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Eigenschaften von Potenzfunktionen

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Symmetrien bei Potenzfunktionen

Allgemeine Potenzfunktionen mit geradem Grad sind gerade Funktionen, allgemeine Potenzfunktionen mit ungeradem Grad sind ungerade Funktionen.
Eine

allgemeine Potenzfunktion

f mit

geradem

Grad ist eine

gerade Funktion

.

Es gilt

f x = f - x

für alle reellen Zahlen x.

Jeder Punkt x | f x wird bei Spiegelung an der y-Achse auf den Punkt - x | f x abgebildet. Der Graph ist also

achsensymmetrisch

bezüglich der y-Achse.

Der Graph der allgemeinen Potenzfunktion f mit

f x = 1 32 x 4

ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Es gilt:

f -4 = 8 = f 4

.

/wp-content/uploads/media/kem_GanRF_GanRFPFEig_1.jpg

Eine

allgemeine Potenzfunktion

g mit

ungeradem

Grad ist eine

ungerade Funktion

.

Es gilt

g - x = - g x

für alle reellen Zahlen x.

Jeder Punkt x | g x wird bei

Punktspiegelung

am Koordinatenursprung auf den Punkt - x | - g x abgebildet. Der Graph ist also

punktsymmetrisch

mit dem Punkt 0 | 0 als

Symmetriezentrum

.

Der Graph der allgemeinen Potenzfunktion g mit

g x = 1 16 x 3

ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Es gilt:

g -4 = -4 = - g 4

.

/wp-content/uploads/media/kem_GanRF_GanRFPFEig_2.jpg

Monotonie von Potenzfunktionen

Eine

allgemeine Potenzfunktion

f mit geradem

Grad

ändert am Koordinatenursprung ihr Monotonieverhalten. Der Punkt 0 | 0 ist also ein Extrempunkt.

Ist der Koeffizient positiv, so ist f

monoton fallend

für

x lt 0

und

monoton wachsend

für

x gt 0

. Dann ist der Punkt 0 | 0 ein

Tiefpunkt

des Graphen.

Ist der Koeffizient negativ, so ist f monoton wachsend für

x lt 0

und monoton fallend für

x gt 0

. Dann ist der Punkt 0 | 0 ein

Hochpunkt

des Graphen.

/wp-content/uploads/media/kem_GanRF_GanRFPFEig_3.jpg

Eine allgemeine Potenzfunktion mit ungeradem Grad ist durchgehend monoton wachsend oder monoton fallend.

Ist der Koeffizient positiv, so ist sie monoton wachsend.

Ist der Koeffizient negativ, so ist sie monoton fallend.

Die Funktion hat keine

Extremstellen

.

/wp-content/uploads/media/kem_GanRF_GanRFPFEig_4.jpg

Krümmung bei Potenzfunktionen

Der Graph einer

allgemeinen Potenzfunktion

von

ungeradem

Grad

ändert am Koordinatenursprung sein Krümmungsverhalten.

Ist der Koeffizient der allgemeinen Potenzfunktion positiv, so ist der Graph

rechtsgekrümmt

für

x lt 0

und

linksgekrümmt

für

x gt 0

.

Ist der Koeffizient negativ, so ist der Graph linksgekrümmt für

x lt 0

und rechtsgekrümmt für

x gt 0

.

Der Punkt 0 | 0 ist also ein

Wendepunkt

.

/wp-content/uploads/media/kem_GanRF_GanRFPFEig_5.jpg

Der Graph einer allgemeinen Potenzfunktion von geradem Grad und positivem Koeffizienten ist überall linksgekrümmt. Bei einem negativem Koeffizienten ist er überall rechtsgekrümmt.
/wp-content/uploads/media/kem_GanRF_GanRFPFEig_6.jpg


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