Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Münzwurf Das Werfen einer Münze ist ein Zufallsexperiment, da sowohl Kopf als auch Zahl erscheinen können. Es kann jedoch nicht vorhergesagt werden, ob Kopf oder Zahl erscheinen wird.

Würfeln Das Werfen eines mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 beschrifteten Würfels ist ein Zufallsexperiment, da jede der genannten Ziffern als Ergebnis erscheinen kann. Es kann jedoch nicht vorhergesagt werden, welche der sechs Ziffern erscheinen wird.

Ergebnisse, Ereignisse und Ergebnismenge beim Würfel Das Werfen eines Würfels ist ein Zufallsexperiment. Jede der möglichen Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 ist ein Ergebnis. Die Ergebnismenge ist die Zusammenfassung aller möglichen Ergebnisse in einer Menge. Beim Würfeln ist also Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6} die Ergebnismenge. Ein mögliches Ereignis ist zum Beispiel „Würfel zeigt eine gerade Zahl“ und wird durch die Menge {2; 4; 6} dargestellt.

Die Ergebnismenge beim Münzwurf Beim Münzwurf können die Ergebnisse Kopf (K) oder Zahl (Z) erscheinen. Somit ist die Ergebnismenge Ω = {K; Z}.

Ereignisse beim Würfeln Ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird einmal geworfen. Das Ereignis E - „Eine Zahl kleiner als 3 wird gewürfelt ‟ - besteht aus den Ergebnissen 1 und 2. üblicherweise schreibt man ein solches Ereignis als Menge: E = {1; 2}.

Ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird einmal geworfen. Weiterhin sei E das Ereignis „Eine Zahl größer oder gleich 3 wird gewürfelt“. Das heißt, es ist E = {3; 4; 5; 6}. Dann besteht das zu E gehörige Gegenereignis $\stackrel{\_}{\text{E}}$ aus denjenigen Augenzahlen, die nicht zu E gehören. Somit gilt $\stackrel{\_}{\text{E}}$ = {1; 2}.

Ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 wird einmal geworfen. Weiterhin sei E das Ereignis „Eine positive Zahl wird gewürfelt ‟. Dann ist E das sichere Ereignis, denn jede würfelbare Augenzahl ist positiv.Das heißt, es ist E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = Ω.

Zweifacher Münzwurf Beim zweifachen Münzwurf können bei jedem Teilexperiment die Ergebnisse Kopf (K) oder Zahl (Z) erscheinen. Ein Baumdiagramm hat immer einen Startknoten. Dieser Startknoten wird auch Wurzel bzw. Wurzelknoten des Baumdiagramms genannt. Die vom Startknoten ausgehenden Zweige führen zu den Knoten, die den möglichen Ergebnissen des ersten Teilexperimentes „Werfen einer Münze ‟ entsprechen:K und Z. In gleicher Weise gehen von den Knoten, die die Ergebnisse des ersten Teilexperimentes darstellen, diejenigen Zweige aus, die nun zu den möglichen Ergebnissen des zweiten Teilexperimentes „Nochmaliges Werfen einer Münze“ führen:K und Z. Die Reihenfolge der Zweige bzw. Knoten spielt dabei keine Rolle.Es gibt also mehrere korrekte Baumdiagramme, die das Zufallsexperiment beschreiben.Ein möglicher Baum ist zum Beispiel:

Ein anderer möglicher Baum ist zum Beispiel dieser: Endknoten bzw. Blätter eines Baumdiagramms heißen diejenigen Knoten, die die möglichen Ergebnisse des letzten Teilexperimentes eines mehrstufigen Zufallsexperimentes darstellen. Zu jedem Endknoten führt vom Startknoten ausgehend eine Kette von Zweigen - ein sogenannter Pfad. Jeder Pfad entspricht einem möglichen Ergebnis des mehrstufigen Zufallsexperimentes. Oft schreibt man daher neben jedem Endknoten das zum Pfad gehörige Ergebnis. Bei weitergehenden Berechnungen trägt man oft nur die zu einem bestimmten Ereignis gehörigen Ergebnisse ein. In unserem Beispiel sieht ein vollständiges Baumdiagramm für das zweimalige Werfen einer Münze einschließlich aller Ergebnisse wie folgt aus: Beachte hierbei auch die Schreibweise der Ergebnisse als geordnete Paare. Oft schreibt man die Ergebnisse auch einfach als Verkettung von geeigneten Buchstaben wie zum Beispiel „ZK ‟ für „Erster Wurf zeigt Zahl - zweiter Wurf zeigt Kopf ‟. Wenn man sich nur für die zum Ereignis E „Es erscheint Kopf genau einmal ‟ gehörigen Ergebnisse interessiert, sieht das Baumdiagramm wie folgt aus:

Zwei Glücksräder Die beiden abgebildeten Glücksräder werden jeweils einmal gedreht. Zuerst wird das linke, dann das rechte Glücksrad gedreht. Die Farben werden in der Reihenfolge der Drehungen notiert. Die vom Startknoten ausgehenden Zweige führen zu den Knoten, die den möglichen Ergebnissen des ersten Teilexperimentes „Drehen am linken Glücksrad ‟ entsprechen: und . In gleicher Weise gehen von den Knoten, die die Ergebnisse des ersten Teilexperimentes darstellen, diejenigen Zweige aus, die nun zu den möglichen Ergebnissen des zweiten Teilexperimentes „Drehen am rechten Glücksrad ‟ führen: und . Die Reihenfolge der Zweige bzw. Knoten spielt dabei keine Rolle.Es gibt also mehrere korrekte Baumdiagramme, die das Zufallsexperiment beschreiben.Ein möglicher Baum ist zum Beispiel

Ein weiteres korrektes Baumdiagramm ist folgendes: Wiederum kann neben den Endknoten des Baumdiagramms das zum jeweiligen Pfad gehörige Ergebnis des mehrstufigen Zufallsexperimentes ergänzt werden. In unserem Beispiel sieht ein vollständiges Baumdiagramm für das Drehen am linken Glücksrad mit darauffolgendem Drehen am rechten Glücksrad einschließlich aller Ergebnisse wie folgt aus:

Statt die Knoten und Ergebnisse entsprechend zu färben, kann man zum Beispiel auch die Anfangsbuchstaben der Farben als Markierungen der Knoten und Ergebnisse wählen. In unserem Fall (R - Rot, G - Gelb, B - Blau) würde ein zugehöriges Baumdiagramm so aussehen: Beachte hierbei auch die Schreibweise der Ergebnisse als Verkettungen der Anfangsbuchstaben der Farben. Man hätte die Ergebnisse auch als geordnete Paare der Anfangsbuchstaben der Farben angeben können. (R; G) wäre dann das Ergebnis „Linkes Glücksrad bleibt auf Rot stehen - Rechtes Glücksrad bleibt auf Gelb stehen.“ Wiederum trägt man bei weitergehenden Berechnungen oft nur die zu einem bestimmten Ereignis gehörigen Ergebnisse ein. Wenn man sich nur für die zum Ereignis E „Es erscheint die Farbe Gelb genau einmal ‟ gehörigen Ergebnisse interessiert, sähe das Baumdiagramm wie folgt aus: