Hier erfährst du, was der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung besagen und was ein pythagoreisches Zahlentripel ist.
.
Du kannst die Aussage des Satzes nachvollziehen, wenn du über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat zeichnest.
Dann erhältst du diese Figur:
In einem rechtwinkligen Dreieck
mit dem rechten Winkel im Punkt
sind
und
die Längen der
und
die der
.
Es ist
der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete der Länge
,
der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete der Länge
und
der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.
und
gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse der Länge
.Als Formel:
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
Du stellst nach
um und setzt die Werte ein.
Im Dreieck
liegt der rechte Winkel am Punkt
.Hier ist
die Länge der Hypotenuse und die Längen der Katheten sind
bzw.
.
)
Also:
)
Also:
Hierzu nimmst du eine Schnur und unterteilst sie mit 11 Knoten in 12 gleich lange Teile. Mit dieser Schnur kannst du ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 legen, denn 3 + 4 + 5 = 12. Es ergibt sich ein rechter Winkel.
Dass dieser „Trick“ funktioniert, folgt nicht aus dem Satz des Pythagoras, sondern aus seiner Umkehrung.
Diese Umkehrung besagt:
Wenn in einem Dreieck
gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite mit der Länge
gegenüber liegt.
Du kannst also anhand der Seitenlängen eines Dreiecks überprüfen, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist.
mit den Seitenlängen
,
und
die Gleichung
gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite mit der Länge
gegenüberliegt.
mit den Seitenlängen
,
und
rechtwinklig"
Als Hypotenuse kommt nur die Seite der Länge
in Frage.
Du überprüfst die Gültigkeit der Gleichung
:
Es gilt
, also ist das Dreieck rechtwinklig.
(Maße in cm) 
) 
Als Hypotenuse kommt nur die Seite mit der Länge
in Frage.Du überprüfst die Gleichung
für dieses Dreieck:
Es gilt
≠
, also ist das Dreieck nicht rechtwinklig.
,
,
, die die Gleichung
erfüllen, heißen
(Tripel, weil es drei Zahlen sind).
Das Tripel (
,
,
) ist ein solches pythagoreisches Zahlentripel.
Alle pythagoreischen Zahlentripel lassen sich so darstellen.
,
und
liefert ein pythagoreisches Zahlentripel (
,
,
). Umgekehrt liefert jedes pythagoreische Zahlentripel (
,
,
) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen
,
und
. Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung.
