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Quadratische Funktionen

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Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion

Funktionen, die sich mit Termen der Form
  f x = a x 2 + b x + c mit a 0
darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen.
Ihre Graphen heißen Parabeln.
Die Gleichung y = a x 2 + b x + c heißt Parabelgleichung.
Alle Punkte x | y , deren Koordinaten x und y diese Gleichung erfüllen, liegen somit auf der Parabel.
Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung y = f x = x 2 .
Ihr Graph ist die Normalparabel.
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Du berechnest den Funktionswert (y-Wert) zu einem Argument (x-Wert), indem du dieses in den Funktionsterm einsetzt.
y = f x = -2 x 2 + 3   y = f 2 = -2 · 2 2 + 3 = -5

Besondere Punkte von quadratischen Funktionen

Nullstelle/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_2.jpg
y-Achsenabschnitt/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_3.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_4.jpg
Scheitelpunkt:Ist die Parabel nach unten geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Hochpunkt ( Maximum ).Ist die Parabel nach oben geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Tiefpunkt ( Minimum ).
Ist die Lage des Scheitelpunktes bekannt, kann die Parabel, sofern sie nicht durch Parameter verzerrt ist, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden.
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_5.jpg

Verschiebung entlang der y-Achse

Addierst du zum Funktionsterm der Funktion f mit f x = x 2 eine Konstante e, dann ist der Graph der neuen Funktion
  g x = x 2 + e
eine entlang der y-Achse verschobene Normalparabel.
Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist S 0 | e .
Für e > 0 wird die Parabel entlang der y-Achse um e Einheiten nach oben verschoben.
Für e < 0 wird die Parabel entlang der y-Achse um e Einheiten nach unten verschoben.
y = x 2 + 3
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_6.jpg
y = x 2 - 2
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_7.jpg

Verschiebung entlang der x-Achse

Subtrahierst du von den Argumenten der Funktion f mit f x = x 2 eine Konstante d, dann ist der Graph der neuen Funktion
  g x = x - d 2
eine entlang der x-Achse verschobene Normalparabel.
Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist S d | 0 .
Für d > 0 ist die Parabel entlang der x-Achse um d Einheiten nach rechts verschoben.
Für d < 0 ist die Parabel entlang der x-Achse um d Einheiten nach links verschoben.
y = x - 2 2
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y = x - -2 2 = x + 2 2
/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_9.jpg

Scheitelpunktform

Oft werden quadratische Funktionsterme in der Scheitelpunktform angegeben:
  f x = a x - d 2 + e
Du kannst aus ihr die Koordinaten des Scheitelpunkts der zugehörigen Parabel direkt ablesen:
  S d | e
Zusätzlich kannst du den Streckfaktor a der Parabel ablesen. Es ist der Faktor vor der Klammer.
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