Eigenschaften von Potenzfunktionen
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Symmetrien bei Potenzfunktionen
Allgemeine Potenzfunktionen mit geradem Grad sind gerade Funktionen, allgemeine Potenzfunktionen mit ungeradem Grad sind ungerade Funktionen.
Eine
f mit
Grad ist eine
.
Es gilt
für alle reellen Zahlen x.
Jeder Punkt x | f x wird bei Spiegelung an der y-Achse auf den Punkt - x | f x abgebildet. Der Graph ist also
bezüglich der y-Achse.
Der Graph der allgemeinen Potenzfunktion f mit
ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Es gilt:
.

Eine
g mit
Grad ist eine
.
Es gilt
für alle reellen Zahlen x.
Jeder Punkt x | g x wird bei
am Koordinatenursprung auf den Punkt - x | - g x abgebildet. Der Graph ist also
mit dem Punkt 0 | 0 als
.
Der Graph der allgemeinen Potenzfunktion g mit
ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Es gilt:
.

Monotonie von Potenzfunktionen
Eine
f mit geradem
ändert am Koordinatenursprung ihr Monotonieverhalten. Der Punkt 0 | 0 ist also ein Extrempunkt.
Ist der Koeffizient positiv, so ist f
für
und
für
. Dann ist der Punkt 0 | 0 ein
des Graphen.
Ist der Koeffizient negativ, so ist f monoton wachsend für
und monoton fallend für
. Dann ist der Punkt 0 | 0 ein
des Graphen.

Eine allgemeine Potenzfunktion mit ungeradem Grad ist durchgehend monoton wachsend oder monoton fallend.
Ist der Koeffizient positiv, so ist sie monoton wachsend.
Ist der Koeffizient negativ, so ist sie monoton fallend.
Die Funktion hat keine
.

Krümmung bei Potenzfunktionen
Der Graph einer
von
ändert am Koordinatenursprung sein Krümmungsverhalten.
Ist der Koeffizient der allgemeinen Potenzfunktion positiv, so ist der Graph
für
und
für
.
Ist der Koeffizient negativ, so ist der Graph linksgekrümmt für
und rechtsgekrümmt für
.
Der Punkt 0 | 0 ist also ein
.

Der Graph einer allgemeinen Potenzfunktion von geradem Grad und positivem Koeffizienten ist überall linksgekrümmt. Bei einem negativem Koeffizienten ist er überall rechtsgekrümmt.
