Rechnen mit ganzen Zahlen
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Mehr erfahrenIn diesen Erklärungen erfährst du, wie du mit ganzen Zahlen addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst.
- Vorzeichen und Rechenzeichen
- Ganze Zahlen addieren
- Ganze Zahlen subtrahieren
- Ganze Zahlen multiplizieren
- Ganze Zahlen dividieren
- Additions- und Subtraktionsrechnungen vereinfachen
- Rechenregeln zur Multiplikation und Division
- Ganze Zahlen geschickt addieren
- Ganze Zahlen geschickt multiplizieren
- Specials
Vorzeichen und Rechenzeichen
Eine ganze Zahl kann auch negativ sein.Um in Rechnungen Vor- und Rechenzeichen unterscheiden zu können, setzt man Klammern um die Zahl mit dem zugehörigen Vorzeichen.
Um die Schreibweise zu vereinfachen, verwendet man die Klammern oft nur, wenn Rechenzeichen und Vorzeichen aufeinandertreffen.
Statt + 7 + - 13 wird also
+ - 13 geschrieben.
Das Vorzeichen bei positiven Zahlen (+) wird ebenfalls häufig weggelassen, um die Schreibweise zu vereinfachen.
Statt
+ - 13 wird also
+ - 13 geschrieben.
Statt - 3 + + 8 wird also - 3 +
geschrieben.
Weitere Beispiele zur Vereinfachung der Schreibweise:
Statt - 5 + - 12 wird also
+ - 12 geschrieben.
Statt + 11 - - 8 wird also
- - 8 geschrieben.
Ganze Zahlen addieren
Wenn du zu einer ganzen Zahl eine positive Zahl addierst, gehst du auf der Zahlengeraden so viele Schritte nach rechts, wie es der Betrag der Zahl vorgibt.
Wenn du zu einer ganzen Zahl eine negative Zahl addierst, gehst du auf der Zahlengeraden um den Betrag dieser Zahl nach links.
Ganze Zahlen subtrahieren
Die Subtraktion einer ganzen Zahl entspricht der Addition ihrer Gegenzahl.
Wenn du von einer ganzen Zahl eine positive Zahl subtrahierst, gehst du auf der Zahlengeraden nach links. Stellst du die Aufgabe vereinfacht dar, erkennst du, dass sie sich nicht von den dir bekannten Subtraktionsaufgaben unterscheidet.
Wenn du von einer ganzen Zahl eine negative Zahl subtrahierst, gehst du auf der Zahlengeraden nach rechts.
Ganze Zahlen multiplizieren
Wenn du zwei positive ganze Zahlen miteinander multiplizierst, dann kannst du das auch als fortgesetzte Addition an der Zahlengeraden darstellen.
Du stellst 2 mal 4 dar, indem du zweimal nacheinnander einen Pfeil der Länge 4 nach rechts von der Null ab anträgst. Das Ergebnis ist somit 8.
Wenn du eine positive ganze Zahl mit einer negativen ganzen Zahl multiplizierst, dann kannst du dies auch an der Zahlengeraden darstellen.
Du stellst 2 mal (-4) dar, indem du zweimal nacheinander einen Pfeil der Länge 4 nach links von der Null ab anträgst. Das Ergebnis ist somit (-8).
Ganze Zahlen dividieren
Die Division von ganzen Zahlen ist die zur Multiplikation entgegengesetzte Rechenart.
Additions- und Subtraktionsrechnungen vereinfachen
Aus kompliziert scheinenden Rechnungen kannst du mit den folgenden Tipps übersichtliche Rechnungen machen, die du dann leichter lösen kannst.
Rechenregeln zur Multiplikation und Division
Bei der Multiplikation oder Division zweier ganzer Zahlen musst du die Vorzeichen der Zahlen beachten.
Haben beide Zahlen ein positives Vorzeichen, dann ist auch das Ergebnis positiv.„plus mal plus ist plus“
Hat die erste Zahl ein positives Vorzeichen und die zweite ein negatives Vorzeichen, dann ist das Ergebnis negativ. „plus mal minus ist minus “
Hat die erste Zahl ein negatives Vorzeichen und die zweite ein positives Vorzeichen, dann ist das Ergebnis negativ. „minus mal plus ist minus “
Haben beide Zahlen ein negatives Vorzeichen, dann ist das Ergebnis positiv. „minus mal minus ist plus“
Ganze Zahlen geschickt addieren
Um Additionsaufgaben mit mehreren ganzen Zahlen geschickt zu lösen, helfen dir oft die beiden folgenden Gesetze weiter:
Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) erlaubt dir, die Reihenfolge der Summanden zu vertauschen.
Das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) erlaubt dir, in einer Summe beliebig Klammern zu setzen oder entfernen, um bestimmte Teilaufgaben zuerst zu rechnen:
Da die Position der Klammern die Summe nicht beeinflusst, können sie auch weggelassen werden. Du kannst also auch kurz -44
+ 79
+ 21 schreiben.
Wenn du diese Gesetze geschickt anwendest, kann dir das die Lösung einer Aufgabe erleichtern.
Ganze Zahlen geschickt multiplizieren
In der Multiplikation gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz, denen zufolge du alle Faktoren einer Multiplikationsaufgabe beliebig vertauschen darfst.
Manchmal ist es vorteilhaft die Faktoren zu vertauschen, zum Beispiel wenn zwei Faktoren miteinander multipliziert eine Zehnerpotenz (10, 100, 1000, ...) ergeben.
Rechne zuerst
.Anschließend multiplizierst du 100 mit (-23). Dafür musst du nur Nullen anfügen.
Hättest du jedoch von links nach rechts gerechnet, müsstest du zunächst 25 mit (-23) multiplizieren. Das ist schon recht schwierig im Kopf auszurechnen.
Specials
minus mal minus ist plus
Dies kann man aus dem Assoziativgesetz folgern:
[5 + -5 ] + (-(-5)) =
+ [- (-5)] = -(-5)5 + [ -5
- -5 ] =
Also gilt nach dem Assoziativgesetz
und
.
Natürlich gilt auch für alle anderen ganzen Zahlen, dass die Gegenzahl der Gegenzahl wieder die Zahl selber ist.
