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Quadratische Funktionen

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Funktionsterm und Graph einer quadratischen Funktion

Funktionen, die sich mit Termen der Form

f x = a x 2 + b x + c

mit

a

0

darstellen lassen, heißen quadratische Funktionen.

Ihre Graphen heißen Parabeln.

Die Gleichung

y = a x 2 + b x + c

heißt Parabelgleichung.

Alle Punkte x | y , deren Koordinaten x und y diese Gleichung erfüllen, liegen somit auf der Parabel.

Die einfachste quadratische Funktion hat die Gleichung

y = f x = x 2

.

Ihr Graph ist die Normalparabel.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_1.jpg

Du berechnest den Funktionswert (y-Wert) zu einem Argument (x-Wert), indem du dieses in den Funktionsterm einsetzt.

y = f x = -2 x 2 + 3

y = f 2 = -2 * 2 2 + 3 = -5

Besondere Punkte von quadratischen Funktionen

Nullstelle/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_2.jpg

y-Achsenabschnitt/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_3.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_4.jpg

Scheitelpunkt:Ist die Parabel nach unten geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Hochpunkt (

Maximum

).Ist die Parabel nach oben geöffnet, dann ist der Scheitelpunkt gleich dem Tiefpunkt (

Minimum

).

Ist die Lage des Scheitelpunktes bekannt, kann die Parabel, sofern sie nicht durch

Parameter

verzerrt ist, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein

Koordinatensystem

gezeichnet werden.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_5.jpg

Verschiebung entlang der y-Achse

Addierst du zum Funktionsterm der Funktion f mit

f x = x 2

eine Konstante e, dann ist der Graph der neuen Funktion

g x = x 2 + e

eine entlang der y-Achse verschobene Normalparabel.

Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist

S 0 | e

.

Für

e > 0

wird die Parabel entlang der y-Achse um e Einheiten nach oben verschoben.

Für

e < 0

wird die Parabel entlang der y-Achse um e Einheiten nach unten verschoben.

y = x 2 + 3

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_6.jpg

y = x 2 - 2

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_7.jpg

Verschiebung entlang der x-Achse

Subtrahierst du von den Argumenten der Funktion f mit

f x = x 2

eine Konstante d, dann ist der Graph der neuen Funktion

g x = x - d 2

eine entlang der x-Achse verschobene Normalparabel.

Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist

S d | 0

.

Für

d > 0

ist die Parabel entlang der x-Achse um d Einheiten nach rechts verschoben.

Für

d < 0

ist die Parabel entlang der x-Achse um d Einheiten nach links verschoben.

y = x - 2 2

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_8.jpg

y = x - -2 2

=

x + 2 2

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_9.jpg

Scheitelpunktform

Oft werden quadratische Funktionsterme in der Scheitelpunktform angegeben:

f x = a x - d 2 + e

Du kannst aus ihr die Koordinaten des Scheitelpunkts der zugehörigen Parabel direkt ablesen:

S d | e

Zusätzlich kannst du den Streckfaktor

a

der Parabel ablesen. Es ist der Faktor vor der Klammer.

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_10.jpg

/wp-content/uploads/media/kem_MSABB_MSABBFktQuF_11.jpg


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