zwei Knoten, die auch zusammenfallen dürfenman hat dann eine Schlinge. Zwei Knoten können durch mehrere Kanten verbunden werden. Da es nicht auf die Form der Kurven ankommt, werden die Kanten meist als Verbindungsstrecken gezeichnet, eine Schlinge wird als Kreis gezeichnet. Graphen werden verwendet, um beispielsweise ein Straßennetz mathematisch zu modellieren. Manchmal kommt es auch auf die Richtung der Kanten an (Einbahnstraßen im Straßennetz). Die Kanten werden…

Gruppentheorie

Die Gruppe ist eine der am häufigsten verwendeten Strukturen in der Mathematik. Sie trat zuerst explizit im Zusammenhang mit der Auflösung algebraischer Gleichungen (nach Vorarbeiten von Joseph-Louis Lagrange und der Untersuchung von Augustin Cauchy über Permutationen, d.h. bijektiver Abbildungen endlicher Mengen) um 1830 bei Evariste Galois auf. Die heute gebräuchliche axiomatische Beschreibung wurde 1882 von Walther Franz Anton von Dyck und Heinrich Martin Weber gegeben. Danach ist eine Gruppe G eine Menge mit einer Verknüpfung B, die die folgenden Axiome erfüllt:(A1) je zwei Elementen a,b \in G wird genau ein Element a\circ b \in G zugeordnet,(A2) für je drei Elemente…

Kategorientheorie

Die Kategorientheorie liefert einen abstrakten Rahmen für den Vergleich von mathematischen Strukturen. Beispielsweise bilden in der ->Topologie die topologischen Räume und die Menge der stetigen Abbildungen zwischen topologischen Räumen eine Kategorie. Man nennt die topologischen Räume die Objekte der Kategorie und für je zwei topologische Räume X und Y die Menge der stetigen Abbildungen f: X \rightarrow Y die Menge der zugehörigen Morphismen Mor(X, Y). Eine Unterkategorie davon besteht aus den Objekten (X, x_0), wobei X ein nichtleerer topologischer Raum und x_0 \in X ein fester Punkt ist. Die Morphismen sind jetzt die stetigen Abbildungen, die den jeweiligen Punkt fest…

Kryptologie

Die Kryptologie ist die Wissenschaft von den Ver- und Entschlüsselungsverfahren, wobei die Lehre von Verschlüsselungsverfahren auch als Kryptographie bezeichnet wird. Die Sicherung von zu übermittelnden Botschaften (Informationen) ist zu allen Zeiten betrieben worden, sei es durch Verwendung von Geheimsprachen oder durch Verschlüsselung. Bis weit ins 20. Jahrhundert betraf dies vorwiegend militärische Geheimnisse, seitdem aber auch Daten und Sprache, die zwischen Unternehmen oder zwischen Privatpersonen über das Internet ausgetauscht werden und vor dem unbefugten Zugriff durch Dritte geschützt werden sollen. Die einfachste Form der Verschlüsselung (man spricht auch von Chiffrierung oder Codierung) ist die Cäsar-Verschlüsselung, bei der die Buchstaben eines Texts…

Mathematische Logik

Aufgabe der mathematischen Logik ist es ein Grundlage für die präzise Formulierung mathematischer Aussagen und Beweise zu schaffen. Gewöhnlich wird die klassische Aussagenlogik mit den zwei Wahrheitswerten, "wahr" oder "falsch" verwendeteinen Drittes gibt es nicht (tertium non datur; Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten). In der mehrwertigen Logik kann es zwischen "wahr" und "falsch" auch eine oder mehrere Zwischenwerte geben "teils..teils?.Aussagen werden verknüpft durch Junktoren. Hierzu zählen die einstellige Verknüpfung "nicht?(\neg?) und die zweistelligen Verknüpfungen "und" (\wedge ), "oder" (\vee ) und "wenn...dann" (?). Damit lassen sich aus gegebenen Aussagen neue Aussagen zusammensetzen und mit einer Wahrheitswertetafel auf ihren Wahrheitswert hin überprüfen.…

Mengenlehre

Die Mengenlehre wurde von Georg Cantor in den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts entwickelt. Sie ist heute die Sprache der Mathematik, denn fast alle mathematischen Aussagen werden mit Hilfe von Mengen, Abbildungen und Relationen ausgedrückt. Cantor schrieb 1895: "Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen." Auch wenn diese Definition, wie sich später herausstellte, nicht für eine formale Begründung ausreicht, kann sie immer noch als anschauliche Grundlage dienen. Es kann hier nicht ausführlich auf die Bedeutung der Mengenlehre als axiomatische…

Nichtstandard Analysis

Die Nichtstandardanalysis (engl. non-standard analysis) wurde in den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts vor allem von Abraham Robinson entwickelt. Sie geht davon aus, dass esim Gegensatz zur herkömmlichen Standard-Analysisunendlich kleine und unendlich große Zahlen gibt, mit denen ganz normal gerechnet werden kann. Damit wird das archimedische Axiom außer Kraft gesetzt. Dieses besagt: Zu je zwei positiven reellen Zahlen 0 < a, b gibt es stets ein n \in \mathbb{N} mit b < n?a.Danach gilt für eine reelle Zahl a\geq 0, die folgende Aussage, die man in der Analysis häufig verwendet: Ist a < \frac{1}{n} für jedes n, so ist a…

Numerische Mathematik

Die näherungsweise Berechnung reeller Zahlen ist fast so alt wie die Mathematik. Bereits bei den Babyloniern findet man eine Approximation der Zahl \sqrt{2} durch eine rationale Zahl. Allgemeine numerische Methoden zur Berechnung von Zahlwerten oder von Funktionen zu finden ist die Aufgabe der numerischen Mathematikkurz auch Numerik genannt. Im Wesentlichen stellen sich zwei Aufgaben: die Approximation und die Interpolation. Dabei werden Nullstellen von Funktionen approximiert (oder auch Extremwerte) sowie Integrale von Funktionen oder allgemeiner Lösungen von Differenzialgleichungen, oder es werden ganze Funktionen durch einfachere Funktionen, etwa durch Polynome oder trigonometrische Funktionen, approximiert. Bei der Interpolation werden zu einer gegebenen Funktion,…

Stochastik - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die StochastikZusammenfassung von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistikbeschäftigt sich mit Zufallsexperimenten und deren Wahrscheinlichkeiten. Als Ursprung der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Fragen zum Würfelspiel angesehen, die man Mitte des 17.Jahrhunderts dem Mathematiker Blaise Pascal gestellt hat. Ein davon lautet: Was ist wahrscheinlicher, mit einem Würfel in vier Versuchen eine 6 zu würfeln (Wahrscheinlichkeit A) oder mit zwei Würfeln in 24 Versuchen eine Doppelsechs (Wahrscheinlichkeit B)" Blaise Pascal hat diese Frage 1654 beantwortet ohne natürlich die Sprache der Wahrscheinlichkeit zu verwenden. Diese wurde erst 160 Jahre später von Pierre-Simon Laplace eingeführt.Wahrscheinlichkeiten werden mit P(..) bezeichnet (probabilité); sie liegen zwischen 0 (unmögliches Ereignis) und 1 (sicheres…

Theoretische Mathematik

Die Mathematik als Wissenschaft ist gemeinsam mit der Philosophie in der griechischen Antike entstanden. Obwohl man bereits seit Jahrtausenden in Mesopotamien und in Ägypten gerechnet und gemessen hat, waren griechische Mathematiker (wie Thales und Pythagoras mit seinen Schülern) um 600 v. Chr. die Ersten, die sich mit Zahlen und ihren Eigenschaften sowie mit geometrischen Fragestellungen beschäftigt haben. Darauf aufbauend hat sich die Mathematik in den letzten zweieinhalb Jahrtausenden weiter entwickelt und dabei in so viele Teilbereiche verzweigt, dass sie der einzelne Mathematiker heute kaum noch vollständig überblicken kann. Sie ist längst nicht mehr nur die Wissenschaft von den Zahlen und…

Topologie

Die Topologie, eine sehr junge mathematische Disziplin, befasst sich mit Eigenschaften geometrischer Gebilde, die bei "elastischen Verformungen" (Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren) erhalten bleiben. Man sagt, die betreffenden Gebilde seien homöomorph oder topologisch äquivalent. So kann eine Kreisschreibe in ein Dreieck deformiert werden oder ein Donut (oder ein Vollgummireifen) in eine Kaffeetasse mit einem Henkel. Auch die folgenden beiden Figuren sind in diesem Sinne äquivalent. Man erkennt, dass Randpunkteweiterhin Randpunkte bleiben; Kreuzungen (CC?) Kreuzungen bleiben, auch wenn sich Winkel und Abstände ändern. Außerdem bleibt ein geschlossener Linienzug erhalten. Es zeigt sich, dass ,,auf dem Rand liegen'', ,,innen'', ,,außen'', ,,sich schneiden'', ,,geschlossen''…

Versicherungsmathematik

Die Versicherungsmathematik ist Teil der angewandten Mathematik; sie beschäftigt sich mit der Messung von Risiken und wird bei Banken, Lebens-, Kranken-, Pensions- und Schadensversicherungen angewandt. Dabei werden die versicherten Risiken mathematisch modelliert und mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik behandelt. So fragt die Lebensversicherung nach statistischen Durchschnittswerten für die Lebenserwartung und macht davon die Auszahlung von Versicherungsprämien abhängig. Die Krankenkassen berechnen ihre Beiträge nach statistischen Aussagen über Krankenverlauf und Kosten für Allgemeinmedizin, Krankenhaus und Zahnarzt. Die Pensionskassen müssen für zukünftige Rentner und Pensionäre Geld zurückstellen und dazu die Entwicklung der Bevölkerungszahl nach Lebensalter gestaffelt überwachen. Die Versicherungsmathematik arbeitet interdisziplinär…


Jetzt starten mit bettermarks

Ich bin LehrerIch bin Elternteil

Erfolgreich Mathe lernen mit bettermarks.

Mit den adaptiven Mathebüchern von bettermarks können Schüler Aufgaben auf dem Tablet, dem Computer und dem Smartphone rechnen.
Mehr erfahren ›

bettermarks

StartseiteMathe-Portal
Lehren
LernenPreiseHilfe

Unternehmen

bettermarks.com
Über unsNewsPresseJobsAnfahrtKontakt

Service

RegistrierungLoginPasswort vergessenOnline-Schulung
(030) 300 2440 00 
Montag bis Freitag 8:30 - 17 Uhr
© Copyright 2017 - bettermarks GmbH - All Rights Reserved.
ImpressumAGBDatenschutz
twitterfacebookgoogle-pluslinkedinyoutubexingmenu