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Hier erfährst du, wie du in Strahlensatzfiguren unbekannte Streckenlängen mit Hilfe der beiden Strahlensätze berechnest.

Streckenlängen in der V-Figur berechnen

Einzelne Streckenlängen innerhalb einer Strahlensatzfigur berechnest du, indem du, je nachdem, welche Strecken gegeben sind, eine Verhältnisgleichung mit einem der beiden Strahlensätze aufstellst und die Gleichung nach der unbekannten Streckenlänge auflöst.
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_1.jpg
Um in dieser Figur x zu berechnen, verwendest du den ersten Strahlensatz: x 2 = 3.6 2.4 .Für y kannst du den zweiten Strahlensatz verwenden: y 3 = 3.6 + 2.4 3.6
Wähle die zur Strahlensatzfigur passende Verhältnisgleichung und berechne x . (Maße in cm)
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_2.jpg
Verhältnisgleichung wählen
In der ersten Gleichung wurden nicht die entsprechenden Strahlenabschnitte gewählt. In der dritten Gleichung könntest du den zweiten Strahlensatz vermuten, da hier die Parallelenabschnitte verwendet werden, aber die Strecke x kommt im zweiten Strahlensatz nicht als Strahlenabschnitt vor.
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_3.jpg
x berechnen
Du berechnest x , indem du die Verhältnisgleichung nach x auflöst:
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_4.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_5.jpg
x = 2.5
Berechne die Streckenlängen x und y . (Maße in dm)
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_6.jpg
Streckenlängen berechnen
Um x zu berechnen, verwendest du den ersten Strahlensatz. Du stellst eine Verhältnisgleichung auf und löst sie nach x auf:
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_7.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_8.jpg
Um y zu berechnen, verwendest du den zweiten Strahlensatz.
Du stellst eine Verhältnisgleichung auf und löst sie nach y auf:
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_9.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_10.jpg
x = 2.5 y = 2
Bestimme die Streckenlänge x mit Hilfe der Verhältnisgleichung: x x + 1.5 = 3.3 4.4
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_11.jpg
x berechnen
Die Gleichung löst du nach x auf:
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_12.jpg
x = 4.5

Streckenlängen in der X-Figur berechnen

Einzelne Streckenlängen innerhalb einer Strahlensatzfigur berechnest du, indem du, je nachdem, welche Strecken gegeben sind, eine Verhältnisgleichung mit einem der beiden Strahlensätze aufstellst und die Gleichung nach der unbekannten Streckenlänge auflöst.
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_13.jpg
Um in dieser Figur x zu berechnen, verwendest du den ersten Strahlensatz: x 10 = 4.5 15 .
Für y kannst du den zweiten Strahlensatz verwenden: y 3 = 15 4.5
Wähle die zur Strahlensatzfigur passende Verhältnisgleichung und berechne x . (Maße in cm)
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_14.jpg
Verhältnisgleichung wählen
In der ersten Gleichung wurden nicht die entsprechenden Geradenabschnitte gewählt.
In der zweiten Gleichung könntest du den zweiten Strahlensatz vermuten, da hier die Parallelenabschnitte verwendet werden, aber diese wurden falsch zugeordnet.
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_15.jpg
x berechnen
Du berechnest x , indem du die Verhältnisgleichung nach x auflöst:
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_16.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_17.jpg
x = 1.6
Berechne die Streckenlängen x und y . (Maße in cm)
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_18.jpg
Streckenlängen berechnen
In dieser Strahlensatzfigur ist es egal welche Streckenlänge du zuerst berechnest.
Um x zu berechnen, verwendest du den ersten Strahlensatz. Zunächst stellst du eine Verhältnisgleichung auf und löst sie anschließend nach x auf:
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_19.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_20.jpg
Um y zu berechnen, verwendest du den zweiten Strahlensatz. Du stellst eine Verhältnisgleichung auf und löst sie nach y auf:
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_21.jpg
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_22.jpg
x = 2.4
y = 4.2
Berechne die Streckenlängen x und y . (Maße in cm)
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_23.jpg
Streckenlängen berechnen
Um x zu berechnen, benötigst du y :
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_24.jpg
Du kannst nun x berechnen, indem du eine Verhältnisgleichung aufstellst und diese dann nach x auflöst:
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_25.jpg
x = 2.5 y = 3

Umkehrsatz des ersten Strahlensatzes

Die Strahlensätze sind in der Wenn-Dann-Form formuliert. Erster Strahlensatz (V-Figur):
Wenn zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt von zwei Parallelen geschnitten werden, dann verhalten sich je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
Durch Vertauschung von Voraussetzung (Wenn-Teil) und Behauptung (Dann-Teil) erhältst du den ebenfalls gültigen Umkehrsatz:
Wenn zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt von zwei Geraden geschnitten werden und sich je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl verhalten, dann sind die beiden Geraden zueinander parallel.
überprüfe rechnerisch, welche Geraden parallel sind.
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_26.jpg
Die Parallelität der Geraden g, h und s prüfst du, indem du nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse aufstellst und ihre Gleichheit überprüfst.
Geraden g und h: 2 2.4 = 3 3.6 /wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_27.jpg Die Gleichheit ist erfüllt, also sind die Geraden g und h nach dem Umkehrsatz parallel.
Geraden g und s: 2 3.9 3 5.9 /wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_28.jpg Die Gleichheit ist nicht erfüllt, also sind die Geraden g und s nicht parallel.
Geraden h und s: 4.4 1.5 6.6 2.3 /wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_29.jpg Die Gleichheit ist nicht erfüllt, also sind die Geraden h und s nicht parallel.
Die Geraden
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_30.jpg
sind parallel.
Die Geraden g und h sind parallel.
Die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gilt nicht.
Wenn eine Figur wie oben z.B. mit den Maßen α = 30 ? , a = 1.5 cm , b = 4.5 cm , m = 0.9 cm und n = 2.7 cm angefertigt werden soll, dann ist das Dreieck ABS nicht eindeutig konstruierbar.
Es sind zwar die Seiten b und n sowie der Winkel α gegeben, allerdings ist der Kongruenzsatz SsW nicht erfüllt, da der Winkel α der kürzeren Seite n gegenüber liegt. Damit ist die Eindeutigkeit nicht gegeben.
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_31.jpg
Die Strahlensätze sind in der Wenn-Dann-Form formuliert. Erster Strahlensatz (X-Figur):
Wenn zwei Geraden mit einem Schnittpunkt von zwei Parallelen geschnitten werden, dann verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden.
Wenn du die Voraussetzung (Wenn-Teil) und Behauptung (Dann-Teil) vertauschst, dann erhältst du den ebenfalls gültigen Umkehrsatz:
Wenn zwei Geraden mit einem Schnittpunkt von zwei Geraden geschnitten werden und sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden verhalten, dann sind die beiden Geraden, die die zwei sich schneidenden Geraden schneiden, zueinander parallel.
überprüfe rechnerisch, welche Geraden parallel sind.
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_32.jpg
Die Parallelität der Geraden g, h und s prüfst du, indem du nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse aufstellst und ihre Gleichheit überprüfst.
Geraden g und h: 1.2 1 = 1.5 1.25 /wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_33.jpg Die Gleichheit ist erfüllt, also sind die Geraden g und h nach dem Umkehrsatz parallel.
Geraden g und s: 1.2 2.5 1.5 3.05 /wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_34.jpg Die Gleichheit ist nicht erfüllt, also sind die Geraden g und s nicht parallel.
Geraden h und s: 1 1.5 1.25 1.8 /wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_35.jpg Die Gleichheit ist nicht erfüllt, also sind die Geraden h und s nicht parallel.
Die Geraden
/wp-content/uploads/media/kem_Geo3_Geo3StrSGbe_36.jpg
sind parallel.
Die Geraden g und h sind parallel.
Die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gilt nicht.
Wenn eine Figur wie oben z.B. mit den Maßen α = 30 ? , a = 1.5 cm , b = 4.5 cm , m = 0.9 cm und n = 2.7 cm angefertigt werden soll, dann ist das Dreieck ABS nicht eindeutig konstruierbar.
Es sind zwar die Seiten b und n sowie der Winkel α gegeben, allerdings ist der Kongruenzsatz SsW nicht erfüllt, da der Winkel α der kürzeren Seite n gegenüber liegt. Damit ist die Eindeutigkeit nicht gegeben.
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