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Topologie

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Die Topologie, eine sehr junge mathematische Disziplin, befasst sich mit Eigenschaften geometrischer Gebilde, die bei "elastischen Verformungen" (Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren) erhalten bleiben. Man sagt, die betreffenden Gebilde seien homöomorph oder topologisch äquivalent.

So kann eine Kreisschreibe in ein Dreieck deformiert werden oder ein Donut (oder ein Vollgummireifen) in eine Kaffeetasse mit einem Henkel. Auch die folgenden beiden Figuren sind in diesem Sinne äquivalent. Man erkennt, dass Randpunkte

Kreisscheibe zu Dreieck

weiterhin Randpunkte bleiben; Kreuzungen (CC?) Kreuzungen bleiben, auch wenn sich Winkel und Abstände ändern. Außerdem bleibt ein geschlossener Linienzug erhalten. Es zeigt sich, dass ,,auf dem Rand liegen'', ,,innen'', ,,außen'', ,,sich schneiden'', ,,geschlossen'' topologisch invariante Eigenschaften sind. Ziel der Topologie ist es, eine Menge von Objekten zu klassifizieren, d.h. topologische äquivalente Objekte nicht zu unterscheiden. So kann man die 26 Großbuchstaben des Alphabets (bei der hier gewählten Schriftart) in 9 Klassen einteilen, wenn man sie als eindimensional annimmt:

{C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, Z}, {E, F, T, Y}, {H, K}, {X}, {D, O}, {A, R}, {P}, {Q}, {B}

Euler war der erste Mathematiker, der solche topologischen Fragen untersucht hat. Das von ihm gelöste Königsberger Brücken-Problem war die erste Anwendung von dem, was man heute als -> Graphentheorie bezeichnet. Eine weitere Anwendung ist die Eulersche Polyederformel, die man leicht an den folgenden Gegenständen überprüfen kann.

Zählt man jeweils die Ecken (E), die Kanten (K) und die Seitenflächen (F), so gilt

EK + F = 2.

Man nennt diese Zahl die Euler-Charakteristik des Polyeders \(P, \chi (P)\). Macht man sich die Mühe, E, K und F bei den folgenden beiden Körpern zu bestimmen, so erhält man für den kugelförmigen Körper wieder EK + F = 2, für den ringförmigen Körper dagegen
EK + F = 0.

Nimmt man die 26 Großbuchstaben als dreidimensional an, etwa aus Knete gebastelt, so kann man die Buchstaben der ersten vier Klassen in eine Kugel deformieren und die der nächsten drei in einen Ring. Das B gehört zu einer neuen Klasse, denn es besitzt 2 "Löcher?. Überspannt man es mit einem Netz wie oben die Kugel oder den Ring und zählt wieder E, K und F, so erhält man EK + F = -2. Allgemein gilt für ein Polyeder P mit g Löchern die Eulersche Polyederformel

\(\chi(P)E-K + F = 2-2g\)

Eine topologische Struktur formalisiert den Begriff "Nähe" (ähnlich wie die algebraischen Strukturen die Rechengesetze) mit Hilfe eines Axiomensystems, um bei topologischen Räumen, d.h. Mengen mit einer topologischen Struktur, zu überprüfen, ob sie homöomorph sind. Dabei wird die topologische Struktur auf einer nichtleeren Menge X wie folgt festgelegt:

Es wird eine Teilmenge O der Potenzmenge P(X) ausgewählt, die die folgenden Eigenschaften besitzt. Das Paar (X, O) wird dann als topologischer Raum bezeichnet.

  1. Die leere Menge Ø und X gehören zu O.
  2. Für je endlich viele \(A_1, A_2,...A_n\) aus O gehört auch deren Durchschnitt \(\displaystyle{\bigcap_{i \in I}} A_i \) zu O.
  3. Ist I eine Indexmenge und bezeichnet \(A_i\) für jedes \(i \in I\) ein Element von O, so gehört auch

    deren Vereinigung \(\displaystyle{\bigcup_{i \in I}} A_i\) wieder zu O.

Die Elemente von O bezeichnet man als offene Mengen.


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