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Wissen über lineare Gleichungssysteme

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Hier erfährst du, unter welchen Bedingungen es sinnvoll ist, ein lineares Gleichungssystem zeichnerisch zu lösen und wie du beim rechnerischen Lösen das Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren geschickt verwenden kannst.

Auswahl eines günstigen Verfahrens zum Lösen eines linearen Gleichungssystems

Jedes lineare Gleichungssystem mit zwei Variablen kannst du zeichnerisch sowie auch rechnerisch mit dem Gleichsetzungs-, dem Einsetzungs- oder dem Additionsverfahren lösen. Manchmal bietet sich ein bestimmtes Verfahren direkt an:
- Grafisches Lösen durch das Zeichnen von zwei Geraden: Dieses Verfahren verwendest du, wenn die beiden linearen Gleichungen als zwei Geradengleichungen vorgegeben sind oder sich leicht in solche umformen lassen und wenn dir eine Näherungslösung reicht./wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_1.jpg
- Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren: Dieses Verfahren verwendest du, wenn beide Gleichungen auf einer der Seiten bereits einen gleichen Term aufweisen./wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_2.jpg
- Lösen mit dem Einsetzungsverfahren: Dieses Verfahren verwendest du, wenn eine der Gleichungen auf einer Seite der Gleichung einen Term enthält, der auch in der anderen Gleichung vorkommt./wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_3.jpg
- Lösen mit dem Additionsverfahren: Dieses Verfahren verwendest du, wenn in beiden Gleichungen bereits eine Variable mit dem gleichen oder mit der Gegenzahl des Koeffizienten vorkommt, oder wenn du dies auf einfachem Weg erreichen kannst./wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_4.jpg
Löse das lineare Gleichungssystem:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_5.jpgGrafisches Lösen eines linearen Gleichungssystems
Du kannst ein lineares Gleichungssystem grafisch lösen, indem du die zwei Gleichungen durch äquivalenzumformung in die Normalform y = m x + n bringst und dann die zugehörigen Geraden in ein Koordinatensystem zeichnest.
Die Lage der Geraden gibt bereits einen überblick über die Lösungen des Gleichungssystems:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_6.jpg
Auch wenn es nur eine Lösung gibt, lässt sich diese nicht immer genau ablesen. Wenn du das Gleichungssystem exakt lösen möchtest, verwendest du besser ein rechnerisches Verfahren.
Gleichungssystem grafisch lösen
Gleichung Ⅰ ist bereits in Normalform gegeben. Du stellst Gleichung Ⅱ in die Normalform y = m x + n um: /wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_7.jpg
Jetzt kannst du das lineare Gleichungssystem grafisch lösen, indem du die beiden Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnest.
Bei genau einer Lösung des Gleichungssystems (die Geraden haben unterschiedliche Steigungen) kannst du die Werte für die Lösung des linearen Gleichungssystems am Schnittpunkt S(2|5) der Geraden ablesen.
Daraus ergibt sich die Lösungsmenge: L={(2; 5)}.
Die Probe ergibt, dass das Zahlenpaar (2; 5) eine exakte Lösung ist:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_8.jpg
Durch Ablesen kannst du aber nicht immer die genaue Lösung ermitteln. Diese erhältst du meist nur durch ein rechnerisches Lösungsverfahren.
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_9.jpg L={(2; 5)}
Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren
Es ist günstig ein lineares Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, wenn die zwei Gleichungen beide auf einer Seite den gleichen Term aufweisen.
Löse das lineare Gleichungssystem:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_10.jpg
Gleichungssystem lösen
Gleichung Ⅰ und Ⅱ haben beide auf einer Seite den Term 2 x . Du setzt Gleichung Ⅰ und Ⅱ gleich:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_11.jpg
Du löst nach y auf:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_12.jpg
Anschließend setzt du den Wert für y in eine der Ausgangsgleichungen ein und erhältst den Wert für x :
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_13.jpg
L={(2; 2,5)}
Lösen mit dem Einsetzungsverfahren
Es ist günstig ein lineares Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen, wenn eine der Gleichungen auf einer Seite einen Term aufweist, der in der anderen Gleichung ebenfalls als Term vorkommt.
Löse das lineare Gleichungssystem:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_14.jpg
Gleichungssystem lösen
Der Term 11 x ist in beiden Gleichungen vorhanden. In Gleichung Ⅰ steht 11 x einzeln auf einer Seite der Gleichung. Du kannst die rechte Seite der Gleichung Ⅰ ( 4 y - 1 ) in Gleichung Ⅱ für 11 x einsetzen:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_15.jpg
Du löst nach y auf:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_16.jpg
Anschließend setzt du den Wert für y in eine der Ausgangsgleichungen ein und erhältst den Wert für x :
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_17.jpg
L={(1; 3)}
Lösen mit dem Additionsverfahren
Es ist günstig ein lineares Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, wenn in beiden Gleichungen bereits eine Variable mit dem gleichen Koeffizienten oder mit dessen Gegenzahl vorkommt.
Löse das lineare Gleichungssystem:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_18.jpg
Gleichungssystem lösen
Du addierst die beiden Gleichungen:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_19.jpg
Du löst dann nach y auf:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_20.jpg
Anschließend setzt du den Wert für y in eine der Ausgangsgleichungen ein und erhältst den Wert für x :
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_21.jpg
L={(2; 1)}

Knobelaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem kannst du auch selbst aufstellen und bestimmen, ob es keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben soll.
In Knobelaufgaben zu linearen Gleichungssystemen wird manchmal gefordert, als Lückenaufgabe ein Gleichungssystem zu vervollständigen, das eine bestimmte Anzahl von Lösungen besitzen soll.
Lückenaufgabe - lineares Gleichungssystem hat keine Lösung
Bestimme den Koeffizienten von x so, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung hat.
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_22.jpg
Koeffizient bestimmen
Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn nach Anwendung des Lösungsverfahrens eine falsche Aussage entsteht.
In dieser Aufgabe fehlt der Koeffizient von x . Um das Additionsverfahren anwenden zu können, stellst du die Gleichung Ⅱ so um, dass die Summanden mit gleichen Variablen untereinander stehen.
Du multiplizierst Gleichung Ⅰ mit 2, damit der Koeffizient von y in Gleichung Ⅰ (8) die Gegenzahl des Koeffizienten von y in der umgestellten Gleichung Ⅱ (-8) ist:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_23.jpg
Um eine falsche Aussage zu erhalten, müssen die Summanden mit den Variablen x und y bei Addition der Gleichungen wegfallen. Dies ist der Fall, wenn auch der Koeffizient von x in Gleichung Ⅰ' die Gegenzahl des Koeffizienten von x in Gleichung Ⅱ' (-2) ist. Die Gegenzahl ist 2. Die gesuchte Zahl ist also 1, da 1 * 2 = 2 .
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_24.jpg
Lückenaufgabe - lineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen
Bestimme die Koeffizienten von x und y so, dass das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_25.jpg
Koeffizienten bestimmen
Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn nach Anwendung eines Lösungsverfahrens eine wahre Aussage (beispielsweise 0 = 0 ) entsteht.
Hier fehlen die Koeffizienten von x und y . Um das Additionsverfahren anwenden zu können, stellst du die Gleichung Ⅱ so um, dass die Summanden mit gleichen Variablen untereinander stehen:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_26.jpg
Die Zahlen ohne Variable müssen Gegenzahlen voneinander sein, damit bei einer Addition der Gleichungen die rechte Seite der Gleichung 0 ergibt. Du multiplizierst Gleichung Ⅰ mit -2:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_27.jpg
Es entsteht nach Addition eine wahre Aussage, wenn jeweils die Koeffizienten von x in den Gleichungen Gegenzahlen (-16 und 16) und die Koeffizienten von y in den Gleichungen Gegenzahlen (-6 und 6) sind.
Dies ist für die Zahlen 16 und 6 erfüllt:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_28.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_29.jpg
Lineares Gleichungssystem erstellen - eine Lösung
Gib ein Gleichungssystem bestehend aus zwei linearen Gleichungen mit je zwei Variablen an. Wähle die Gleichungen so, dass das Gleichungssystem die Lösungsmenge L={(2;5)} hat.
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_30.jpg
Gleichungssystem aufstellen
Es gibt viele lineare Gleichungssysteme, die die Lösungsmenge L={(2;5)} haben. Du kannst die Gleichungen erstellen, indem du zunächst die gegebenen Zahlen addierst:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_31.jpg
Für eine zweite Gleichung, die nicht genauso aussieht, wie die erste, kannst du einfach beliebige Faktoren vor die Lösungen 2 und 5 setzen und das Endergebnis errechnen:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_32.jpg
Das folgende Gleichungssystem hat also die vorgegebene Lösungsmenge L={(2;5)}:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_33.jpg
Eine mögliche Lösung ist:
/wp-content/uploads/media/kem_LGuU_LGuUELGSWiss_34.jpg

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