Die Kategorientheorie liefert einen abstrakten Rahmen für den Vergleich von mathematischen Strukturen. Beispielsweise bilden in der ->Topologie die topologischen Räume und die Menge der stetigen Abbildungen zwischen topologischen Räumen eine Kategorie. Man nennt die topologischen Räume die Objekte der Kategorie und für je zwei topologische Räume X und Y die Menge der stetigen Abbildungen die […]
Mathematische Fachgebiete
Wir stellen euch die wichtigsten Fach- und Teilgebiete der Mathematik vor. Charakteristisch für die Mathematik ist, dass die einzelnen mathematischen Gebiete teilweise sehr eng zueinander stehen und oftmals fließend ineinander übergehen.
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Kryptologie
Die Kryptologie ist die Wissenschaft von den Ver- und Entschlüsselungsverfahren, wobei die Lehre von Verschlüsselungsverfahren auch als Kryptographie bezeichnet wird. Die Sicherung von zu übermittelnden Botschaften (Informationen) ist zu allen Zeiten betrieben worden, sei es durch Verwendung von Geheimsprachen oder durch Verschlüsselung. Bis weit ins 20. Jahrhundert betraf dies vorwiegend militärische Geheimnisse, seitdem aber auch […]
Mathematische Logik
Aufgabe der mathematischen Logik ist es ein Grundlage für die präzise Formulierung mathematischer Aussagen und Beweise zu schaffen. Gewöhnlich wird die klassische Aussagenlogik mit den zwei Wahrheitswerten, "wahr" oder "falsch" verwendeteinen Drittes gibt es nicht (tertium non datur; Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten). In der mehrwertigen Logik kann es zwischen "wahr" und "falsch" auch eine oder […]
Mengenlehre
Die Mengenlehre wurde von Georg Cantor in den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts entwickelt. Sie ist heute die Sprache der Mathematik, denn fast alle mathematischen Aussagen werden mit Hilfe von Mengen, Abbildungen und Relationen ausgedrückt. Cantor schrieb 1895: "Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres […]
Nichtstandard Analysis
Die Nichtstandardanalysis (engl. non-standard analysis) wurde in den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts vor allem von Abraham Robinson entwickelt. Sie geht davon aus, dass esim Gegensatz zur herkömmlichen Standard-Analysisunendlich kleine und unendlich große Zahlen gibt, mit denen ganz normal gerechnet werden kann. Damit wird das archimedische Axiom außer Kraft gesetzt. Dieses besagt: Zu je zwei […]
Numerische Mathematik
Die näherungsweise Berechnung reeller Zahlen ist fast so alt wie die Mathematik. Bereits bei den Babyloniern findet man eine Approximation der Zahl durch eine rationale Zahl. Allgemeine numerische Methoden zur Berechnung von Zahlwerten oder von Funktionen zu finden ist die Aufgabe der numerischen Mathematikkurz auch Numerik genannt. Im Wesentlichen stellen sich zwei Aufgaben: die Approximation […]
Stochastik - Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die StochastikZusammenfassung von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistikbeschäftigt sich mit Zufallsexperimenten und deren Wahrscheinlichkeiten. Als Ursprung der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Fragen zum Würfelspiel angesehen, die man Mitte des 17.Jahrhunderts dem Mathematiker Blaise Pascal gestellt hat. Ein davon lautet: Was ist wahrscheinlicher, mit einem Würfel in vier Versuchen eine 6 zu würfeln (Wahrscheinlichkeit A) oder mit zwei Würfeln in […]
Theoretische Mathematik
Die Mathematik als Wissenschaft ist gemeinsam mit der Philosophie in der griechischen Antike entstanden. Obwohl man bereits seit Jahrtausenden in Mesopotamien und in Ägypten gerechnet und gemessen hat, waren griechische Mathematiker (wie Thales und Pythagoras mit seinen Schülern) um 600 v. Chr. die Ersten, die sich mit Zahlen und ihren Eigenschaften sowie mit geometrischen Fragestellungen […]
Topologie
Die Topologie, eine sehr junge mathematische Disziplin, befasst sich mit Eigenschaften geometrischer Gebilde, die bei "elastischen Verformungen" (Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren) erhalten bleiben. Man sagt, die betreffenden Gebilde seien homöomorph oder topologisch äquivalent. So kann eine Kreisschreibe in ein Dreieck deformiert werden oder ein Donut (oder ein Vollgummireifen) in eine Kaffeetasse mit einem Henkel. Auch […]
Versicherungsmathematik
Die Versicherungsmathematik ist Teil der angewandten Mathematik; sie beschäftigt sich mit der Messung von Risiken und wird bei Banken, Lebens-, Kranken-, Pensions- und Schadensversicherungen angewandt. Dabei werden die versicherten Risiken mathematisch modelliert und mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik behandelt. So fragt die Lebensversicherung nach statistischen Durchschnittswerten für die Lebenserwartung und macht davon die […]
